深圳南山区高 三 教 学 质 量 监 测.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
深圳南山区2016届高 三 教 学 质 量 监 测
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损。

之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损。

考试结束后，将答题卡交回。

5．考试不可以使用计器。

第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．已知全集U =Z ，集合{}1,6A =，{}2,0,1,6A
B =，那么()
U A B =ð
A ．∅
B ．{}3,4,5
C ．{}2,0
D ．{}1,6 2．已知复数i z x y =+（,x y ∈R ），且有
1i 1i
x
y =+-，则z 的值为 2016.01.20
A ．3
B ．5
C ．7
D ．2 3．设,a b ∈R ，则“1a b >>”是“2
2
a b a b -<-”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．二项式62
()n mx x
+
的展开式中，若常数项为60，则22
m n 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
5．实数,x y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，则z x y =-的最小值为
A ．1
B ．1-
C ．
12
D ．2
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：
x
3 4 5 6 y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为=0.70.35+y x ，那么表中t 的值为 A ．3
B ．3.15
C ．3.5
D ．4.5
7．设α是第二象限角，且3
cos 5
α=-
，则tan 2α= A ．
247- B ．127
- C ．127 D ．247
8．阅读如下的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
9．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，沿AC 将矩形ABCD 折叠，连接BD ，所得三棱锥D ABC -的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥D ABC -的侧视图的面积为
A ．3
4
B ．38
俯视图
正视图
俯
正
D
C
B
A
C ．
1
2
D ．34
10．如图，已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的下，上焦
点，过2F 点作以1F 为圆心，1OF 为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．3 D ．2
11．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，10a =，57b =，且cos ,cos ,a C b B
cos c A 成等差数列，则c =
A ．15
B ．5
C ．3
D ．25
12．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340
l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4
5
，则椭圆E 的离心
率的取值范围是 A. 3(0,]2 B.3(0,]4 C.3[,1)2 D. 3[,1)4
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设随机变量X 服从正态分布2
(1,)N σ，且2
(1)(3)P X a P X a ≤-=>-，则正数
a = ．
14．设0>a 且1≠a ，则“函数
x a x f =)(在R 上是减函数”，是“函数3
)2()(x a x g -=是R 上的增函数”的___________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、
“既不充分也不必要”）
15．已知数列{}n a 满足1(1)()n n n a a n *
+=-∈N ，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则
2015S = ．
16．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭
的图像向左平移π
6个单位后关于原点对称，则函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为 ．
M P
y x
O F 1
F 2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足21是24,a a 的等比中项，1510a a +=．数列
{}n b 满足2
n
n n a b =
． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直
方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （2）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，
求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80
分）的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望． （注：频率可以视为相应的概率）
19．（本小题满分12分）
如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，
底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，2222AB AD AP CD ====，E 是棱PC 上一点，且2CE PE =．
（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角A PC D --的大小；
20．（本小题满分12分）已知点O 为坐标原点，直线l 经过
抛物
线2
:4=C y x 的焦点F ．
0.015 0.02 0.025 0.03 0.01
50 60 70 80 90 100 考试成绩（分）
频率 组距
O
E D C
B
A
P
（Ⅰ）若点O 到直线l 的距离为
1
2
，求直线l 的方程； （Ⅱ）如图，设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，FA 为半径的圆与x 轴负半轴的交点，试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．
21．（本小题满分12分） 已知函数()ln a
f x x ax x
=-+
，其中a 为常数． （1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点(3,4)，求a 的值；
（2）若01a <<，求证：2
()02
a f >； （3）当函数()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点,PO 交圆O 于,B C 两点，20PA =，
10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .
（1）求证
AB PA
AC PC
=
. （2）求AD AE ⋅的值.
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
α
sin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4
sin(=+
π
θρ．
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值．
24．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
设函数()2f x x a =-．
（1）当3a =时，解不等式，()2f x x <-． （2）若()1f x ≤的解集为[]0,1，11(0,0)2a m n m n
+=>>，求证：24m n +≥.
深圳市南山区2016届高三期末质量检测答案理
E
B
D
O
P
A
C
理科数学
1、C
2、B
3、B
4、C
5、B
6、A
7、A
8、B
9、B 10、D 11、A 12、A
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13． 2a =
14． 充分而不必要 15． 20151S =- 16． 32
-
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题知0d >．
由315210a a a =+=，可得35a =． 由21是24,a a 的等比中项得2421a a =， 即(5)(5)21d d -+=，可得2d =．
所以1321a a d =-=．可得21(*)n a n n =-∈N 6分
（2）由（1）得21
2n n
n b -=
， n T =2313521
2222
n n -++++，①
∴ 12n T = 2341135232122222n n n n +--+++++ ，②
①-②得，12n T =231122221
22222
n n n +-++++-
=
111121212212
n
n n +-----=132322n n ++-， ∴n T =23
32
n
n +-． 12分 18. 解：（1）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
0.1550.2650.3750.25850.1595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5.76． ……………2分
（2）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A ．
()0.025100.015100.4P A =⨯+⨯=
答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ……6分 （3）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为
5
2， X 可能的取值是0，1，2，3．
125
27)53()52()0(3
003=
==C X P ； 12554)53()52()1(2
113=
==C X P ； 125
36
)53()52()2(1223=
==C X P ； 125
8)53()52()3(0
333=
==C X P ． X 的分布列为：
X
0 1 2 3 P
12527 12554 12536 125
8 ………11分
所以 27543686
()01231251251251255E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （或2~(3,)5X B ，所以26
()355
E X np ==⨯=．）
19．（本小题满分12分）
解：（1）先证BC ⊥平面PAC ，可得AE BC ⊥，再用勾股定理的逆定理证AE PC ⊥； 4分 （2）设AC 中点为O ，CE 中点为M ，连DO ，OM ，DM ，
则//OM AE ，DO ⊥平面PAC ，由（1）知AE PC ⊥，所以OM PC ⊥， 由三垂线逆定理知DM PC ⊥，OMD ∠为二面角A PC D --的平面角， 22DO =
，1626
OM AE == tan 3OD
OMD OM
∠=
=，OMD ∠=60 二面角A PC D --的大小60 12分 用向量方法对照上面给分 用向量方法参考上面给分
20．解：（Ⅰ）抛物线的焦点(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，即1=x 不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)=-y k x ，即0--=kx y k ．
所以，
21
21-=+k
k
，解得：33=±k ． 故直线l 的方程为：3
(1)3
=±
-y x ，即310±-=x y ．……………………………6分 （Ⅱ）直线AB 与抛物线相切，证明如下：
设0000(,)(0,0)≠≠A x y x y ，则2
004=y x ． 因为01==+BF AF x ，所以0(,0)-B x ． 所以直线AB 的方程为：0
00
()2=
+y y x x x ，整理得： 000
2=
-x y
x x y 把方程000
2=
-x y
x x y 代入24=y x ，得：20000840-+=y y x y x y ， 222200000641664640∆=-=-=x x y x x ．
所以直线AB 与抛物线相切．………………………………………………………………12分
21. (本小题满分12分) 解：由题知0x >
（1） 211
()(1)f x a x x
'=-+ (1)12f a '∴=- ……………………………2分
4(1)
(1)231
f f -'=
=-又 112
22a a ∴-=∴=- …………………………4分 （2）223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=+--，令3
2()2ln ln 22x g x x x =+--，
则2422
22334(1)
()22x x x g x x x x -+-'=--=
……………………………………6分 ∴(0,1x ∈）
时，()0,()g x g x '<单调递减， 故(0,1x ∈）
时，1()(1)2ln 202
g x g >=-->， ∴当01a <<时，2
()02
a f > …………………………………………8分
（3）
222
11()(1)ax x a
f x a x x x -+-'=-+=
①00()0,()a f x f x '≤+∞>当时，在（，）上，递增，
∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………10分
②1
0()0,()2
a f x f x '≥+∞≤当时，在（，）上，递减，
∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………11分
③10()0,2a f x '<<=当时，令得22
121141141,122a a x x a a
--+-=<=>
此时，()f x 在1(0,)x 上递减，12(,)x x 上递增，2(,)x +∞上递减，所以，()f x 至多有三个零点。

因为()
f x
在1(,1)x 递增，所以1()(1)0
f x f <=，又因为2()02a f >，所以2
01(,)2
a x x ∃∈，使得0()0f x =，又001()()0,(1)0f f x f x =-==，所以恰有三个不同零点：0,
1
1,x x ，所以函数()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是1
(0,)2。

………………………………12分
请考生在22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本题满分10分）选修41-：几何证明选讲
解：（1）由PA 为圆O 的切线,得PAB ACP ∠=∠，又P ∠为公共角，所以PAB PCA ∆∆，
∴
AB PA
AC PC
=
4分 （2）由PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，2
PA PB PC ∴=⋅， 40PC ∴=，30BC =，又90CAB ∠=，2
2
2
900AC AB BC ∴+==，
又由（1）知
1
2
AB PA AC PC ==，125AC ∴=，65AB =， AE 是BAC ∠的角平分线，且AEC ABD ∠=∠， AEC ABD ∴∆∆，
AB AD
AE AC
∴=
，65125360AD AE AB AC ⋅=⋅=⨯= 10分 23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x 得⎪⎩⎪
⎨⎧==ααsin cos 3y x
即：曲线1C 的普通方程为：13
22
=+y x 由曲线2C ：24)4
sin(=+
π
θρ得：
24)cos (sin 2
2
=+θθρ 即：曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x …………………………………………5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点)sin ,cos 3(ααP 到直线08=-+y x 的距离为
2
8
)3sin(228sin cos 3-+=
-+=
π
αααd 所以当1)3
sin(=+π
α时，d 的最小值为23………………………………………10分
马鸣风萧萧 24．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
解：（1）当3a =时，不等式变形为232x x -<-，两边平方整理得
23850x x -+<，解得513x <<，所以不等式的解集为513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩
⎭ 5分
（2）由()1f x ≤得11
22a a x -+≤≤，故1a =，则 11
12m n +=
所以 11222()(2)2224222n m n
m
m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=
10分。