2021年高考数学一轮总复习 6.5合情推理与演绎推理练习

2021年高考数学一轮总复习 6.5合情推理与演绎推理练习
一、选择题
1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和②
解析 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.
答案 B
2．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积πr 2
，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的面积S ＝πab
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析 由A 可知其为椭圆的定义；
B 由a 1＝1，a n ＝3n －1求出S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，属于归纳推理；
C 由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积πr 2
，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的面积S ＝πab ，是类比推理；
D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，也属于类比推理，故选B. 答案 B
3．观察下式：1＝12,
2＋3＋4＝32,
3＋4＋5＋6＋7＝52,
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72
，…，则第n 个式子是( )
A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2
B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2
C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2
解析 方法一：由已知得第n 个式子左边为2n －1项的和且首项为n ，以后是各项依次
加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.
方法二：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，
都不是4，故只有3n－2＝4，故选C.
答案 C
4．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( )
A. B.
C. D.
解析表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．
答案 A
5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则
S1 S2＝
1
4
，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体
积为V2，则V1
V2
＝( )
A.1
8
B.
1
9
C.1
64
D.
1
27
解析正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故V1
V2＝
1 27
.
答案 D
6．(xx·青岛模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 011次操作后得到的数是( )
A．25 B．250
C．55 D．133
解析第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，可知操作后得到的数以3为周期重复出现，而2 011＝3×670＋1，所以第2 011次操作后得到的数等于第1次操作后得到的数，即为133.
答案 D 二、填空题
7．观察下列等式：13
＋23
＝32,13
＋23
＋33
＝62,13
＋23
＋33
＋43
＝102
，…，根据上述规律，第五个等式为__________．
解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13
＋23
＋33
＋43
＋53
＋63
＝212
.
答案 13
＋23
＋33
＋43
＋53
＋63
＝212
8．观察下列图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．
解析 第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，
因此a n ＝1＋2＋3＋...＋(n ＋1)． 故a 6＝1＋2＋3＋ (7)
71＋7
2
＝28， 即第6个图中有28个小正方形． 答案 28
9．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }有________________．
解析 设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝(b 1q
p －1)m －n
·(b 1q
m －1)n －p
·(b 1q
n
－1)p －m
＝b 01·q 0
＝1.
答案 b m －n
p ·b n －p
m ·b p －m
n ＝1 三、解答题
10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中，(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝1
2×底×高；(3)三角形的中位线平行于第
三边且等于第三边的1
2
；…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积V ＝1
3
×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1
4.
11．观察下表： 1， 2,3， 4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15， …，
问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 013是第几行的第几个数？ 解 (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n
， ∴第n 行的最后一个数是2n
－1. (2)2n －1
＋(2
n －1
＋1)＋(2
n －1
＋2)…＋(2n
－1)
＝
2
n －1
＋2n －1
·2
n －1
2
＝3·22n －3
－2
n －2
.
(3)∵210
＝1 024,211
＝2 048,1 024<2 013<2 048， ∴2 013在第11行，该行第1个数是210
＝1 024，
由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数．
培 优 演 练
1．设非空集合M 同时满足下列两个条件：
①M ⊆{1,2,3，…，n －1}；②若a ∈M ，则n －a ∈M (n ≥2，n ∈N *
)，则下列结论正确的是( )
A ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n 2个
B ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n
2－1个
C ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n －1
2个 D ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2
n ＋1
2
个
解析 当n ＝2时，M ⊆{1}，且满足1∈M,2－1∈M ，故集合M 的个数为1个； 当n ＝3时，M ⊆{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M ，故集合M 的个数为1个； 当n ＝4时，M ⊆{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M ，
故集合M 的个数为3个，故可排除A ，C ，D ，选B. 答案 B
2．观察下列算式： 13
＝1， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ……
若某数m 3
按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 解析 某数m 3
按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12
＋0,5＝22
＋1,11＝32
＋2,19＝42
＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m
2
＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2
＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2
＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.
答案 45
3．(xx·福建卷)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．
解析 由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况： (1)当①成立时，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，此种情况不成立； (2)当②成立时，则a ＝2，b ＝2，c ＝0，此种情况不成立； (3)当③成立时，则a ＝2，b ≠2，c ≠0，即a ＝2，b ＝0，c ＝1， 所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案 201
4．设函数f n (θ)＝sin n
θ＋(－1)n
cos n
θ，0≤θ≤
π
4
，其中n 为正整数． (1)判断函数f 1(θ)，f 3(θ)的单调性，并就f 1(θ)的情形证明你的结论； (2)证明：2f 6(θ)－f 4(θ)＝(cos 4
θ－sin 4
θ)(cos 2
θ－sin 2
θ)．
解 (1)f 1(θ)，f 3(θ)在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，
π4上均为单调递增函数． 对于函数f 1(θ)＝sin θ－cos θ，设θ1<θ2，θ1，θ2∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，
π4，则f 1(θ1)－f 1(θ2)＝(sin θ1－sin θ2)＋(cos θ2－cos θ1)，
可得sin θ1<sin θ2，cos θ2<cos θ1，
∴f 1(θ1)<f 1(θ2)，函数f 1(θ)在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增．
(2)证明：∵原式左边＝2(sin 6
θ＋cos 6
θ)－(sin 4
θ＋cos 4
θ)
＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θ·cos2θ＋cos4θ)－(sin4θ＋cos4θ)
＝sin4θ－2sin2θcos2θ＋cos4θ＝(sin2θ－cos2θ)2＝cos22θ.
又∵原式右边＝(cos2θ－sin2θ)2＝cos22θ，
∴2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)(cos2θ－sin2θ)．6 25583 63EF 揯 27731 6C53 汓S30941 78DD 磝29964 750C 甌40764 9F3C 鼼~36299 8DCB 跋36384 8E20 踠z&。