-含随机变量的资产投资组合优化模型

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统计与决策２００9年第1期（总第２77期）
摘
要：在收益系数和风险系数均为随机变量的情况下，为满足不同风险偏好者实际投资的需
要，分别建立了资产投资组合优化问题的随机期望值模型和随机机会约束规划模型。

为了有效求解优化模型，采用了将随机模拟、神经元网络及遗传算法相结合的混合智能算法。

最后通过数值实例说明了算法的有效性。

关键词：证券组合；投资优化；随机变量；混合智能算法中图分类号：O211.1
文献标识码：A
文章编号：１００２－６４８７（２００9）01－0146-03
含随机变量的资产投资组合优化模型
臧东冉，林
亮，刘星子
（桂林工学院数理系，广西桂林541004）
0引言
随着市场经济的发展，资产投资越来越受到资产拥有者
的关注。

在资产投资的过程中，投资者希望自身既能以同样多的资金投入获得最大的收益，同时又承担最小的投资风险。

然而，无论在理论上还是在实际运作中，这种情况都是不可能存在的。

一般认为，收益和风险之间存在一定的相关性，即收益大的投资项目伴随着高风险，收益小的投资项目的风险自然就相对较低。

如何对这些项目进行最优选择，这便是投资组合最优配置问题。

本文以运筹学和不确定规划为理论支撑，从随机的角度来研究证券投资组合模型问题，是对投资组合优化方法的一个新型探索。

为满足不同的风险偏好者实际投资的需要，引入了收益和风险之间的权重参数，将收益和风险列入同一目标函数，并将确定的模型系数转换为不确定系数。

首先在投资比例非负的前提下，以投资满意度最大为目标，分别建立了证券投资组合问题的随机期望值模型和随机机会约束规划模型。

然后针对模型求解难的特点，设计了相应的混合智能算法。

最后，给出了一个数值计算的实例，结果表明该算法是有效可行的。

1资产投资组合随机规划模型
1.1
假设条件
对于随机资产投资组合问题，假设：
①用n 种证券代替n 种资产；
②证券市场是有效的，即市场中各证券收益和风险的变
动及产生因素人所共知；
③在较短的投资期内，市场不会发生巨大变化；④投资者都遵守主宰原则，即在同一风险水平下，希望
收益率越高越好；而在同一收益率水平下，希望风险越小越
好；
⑤证券交易时不考虑交易费。

1.2
模型建立
为了建立资产投资组合优化模型，我们给出以下的指标和模型参数：
f ：投资满意度；
ξ：收益率系数，度量收益时常采用的指标，因各产业未
来发展形势的不确定性和发展走势下收益的随机性，故假定该变量为随机变量，ξi 表示第i 种证券的市场收益率系数；
η：度量证券市场中由资产组合和资产收益的相关性所
带来的系统风险，因市场经济体制下投资风险的随机性，故假定该变量为随机变量，ηi 表示第i 种证券的市场风险系数；
E r ：市场平均收益率；σ2：市场风险（即市场方差）；
μ：权重参数，μ和（1-μ）分别表示决策者对投资净收益
和总体投资风险的重视程度，μ值越大，表示决策者更注重投资净收益，敢于冒风险，为风险喜好者；反之，表示投资者比较保守，不敢冒太大的投资风险，为风险厌恶者；
x=(x 1,x 2,…,x n )为决策变量，x i 表示第i 种证券投资额占总
投资的比例。

α：预先给定的置信水平。

有了上面的指标和模型参数，我们就可以在不同的目标要求下建立不同的随机规划模型。

1.2.1期望值模型
期望约束下，使目标函数的期望值达到最优的数学规
划，称为期望值模型，期望值模型是随机规划中最常见的形式。

由于实际投资过程中收益率系数和风险系数均为随机变量，从而导致满意度函数f 也是随机变量，既然不能准确预测f 值的大小，很自然的方法就是考虑目标值的期望值，从
基金项目：国家自然科学基金资助项目（10661006）；广西自然科学基金资助项目(桂科自0833621)
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统计与决策２００9年第1期（总第２77期）
而建立随机期望值模型如下：
maxE[f]=E[μn
i =1
Σx i (ξi +ηi E r )-(1-μ)(n
i =1
Σx i ηi )σ2
]
(1)
s.t.n
i =1
Σx i
=1
(2)x i ≥0
(3≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥
)
其中式（1）表示目标函数的期望值最大；式（2）表示各投资权重之和为1；式（3）表示各证券不允许卖空。

1.2.2随机机会约束规划模型
继期望值模型后，Charnes 和Cooper [1]提出了第二类随机
规划—机会约束规划，其显著特点是随机约束条件至少以一定的置信水平成立。

针对资产投资组合问题，同理假定x 是决策变量，ξ、η是随机变量，投资满意度f 是目标函数，为了在机会约束的条件下极大化目标函数的乐观值，则可以建立如下的随机机会约束规划模型：
maxf 軃s.t.
Pr{[μn
i =1
Σx I (ξi +ηi E r )-(1-μ)(n
i =1
Σx i ηi )σ2]≥f 軃
}≥αn
i =1
Σx i =1
x i ≥≥
≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥軃≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥
2
混合智能算法
对于资产投资组合问题，在假定收益率系数和风险系数
均为随机变量的情况下，我们已经建立了相应的随机规划模型。

为了得到投资组合的优化方案，我们还需要对模型进行求解。

通常来讲，传统的方法很难对不确定规划模型进行求解。

为了求解随机规划，Liu [2]分别为随机环境下的期望值模型和机会约束规划设计了混合智能算法。

在Liu 研究的基础上，我们针对资产投资组合问题的随机规划模型构造了相应的混合智能算法，它由随机模拟、神经元网络和遗传算法混合而成。

这里以建立的随机机会约束规划模型为例简要介绍混合智能算法，
2.1随机模拟
随机模拟(也称为Monte Carlo 模拟)是随机系统建模中
刻画抽样试验的一门技术，它已经被应用到许多领域中。

它主要依据概率分布对随机变量进行抽样。

尽管模拟技术只给出统计估计而非精确结果，且应用其研究问题要花费大量的运算时间，但对那类无法得到解析结果的复杂问题来说，这种手段可能是唯一的有效工具[2]。

考虑如何确定最大的f 軃使得：Pr {[μ
n
i =1
Σx
I
(ξi +ηi E r )-(1-μ)
(n
i =1
Σx i ηi )σ2
]≥f 軃
}≥α。

由于模型含有随机参数，我们使用随机模拟来判断其中
的机会约束是否满足，并计算其目标函数。

首先定义：U(x)=
max f 軃|Pr{[μn i =1
Σx I (ξi +ηi E r )-(1-μ)(n
i =1
Σx i ηi )σ2]≥f 軃}≥α軃
軃。

对于不
确定函数U （x ），利用随机模拟产生输入输出数据，然后训练
一个神经元网络来逼近不确定函数U （x ）。

2.2混合算法
遗传算法(Genetic Algorithm)是Holland J 在1975年受
生物进化论的启发而提出的一种模拟自然进化过程搜索最优解的算法。

遗传算法的优点是擅长全局搜索[3]。

我们把训练好的神经元网络嵌入遗传算法中，建立了一个混合智能算法。

混合智能算法[4]可以归纳为如下步骤：
步骤1通过随机模拟技术为不确定函数U (x)产生输入输出数据；
步骤2根据产生的训练数据训练一个神经元网络逼近不确定函数；
步骤3初始化POP-size 个染色体，并用训练好的神经元网络检验染色体的可行性；
步骤4对染色体进行交叉和变异操作，利用训练好的神经元网络检验子代染色体的可行性；
步骤5利用训练好的神经元网络计算所有染色体的目标值；
步骤6根据目标值计算每个染色体的适应度；步骤7利用轮盘赌选择染色体；
步骤8重复步骤4至步骤7直到完成给定的循环次数；
步骤9用最好的染色体作为模型的最优解。

3算例
下面我们通过一个算例来详细讲解已构建的随机期望
值模型、随机机会约束规划模型和混合智能算法。

本文模型未涉及总投资量的多少，具体可视为单位“1”，实例选取沪交所公布上市公司中的四种证券，经分析现阶段政策及经济发展形势，并结合历史数据，得到各证券的随机ξ系数、η随机系数均服从均匀分布，具体分布如下表：
未来经济发展市场的平均收益率和风险分别为：E r =
0.07、σ2=0.4。

从以上系数我们可以大致分析得出，在这四种
证券中，证券一表示高收益高风险的一类，证券二表示低收益高风险的一类，证券三表示高收益风险一般的一类，证券四表示低收益低风险的一类，现在要对这四种证券进行有选择性地投资，合理优化分配资金使不同的风险偏好者投资满意度最大化。

3.1期望值模型
如果决策者希望在证券投资比例约束下极大化期望满
第数
ξ
η拟合值
U （0.117,0.128）U(0.087,0.094)U(0.095.0.109)U(0.074,0.090)U(0.480.0.631)U(0.465,0.536)U(0.213,0.322)U(0.124,0.259)
表1各证券收益系数和风险系数的拟合值
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统计与决策２００9年第1期（总第２77期）
意度E[f(x,ξ,η)]，那么我们就有以下的期望值模型：
maxE[f]=E[μn i =1
Σx i (ξi +ηi E r )-(1-μ)(n
i =1
Σx i ηi )σ2]
s.t.
n
i =1
Σx i =1
x i ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥
3.2随机机会约束规划模型
假定决策者希望在证券投资比例约束下极大化0.90投
资满意度，我们建立了如下的随机机会约束规划模型：
maxf s.t.
Pr{[μn
i =1
Σx I (ξi +ηi E r )-(1-μ)(n
i =1
Σx i ηi )σ2]≥f 軃
}≥0.904
i =1
Σx i =1
x i ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥軃≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥
3.3
模型求解
我们采用Visual C++软件来实现期望值模型的算法，设
定参数为：
pop_size=30;p_crossover=0.3;p_mutation=0.2
通过运行混合智能算法（5000次循环模拟，1000个训练样本，1000次遗传迭代），运算结果如表2。

3.4验证讨论
当μ=0.2时，表示该投资者为风险厌恶者，该类投资者
选择投资时主要集中在风险低收益较高的证券四和证券三，所占比例分别为58.30%、41.55%，对高风险的证券一和证券二选择很少；
当μ=0.5时，表示该投资者为一般性投资者，该类投资者选择投资时比较分散，证券四和证券三占总体的比例有所下降，而证券一和证券二占总体的比例均有所上升；
当μ=0.8时，表示该投资者为风险喜好者，该类投资者选择高收益的证券一的比例最大，为68.15%，其次为证券三，所占比例为31.69%，而证券四的比例就减至很少。

如结果显示，风险厌恶者宜在风险低的证券中选择收益较高的证券，而对于风险喜好者宜在收益高的证券中选择风险较低的证券，而对于低收益高风险的证券三则无投资者愿意选择，这些和实际情况是完全吻合的。

当然模型目标值的求解只是表明当投资者选择某一权重时，按照模型求出的相应比例投资，满意度将达到最大，不同权重的满意度求解结果不具有可比性。

4结语
本文以证券投资为例，针对不确定环境下的资产投资组
合规划问题，建立了含随机变量的证券投资组合优化模型，并设计了相应的混合遗传算法，通过采用Visual C++软件结合算法对模型进行了求解，求解结果真实有效，为各类投资者分析投资现状、选择投资项目提供了依据。

此外，本文对混合遗传算法在资产投资组合规划中的应用进行了有益的尝试。

从文中分析、探讨的过程看，提出的随机规划模型和混合智能算法对于研究资产投资组合问题具有客观性、准确性和有效性的特点，是解决资产投资组合问题的较为理想的方法与手段。

当然模型还存在一些值得改进的地方，如怎样拟合各系数才能更加符合实际情况等，这些均需要在长期的资产投资实践中加以修正和完善。

参考文献:
[1]CHARNES A ，COOPER W W.Chance-constrainded programming ［J ］．Management Science,1959,6(1).
[2]LIU B.Theory and Practice of Uncertain Programming[M].Physi -ca-Verlag,Hei-delberg,2002.
[3]刘宝碇,赵瑞清,王纲.不确定规划及应用[M]．北京：清华大学出版社，2003.
[4]LIU B.Uncertainty Theory [M].2nd ed.,Springer-Verlag,Berlin,2007.
（责任编辑/易永生）
μ
0.20.50.8x 10.00120.10090.6815x 2
0.00030.07910.0007x 3
0.41550.35770.3169x 4
0.58300.46230.0009f 0.0930520.1134330.157055
表2
不同权重参数的投资组合比例及投资者满意度值
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