重庆高三高中数学月考试卷带答案解析

重庆高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.抛物线的焦点坐标为（）
A．B．C．D．
2.函数的导数是（）
A．B．C．D．
3.（）
A．2B．6C．10D．8
4.二项式的展开式的二项式系数和为（）
A．1B．-1C．D．0
5.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（）
A．B．C．D．
6.函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
7.是集合到集合的一个函数，其中，，，，则为单调递增函数的个数是（）
A．B．C．D．
8.一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（）
A．B．C．D．
9.函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A．B．C．D．
10.某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元
的概率是（）
A．B．C．D．
11.已知椭圆的两个焦点是，是直线与椭圆的一个公共点，当取
得最小值时椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12.已知函数的极大值是函数的极小值的倍，并且，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.某种树苗成活的概率都为，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为
，则的方差为__________．
2.设变量满足条件，则目标函数的最小值为__________．
3.半径分别为5,6的两个圆相交于两点，，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为
__________．
4.四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有__________种．
三、解答题
1.函数在处的切线为．
（1）求切线的方程；
（2）若曲线在点处的切线与垂直，求实数的取值．
2.如图所示，平面，底面为菱形，，，交于，点是
的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
3.甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不
冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．
（1）求三人观看同一场比赛的概率；
（2）记观看第一场比赛的人数是，求的分布列和期望．
4.已知椭圆：的离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．
5.已知函数．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）若，函数，且在上的最小值为2，求实数的值．
重庆高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.抛物线的焦点坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标
为 .
本题选择B选项.
2.函数的导数是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由复合函数求导法则可知： .
本题选择C选项.
点睛：
本题考查复合函数求的求导法则，设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可
导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)．复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
3.（）
A．2B．6C．10D．8
【答案】B
【解析】解：由微积分基本定理可知： .
本题选择B选项.
4.二项式的展开式的二项式系数和为（）
A．1B．-1C．D．0
【答案】C
【解析】解：由二项式系数和的性质可知，展开式的二项式系数和为 .
本题选择C选项.
5.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：由题意可知，概率空间元素的个数为，满足题意的点数为：，共种可能，
由古典概型的计算公式可知，落地时朝上的点数之和为的概率为 .
本题选择A选项.
6.函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意可知：，由题意可知，导函数大于等于零恒成立，即判别式
，解得：，
结合选项可知，函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是.
本题选择D选项.
7.是集合到集合的一个函数，其中，，，，则为单调递增
函数的个数是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：从集合中选取个元素，不妨设所取的元素为：，则据此所构造的函数为：，据此可得，满足题意的函数的个数是 .
本题选择D选项.
8.一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为
（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：由三视图可知，该几何体是如图所示的底面边长为，高为的正三棱柱，设分别为两底面的中心，点为的中点，则点即为外接球的球心，设外接球的半径为，由几何
关系可知：
，
设该球的内接正方体的棱长为，结合几何关系可知：
，正方体的表面积为： .
本题选择B选项.
点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.
9.函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：令，则，
据此可知：单调递减，，
，
结合所给选项，只有A选项符合题意.
本题选择A选项.
10.某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：当比赛中的一方连续三次取得胜利，则转播商获利低于80万元，
转播商获利不低于80万元的概率是 .
本题选择A选项.
11.已知椭圆的两个焦点是，是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得：，
满足题意时：，
当时，椭圆的离心率取得最小值 .
本题选择D选项.
12.已知函数的极大值是函数的极小值的倍，并且，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知：，
据此可得函数的极大值为，
函数的极小值为，即：，
在区间上：
不等式等价于：，很明显，
当时：，
结合可得：；
当时：，
结合可得：；
综上可得实数的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛：
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题的关键是进行转化，把所求问题转化为求
函数的最小值、最大值问题．若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为
f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
二、填空题
1.某种树苗成活的概率都为，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为
，则的方差为__________．
【答案】
【解析】解：由题意可知，该分布列为二项分布，由方差公式可知该分布的方差为：
.
2.设变量满足条件，则目标函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】解：绘制可行域如图所示，观察可知，在点处，目标函数取得最小值 .
点睛：
本题考查线性规划中的最值问题，审题思路如下：确定问题属于线性规划问题⇒读题，列出线性约束条件及目标函
数⇒画出可行域⇒把目标函数变形，平移，确定最小值经过的点⇒解两直线的交点⇒点代入目标函数可得．
3.半径分别为5,6的两个圆相交于两点，，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为
__________．
【答案】
【解析】解：设两圆的圆心分别为，的中点为，由题意可知：
，
则： .
4.四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有__________种．
【答案】
【解析】解：利用分类加法计数原理：
当四位同学都选择甲题目或者乙题目的时候，各有种记分情况；
当三人选择甲题目，一人选择乙题目，或者三人选择乙题目，一人选择甲题目时，各有种记分情况；
当两人选择甲题目，两人选择乙题目时，有种记分情况；
综上可得，不同的得分情况共计有种.
三、解答题
1.函数在处的切线为．
（1）求切线的方程；
（2）若曲线在点处的切线与垂直，求实数的取值．
【答案】（1）; （2）.
【解析】
(1)利用导函数求得切线的斜率，然后写出切线方程即可；
(2)由导函数与切线之间的关系结合两直线垂直时斜率之积为求解实数的值即可.
试题解析：
（1）根据条件，切点为，斜率为，所以的方程为，
（2）根据条件，又图象上任意一点处的切线与垂直，则有
，所以的值为．
点睛：
导数运算及切线的理解应注意的问题包括：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
2.如图所示，平面，底面为菱形，，，交于，点是
的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
(1)利用直线与平面垂直的判断定理证得线线垂直即可证得线面垂直.
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的结论求解二面角的余弦值即可.
试题解析：
（1）∵是菱形，∴，
又∵平面，平面，∴，
而，
∴平面．
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，方向如图所示，
根据条件有点，由（1）可知平面，所以可取为平面的法向量，，现设平面的法向量为，则有，令，
则，设平面与平面所成的锐二面角大小为，则
．
3.甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．
（1）求三人观看同一场比赛的概率；
（2）记观看第一场比赛的人数是，求的分布列和期望．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
(1)利用事件的独立性结合题意求解概率即可.
(2)在(1)的基础上进一步进行计算，所有的取值为，写出分布列，求解数学期望即可.
试题解析：
（1）记事件“三人观看同一场比赛”，根据条件，由独立性可得，．
（2）根据条件可得分布列如下：
．
4.已知椭圆：的离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）时，的面积取得最大值.
【解析】
(1)利用题意列出的方程组，求得的值即可求得椭圆的方程；
(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理求得的值，则，
最后利用均值不等式求解三角形面积的最大值即可.
试题解析：
（1）根据条件有，解得，所以椭圆．
（2）根据，可知，分别为的中点，且直线斜率均存在且不为0，现设点，直线的方程为，不妨设，联立椭圆有，
根据韦达定理得：，，
，，同理可得，
所以面积，现令，
那么，所以当，时，的面积取得最大值
．
5.已知函数．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）若，函数，且在上的最小值为2，求实数的值．【答案】（1）的值为；（2）.
【解析】（1），又在处取得极值，则，
此时，显然满足条件，所以的值为．
（2）由条件，又在上的最小值为2，
所以有，即
又，当时，可知在上递增，无最小值，不合题意，故这样的必须满足，此时，函数的增区间为，减区间为，
整理得（*）
若，则，且，无解
若，则，将（*）变形为．即，设
则上式即为，构造，则等价于
，故在上单调递减
又，故等价于，与之对应的
综上，．。