4摩擦知识

F (1
a ), L
FB W ,
FA

a L
F

W 2
tan
维持平衡的条件: FA 0 FS f FB
B
Fs FB
FA 0
LW tan F
2a
FS f FB
W (0.5 tan f )L F W (0.5 tan f )L
La
La
求解静滑动摩擦问题应注意：

fs cos fs sin
P
为使物块静止
F2

sin cos

fs cos fs sin
P

F

sin cos

fs cos fs sin
P

F1
求解平衡范围
摩擦
例 用几何法求解. 解: 物块有向上滑动趋势时，
F1 P tan( )
摩擦
物块有向下滑动趋势时，
Fy 0 FN P F1 sin 0
又 Fs Fmax fs FN
解得
F1
cos
fs fs sin
1876 N
FN FN
设木箱有翻动趋势时拉力为 F2
M A 0
F cos h P a 0
2
2
解得
F2

Pa
2h cos
1443N
P
其中：f 动滑动摩擦因数 (coefficient of kinetic friction)
摩擦
摩擦角与自锁现象
全约束力FR F FN
FR FN F
运动趋势
FR
F 2 FN2
tan F
FN
FR Fmax FN
tan max

Fmax FN
Fmax fs FN tanmax fs
摩擦
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的均质椭圆，一端铅垂吊
起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水平线 的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦因数
最小为多大？
T
解：研究椭圆盘，受力分析
F


不滑动的条件 m
W
tan tanm f
fmin tan
F2 fs R 0.7 350 100
F1
3.15
摩擦
R
O
A
G
α
例 半径为R，轮上绕的滑
R B MB 轮上作用有力偶有细绳拉住半 径为R，重量为G的圆柱，如图
所示。斜面倾角为α，圆柱与斜
面间的滚动摩阻系数为δ。求保
持圆柱平衡时，力偶矩MB的最 大与最小值。
摩擦
例题 4-10
解： 1. 取圆柱为研究对象，当绳拉力最小时， 圆柱有向下滚动的趋势。
0 M M max ①滚阻力偶M随主动力偶（F,FS）的增大而增大; ② 0 M M max ③ M max与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max FN， 为滚动摩阻系数。
摩擦 M max FN 最大滚动摩阻力偶
滚动摩擦系数 的物理意义
力的平移定理
d M max FN ①有长度量纲，单位一般用mm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。 ③滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即 滚动摩摩擦擦忽略不计。
max 称为摩擦角 (angle of friction)
FR
FN
max
Fmax
摩擦角的正切=静摩擦系数
摩擦
摩擦锥
以支承面的法线为轴作出的以2f 为顶角的圆锥。
摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。
摩擦
● 两个重要结论 ① 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内， 则不论这个力多大，物体总能平衡。

cos

R

摩擦
2. 取圆柱为研究对象，当绳拉力最大
时，圆柱有向上滚动的趋势。
Fmax
x
列平衡方程
O
y
Ff
A
G Mf , max FN
α
M AF 0
G sin R Fmax R M f , max 0
Fy 0
FN G cos 0
Fs 866 N FN 4500 N 而 Fmax fs FN 1800 N Fs Fmax , 木箱不会滑动；
M A 0
hF
cos

P

a 2

FN
d

0
d 0.171m
d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
摩擦
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1 Fx 0 Fs F1 cos 0
能保持木箱平衡的最大拉力为 1443N
摩擦
A
C DF
W
B
FA
P
A
C
DF
W
B
Fs FB
思考题：重为W长为L的均质梯子靠在光
滑的墙壁上(夹角为 ）, 它与地面的静
滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水平 力F，BD = a，求维持平衡时的F。
解：取梯子为研究对象, 画受力图
MP 0 :

Fs L
求： 挺杆不被卡住之a 值.
摩擦
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置. Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0
M A 0
F
(a

b 2
)

FB
d

FBN
b

0
FA fs FAN
FB fs FBN
解得： a b
2 fs
b
则：挺杆不被卡住时，a 2 fs .
摩擦
F n W
W
(a)
W
(b)
利用摩擦角测定静摩擦系数
摩擦
螺旋千斤顶
摩擦
斜面摩擦自锁的应用
F n
P

摩擦
考虑摩擦时的平衡问题
摩擦力小于最大静摩擦力时的静定问题
两类问题
——利用平衡方程求解 极限平衡状态问题或平衡范围
解题中注意的问题
——增加补充方程
1、画受力图时，必须考虑摩擦力；摩擦力的方向不能假设， 要根据物体运动趋势来判断
摩擦
运动机构分析
例
用几何法求解例.
解： b

(a极限

d 2
)
tan

(a极限

d 2
)
tan
2a极限 tan 2a极限 fs
a极限

b 2 fs
a b 2 fs
摩擦
例
已知：物块重 P, 鼓轮重心位于 O1处，闸杆重量不计，
fs , 各尺寸如图所示：
求： 制动鼓轮所需铅直力F.
摩擦
摩擦
例 已知：均质木箱重 求（：1）当D处拉力
P 5kN , fs 0.4 , h 2a 2m , 30o ； F 1kN时，木箱是否平衡?
（2）能保持木箱平衡的最大拉力.
摩擦
解：（1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 Fs F cos 0 Fy 0 FN P F sin 0
补充方程
M f , max FN
所以求得最大拉力为
Fmax
Gsin



cos

R

摩擦
3. 以滑轮B为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程
M B F 0, FR M B 0
当绳拉力分别为Fmax 或 Fmin 时，力偶矩的最
大与最小值为
M Bmax Fmax R GR sin cos
cos

F
(L

a) cos
W
L 2
sin

0
Fy 0 : FB W 0
MB
0:
Fa cos
W
L sin
2
FAL cos
0
Fs

W 2
tan

F (1
a ), L
FB W ,
FA

a L
F

W 2
tan
摩擦
FA
A
C
DF
W
Fs

W 2
tan

sin cos

fs cos fs sin
P
摩擦
设物块有下滑趋势时，推力为，F2 画物块受力图：
Fx 0,
F2 cos P sin Fs2 0
Fy 0, F2 sin P cos FN 2 0
Fs 2 f s FN 2
F2

sin cos
摩擦
例
已知：P , , fs .
求：使物块静止，水平推力
F
的大小．
解：使物块有上滑趋势时，推力为
F1
，
画物块受力图
F 0, x
F1 cos P sin Fs1 0
F y

0, F1 sin P cos FN1 0
FS1 f s FN1
解得： F1
•静滑动摩擦力（大小、方向）由平衡条件（方程）确定。 •只有达到临界状态时，静滑动摩擦力的大小才等于支撑力 与摩擦因数的乘积。
摩擦
滚动摩阻的概念
摩擦
向A点简化
滚动摩阻力偶
摩擦
Fx 0
F Fs 0
MA 0
M FR 0
滚阻力偶与主动力偶（F,FS）相平衡
滚动 摩擦
0 Fs Fmax
2、 严格区分物体处于临界、非临界状态；
3、由于摩擦力大小有一个范围，所以解也常常是力、尺寸或 角度的一个平衡范围。
摩擦
A
B
FA
n
A
FB
W
B
问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑 动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 至少为多大。
(不计梯子自重, 人重为W )
解：研究梯子，画受力图
不滑动条件： max tan tanmax fs 0 300 tan 300 fs
解：①取鼓轮为研究对象
设鼓轮被制动处于平衡状态
M O1 0 rFT RFs 0 ②取闸杆为研究对象
M O 0 Fa FN b Fsc 0 且 Fs fs FN 而 FT P, Fs Fs 解得 F r(b fsc)
fs Ra
考虑摩擦的多刚体平衡
F2 P tan( )
F2 P tan( ) F P tan( ) F1
利用三角公式与 tan fs ,
得 P sin fs cos F P sin fs cos
摩擦 cos fs sin
cos fs sin
例
已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
M Bmin Fmin R GR sin cos
FBy
F
FBx
B
MB
MB 的取值范围为
GRsin cos ≤ MB ≤ GRsin cos
摩擦
静力学
摩擦
摩擦
考虑摩擦时物体的平衡
一、滑动摩擦
1、静滑动摩擦
0 Fs Fmax
Fmax fs FN
FN
Fs
P
滑动趋势
F
Fs：摩擦力，FN ：法向约束力
其中：f s静滑动摩擦因数 (coefficient of static friction)
FN
2、动滑动摩擦
v F
Fd f FN
列平衡方程
Fmin
x
M AF 0
O
G sin R Fmin R M f , max 0
y
A Ff
Fy 0
G Mf , max FN
FN G cos 0
α
补充方程
M f , max FN
求得最小拉力为
Fmin

G sin


这种现象称为自锁。 FP
f
所以物体平衡范围0≤FF≤FR max也可以表示为0≤ ≤ f。
摩擦
● 两个重要结论 ② 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外， 则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。
f
FP
FR
摩擦
问题：已知静滑动摩擦因数 为 f,斜面倾角为多大时,滑 块将要滑动。
问题：已知静滑动摩擦因数 均为 f ，沿垂直于屏幕方向 水平推动滑块,哪种情况较易 推动？
使圆轮滚动比滑动省力的原因
处于临界滚动状态，轮心拉力为
F1
处M于m临ax界 滑FN动状F1态R ，轮F心1 拉力R为F，NF2
Fmax fs FN F2 F2 f s FN
一般情况下，
R

fs
F1 F2
．
某型号车轮半径，R 450mm 混凝土路面 3.15mm fs 0.7