2021-2022学年广东省广州市南沙区八年级(上)期末数学试卷

2021-2022学年广东省广州市南沙区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）
1．（3分）下列图形中，不具有稳定性的是（）
A．等腰三角形B．平行四边形C．锐角三角形D．等边三角形2．（3分）下面的轴对称图形中，对称轴数量最多的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）下面的计算正确的是（）
A．（ab）2＝ab2B．（ab）2＝2ab C．a3•a4＝a12D．（a3）4＝a12 4．（3分）当x＝﹣2时，下列分式没有意义的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）
A．115°B．65°C．40°D．25°
6．（3分）计算（2x﹣1）（x+2）的结果是（）
A．2x2+x﹣2B．2x2﹣2C．2x2﹣3x﹣2D．2x2+3x﹣2 7．（3分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（）A．15B．20C．25D．20或25
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（）
A．18B．24C．36D．72
9．（3分）如图，将△ABC沿着DE减去一个角后得到四边形BCED，若∠BDE和∠DEC 的平分线交于点F，∠DFE＝α，则∠A的度数是（）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．360°﹣αD．360°﹣2α10．（3分）若正整数m使关于x的分式方程的解为正数，则符合条件的m的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。

）
11．（3分）红细胞也称红血球，是血液中数量最多的一种血细胞，也是我们体内通过血液运送氧气的最主要的媒介，同时还具有免疫功能．红细胞的直径单位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人类的红细胞直径通常是6μm～8μm．6μm用科学记数法可以表示为m．
12．（3分）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是8m，17m，那么甲、乙两人的距离d的范围是．
13．（3分）化简：的计算结果是．
14．（3分）把多项式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），则m+n的值是．15．（3分）如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB+∠DCB＝180°，DE⊥AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是．
16．（3分）若|2x﹣4|+（y+3）2＝0，点A（x，y）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。

）17．（4分）计算：（结果用幂的形式表示）3x2•x4﹣（﹣x3）2．
18．（4分）已知一个正多边形一个内角等于一个外角的倍，求这个正多边形的边数．19．（6分）如图，已知∠A＝∠C，AE、CF分别与BD交于点E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
20．（6分）如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD．（2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长．
21．（8分）已知T＝．
（1）化简T．
（2）若m2+2m﹣3＝0，求此时T的值．
22．（10分）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学校的路程是9千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发20分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1）求黄老师驾车的平均速度；
（2）据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
23．（10分）常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a+8；
（2）请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；
（3）若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
24．（12分）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
25．（12分）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P 位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2．
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
2021-2022学年广东省广州市南沙区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）
1．（3分）下列图形中，不具有稳定性的是（）
A．等腰三角形B．平行四边形C．锐角三角形D．等边三角形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可作出选择．
【解答】解：平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了多边形和三角形的性质，解题的关键是记住三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
2．（3分）下面的轴对称图形中，对称轴数量最多的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．【解答】解：选项A有两条对称轴，选项B有两条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有一条对称轴，
∴对称轴数量最多的是选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下面的计算正确的是（）
A．（ab）2＝ab2B．（ab）2＝2ab C．a3•a4＝a12D．（a3）4＝a12
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：A．（ab）2＝a2b2，故A不符合题意；
B．（ab）2＝a2b2，故B不符合题意；
C．a3•a4＝a7，故C不符合题意；
D．（a3）4＝a12，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
4．（3分）当x＝﹣2时，下列分式没有意义的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的分母为0时，分式无意义即可解答．
【解答】解：A．分式没有意义时，x＝﹣2，故A符合题意；
B．分式没有意义时，x＝2，故B不符合题意；
C．分式没有意义时，x＝0，故C不符合题意；
D．分式没有意义时，x＝0，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母为0时，分式无意义是解题的关键．
5．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）
A．115°B．65°C．40°D．25°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣115°﹣25°＝40°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键．
6．（3分）计算（2x﹣1）（x+2）的结果是（）
A．2x2+x﹣2B．2x2﹣2C．2x2﹣3x﹣2D．2x2+3x﹣2
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2x2+4x﹣x﹣2＝2x2+3x﹣2．
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
7．（3分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（）A．15B．20C．25D．20或25
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝6，AB＝12，则△ABD的面积是（）
A．18B．24C．36D．72
【分析】作DH⊥AB于D，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝6，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DH⊥AB于D，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝6，
∴S△ABD＝×12×6＝36．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
9．（3分）如图，将△ABC沿着DE减去一个角后得到四边形BCED，若∠BDE和∠DEC 的平分线交于点F，∠DFE＝α，则∠A的度数是（）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．360°﹣αD．360°﹣2α
【分析】根据三角形内角和等于180°得到，∠FDE+∠FED＝180﹣α，再由两个角平分线可以得到∠BDE+∠CED＝360﹣2α，根据四边形内角和等于360°，推出∠B+∠C＝2α，进而得到∠A的度数．
【解答】解：在△DEF中，
∵∠DFE＝α，
∴∠FDE+∠FED＝180﹣α，
∵∠BDE和∠DEC的平分线交于点F，
∴∠BDE+∠CED＝360﹣2α，
∴∠B+∠C＝2α，
在△ABC中，
∵∠B+∠C＝2α，
∴∠A＝180﹣2α．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形和四边形的内角和以及角平分线，掌握三角形和四边形内角和公式是解题的关键．
10．（3分）若正整数m使关于x的分式方程的解为正数，则符合条件的m的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m 的取值范围，进而可求解．
【解答】解：去分母得：m＝x（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+2），
即m＝4﹣x，
解得x＝4﹣m，
由x为正数且（x﹣1）（x+2）≠0可得：4﹣m＞0且m≠6或3，
解得：m＜4且m≠3，．
∵m为正整数，
∴m的值为1，2共2个数．
故选：A．
【点评】考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，求得x＝4﹣m，即可列出关于m的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉（x﹣1）（x+2）≠0，这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。

）
11．（3分）红细胞也称红血球，是血液中数量最多的一种血细胞，也是我们体内通过血液运送氧气的最主要的媒介，同时还具有免疫功能．红细胞的直径单位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人类的红细胞直径通常是6μm～8μm．6μm用科学记数法可以表示为6×10﹣6m．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6μm＝6×0.000001m＝6×10﹣6m．
故答案为：6×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是8m，17m，那么甲、乙两人的距离d的范围是9≤d≤25．
【分析】结合三角形三边关系进而得出甲、乙两人的距离d的范围．
【解答】解：∵运动员甲、乙两人与足球的距离分别是8m，17m，
∴甲、乙两人的距离d的范围是：17﹣8≤d≤17+8，则9≤d≤25．
故答案为：9≤d≤25．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确结合实际问题分析是解题关键．13．（3分）化简：的计算结果是．
【分析】通分并利用同分母分式的加法法则进行计算即可求出答案．
【解答】解：
＝+
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加法，题目比较简单，在进行计算时要注意把最后结果进行化简是本题的关键．
14．（3分）把多项式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），则m+n的值是﹣18．【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x2﹣6x+m＝（x+3）（x﹣n），
x2﹣6x+m＝x2+3x﹣nx﹣3n，
x2﹣6x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n，
∴3﹣n＝﹣6，m＝﹣3n，
∴n＝9，m＝﹣27，
∴m+n＝﹣18，
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
15．（3分）如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB+∠DCB＝180°，DE⊥AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是6．
【分析】过D作DF⊥BC，垂足为F，首先证明∠DAE＝∠FCD，再证明△AED≌△CFD，可得AE＝FC，然后证明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB＝BE，再根据线段的和差关系可得AB＝2BE﹣BC，则可得出答案．
【解答】解：如图，过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵∠BCD+∠FCD＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠DAE＝∠FCD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE＝FC，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB＝BE，
∴AB＝AE+BE＝BE﹣BC+BE＝2BE﹣BC，
∵AB＝8，BC＝4，
∴BE＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解决本题的关键是作出辅助线．
16．（3分）若|2x﹣4|+（y+3）2＝0，点A（x，y）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是（﹣2，3）．
【分析】依据非负数的性质，即可得到x＝2，y＝﹣3；依据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵|2x﹣4|+（y+3）2＝0，而|2x﹣4|≥0，（y+3）2≥0，
∴2x﹣4＝0，y+3＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴点A的坐标为（2，﹣3），
∴点A（x，y）关于x轴对称的点B的坐标为（2，3），
∴点B关于y轴对称的点C的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题主要考查了非负数的性质以及关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。

）17．（4分）计算：（结果用幂的形式表示）3x2•x4﹣（﹣x3）2．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可．
【解答】解：3x2•x4﹣（﹣x3）2
＝3x6﹣x6
＝2x6．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，掌握法则是解题的关键．
18．（4分）已知一个正多边形一个内角等于一个外角的倍，求这个正多边形的边数．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个正多边形的一个内角等于一个外角的列方程求解可得．
【解答】解：设此正多边形为正n边形．
∵正多边形的一个内角等于一个外角的，
∴此正多边形的内角和等于其外角和的，
∴×360°＝（n﹣2）•180°，
解得n＝5．
答：正多边形的边数为5．
【点评】本题考查正多边形的内角和与外角和．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
19．（6分）如图，已知∠A＝∠C，AE、CF分别与BD交于点E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．
【分析】由已知设①AB∥DC；③DE＝BF，则得∠B＝∠D，DF＝BE，即得△ABE≌△CDF，从而证得∠DFC＝∠BEA，进而解答即可．
【解答】解：如果AB∥DC，DE＝BF，那么AE∥CF．
证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D．
∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF，
即DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴∠DFC＝∠BEA，
∴AE∥CF．
【点评】此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证△ABE≌△CDF．
20．（6分）如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD．（2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）求出BC+AB＝18，AC＝8，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求．
（2）DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝4，
∴AC＝8，
∵△BDC的周长＝BC+BD+DC＝BC+BD+DA＝BC+AB＝18．
∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18+8＝26．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的周长，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．（8分）已知T＝．
（1）化简T．
（2）若m2+2m﹣3＝0，求此时T的值．
【分析】（1）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）求出m2+2m＝3，再代入m2+2m求出答案即可．
【解答】解：（1）T＝•
＝•
＝m（m+2）
＝m2+2m；
（2）∵m2+2m﹣3＝0，
∴m2+2m＝3，
当m2+2m＝3时，原式＝3．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．（10分）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学校的路程是9千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发20分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1）求黄老师驾车的平均速度；
（2）据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
【分析】（1）可设黄老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解；
（2）先根据黄老师开车的平均速度求出与离学校的距离求出一天开车的时间，即可求出减少碳排放量多少千克．
【解答】解：（1）设黄老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则驾车的平均速度是3x 千米/小时，依题意有：
﹣＝，
解得x＝18，
经检验，x＝18是原方程的解．
3x＝54，
答：黄老师驾车的平均速度是54千米/小时；
（2）由（1）可知黄老师开车的平均速度是54千米/小时，
×2×2.4＝0.8（千克）．
答：黄老师一天可以减少的碳排放量0.8千克．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，根据时间的等量关系列出方程是解决问题的关键．
23．（10分）常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a+8；
（2）请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；
（3）若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
【分析】（1）提取公因式，利用完全平方公式分解因式即可；
（2）前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式，再提取公因式即可；
（3）前两项提取公因式a，后两项提取公因式﹣c，再提取公因式（a﹣b），得到（a﹣b）（a﹣c）＝0，从而a＝b或a＝c或a＝b＝c，从而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣4a+4）
＝2（a﹣2）2；
（2）原式＝（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+y+3）；
（3）△ABC是等腰三角形或等边三角形．理由如下：
∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a ±b）2是解题的关键．
24．（12分）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE＝OF即可解答；
（3）根据角平分的定义求出∠OCP＝90°即可解答．
【解答】（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP
＝∠ACB+∠ACD
＝∠BCD
＝×180°
＝90°，
∴OC⊥CP．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
25．（12分）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P 位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2．
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP＝QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F 点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ＝CQ＝4，CE＝2，
∴AB＝CQ，
∵PQ＝2，
∴BP＝2，
∴BP＝CE，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP＝QE；
（2）解：如图②，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4，
∴BP＝4；
（3）解：如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT＝FT＝4，QC＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣3﹣2＝3＝CH，
∴PF＝8，PH＝8，
∴PF＝PH，
又∵∠FPH＝90°，
∴∠F＝∠H＝45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F＝∠TMF＝45°，∠H＝∠CNH＝45°，
∴FT＝TM＝4，CN＝CH＝3，
∴四边形PQNM的面积＝×PF×PH﹣×PF×TM﹣×QH×CN＝×8×8﹣×8×4﹣×6×3＝7．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．。