(北师大版)必修四：1.7.1-2《正切函数的定义、正切函数的图像与性质》课件

p 是它的最小正周期.
探究点3 正切函数的图像
作法如下：
y
(1)作直角坐标系,并在
直角坐标系y轴左侧作单
位圆. (2)找横坐标
（把x轴上
到
2
这一段分
成8等份）
4
π 2
O
4
(3)在单位圆右半圆中
作出正切线.
(4)平移. (5)连线.
πx
正切函数图像的简单画法：三点两线法.
“三点”: (0,0),（ ，1), ( ，1)
正切函数的周期
由于
tan(x k)
sin(x k) cos(x k)
sin x cos x
tan x(k为奇数)，
sin x cos x
tan x(k为偶数).
tan(x k) tan x,其中，x R, x k, k Z.
2
所以 k(k Z, k 0) 是正切函数的周期.
4
4
“两线”: x 和x
2
y2
1
4
3
2
2
O
42
-1
3 2
x
思考：为什么不用五点法? 提示：因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可.
正切曲线是由通过点 (k , 0)(k Z )且与 y 轴
2
相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐
渐
近
近
线
线
3
O
2
探究点4 正切函数的性质
2
函数，记作y＝tanα，
思考1：正切函数与正弦和余弦函数有什么关系？
提示：比较正、余弦和正切的定义，不难看出：
tanα＝ sin (aα∈R，α≠kπ+ ，k∈Z).
cos a
2
思考2：当角α的终边在x轴、y轴时，正切函数值的
情况如何？
提示：当角α的终边在x轴上时，tanα=0； 当角α的终边在y轴上时，a=0，比值 b没意义，故角
r 13
r 13
例2.求函数y tan（2x ）的定义域. 4
解：令z 2x ,那么函数y tan z的定义域 4
是
z
z
2
k, k Z
由2x z k
4
2
可得x 3 k , k Z 82
所以函数y tan(2x )的定义域为 4
x x 3 k , k Z .
4
4
5
5
因为0 2 ,
45 2
又y
tan
x在
0，
2
上是增加的,
所以tan
4
tan
2 5
，
所以 tan(
11
4
)
tan(13 5来自).方法： 转化到同一单调区间内，利用单调性解决.
例4.求函数y tan（x ）的单调区间.
4
解: 设t x ，
4
因为y
tan
t在开区间
-
2
k
,
2
3
O
2
函数 性质
y=tan x
{x|xR,xk,kZ } 2
定义域
值域
R
奇偶性 周期性
奇函数 周期kπ(k(∈ 2Zk ,, 2 k ≠k)0(k) ,Z)
最小正周期是π
例1． 若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
82
例3.比较下列每组数的大小.
(1)tan167o 与tan173o.（2）tan(- 11π)与
4
tan(-
135π).
解:(1) 因为90 167 173 180，
y
tan
x在
2
，
上是增加的，所以tan167
tan173.
(2) tan(11 ) tan , tan(13 ) tan 2 .
a
α的正切值不存在.
这里的角是指的角的弧度数.
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自 变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数，我们统称它们为三角函数.
根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一 和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和 第四象限时，其正切函数值为负.
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线
(1)如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 2 可知，角α终边上必有一点 3
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
cosα＝ x ＝ 3 13 . r 13
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝ y ＝－ 2 13 ， cosα＝ x ＝－ 3 13 .
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦 函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法， 在直角坐标系内学习任意角的正切函数.
1.了解任意角的正切函数的概念.(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性 质.(难点) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
k
（ k
Z）上是增加的，
所以
2
k
x
4
2
k，k
Z
解得 3 k x k，k Z
4
4
所以函数在区间
k
3
4
,
k
4
,
k
Z上是增加的.
1. 已知 a ta n 1 ,b ta n 2 ,c ta n 3 ,则( C )
A.a<b<c
B.c<b<a
C .b<c<a D. b<a<c
2 . 已 知 θ 是 三 角 形 的 一 个 内 角 ， 且 有 t a n θ ≥ - 1 ,
则 θ 的 取 值 范 围 是 ( C )
A.
3 4
,
B.
0
,
2
C.
0,2
34,
D.以上都不对
3.求函数 y＝ tan x 1的定义域. 解：要使函数有意义，需tan x+1≥0， 即tan x≥-1.结合正切函数的图像可知
探究点1 正切函数的定义
在直角坐标系中，
如果角α满足：α∈R， α≠ ＋ kπ(k∈Z)，那么，角
2
α的终边与单位圆交于点P （a，b），唯一确定比
值 b. a
y
P(a ，b)
αA OM 1
x
正切函数的定义
b
根据函数的定义，a 比值 是角α 的函其中数α，∈R我，α们≠把 它+k叫π，作k∈角Z.α的正切
如图，单位圆与x轴正半轴 的交点为A(1 ,0)，任意角 α的终边与单位圆交于点P， 过点A(1 ,0)作x轴的垂线， 与角的终边或终边的延长 线相交于T点.
从图中可以看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方.
不论角α的终边在第几象限，都有∠AOT与 ∠MOP的正切值相等，且角α的正切值与有向线段 AT的值相等.因此，我们称有向线段AT为角α的正 切线.