运筹学1至6章习题参考答案

运筹学1至6章习题参考答案
第
1.1工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
表1－23
产品
资源
A
B
C
资源限量
材料(kg)
1.5
1.2
4
2500
设备(台时)
3
1.6
1.2
1400
利润(元/件)
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
0
-1/4
-1/8
0
-3/8
9
最优解：X=（3，0，0，10，0）；最优值Z＝9
1.11分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划：
(1)
【解】大M法。数学模型为
C(j)
10
-5
1
0
-M
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X5
-M
5
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
M
C(j)-Z(j)
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
0
-18/11
0
1
13/22
-5/11
72/11
6
X1
3
1
8/11
0
0
2/11
1/11
34/11
M
X3
-0.125
0
16/11
1
0
-3/22
2/11
2/11
0.1818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
原问题具有多重解。
基本最优解 ,最优解的通解可表示为 即
（4）
【解】单纯形表：
C(j)
3
2
1
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
5
4
6
1
0
25
5
X5
0
[8]
6
3
0
1
24
3
C(j)-Z(j)
3
2
1
0
0
0
X4
0
0
1/4
33/8
1
-5/8
10
X1
3
1
3/4
3/8
0
1/8
3
C(j)-Z(j)
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
x11
x21
x31
x12
x23
x34
数学模型为
1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
(1)
【解】图解法
单纯形法：
C(j)
1
3
0
0
b
Ratio
C(i)
Basis
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C(j)-Z(j)
1
3
0
0
0
3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
10
-5
1
0
0
0
* Big M
5
3
1
0
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C(j)-Z(j)
0
-11
-1
0
-2
20
* Big M
0
0
0
0
-1
0
最优解X＝(2,0,0)；Z=20
两阶段法。
第一阶段：数学模型为
C(j)
0
0
0
0
1
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
0
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
4
-9
1
25
M
C(j)-Z(j)
0
-11
-1
0
最优解X=(2,0,0)；Z=20
(2)
【解】大M法。数学模型为
C(j)
5
-6
-7
0
0
M
M
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A3
A1
M
1
[5]
-3
-1
0
1
0
15
3
S2
0
5
-6
10
0
1
0
0
20
M
A3
M
1
1
1
0
0
0
1
5
5
C(j)-Z(j)
0.5
1
1
1
0
1
0
0.5
第二步：建立线性规划数学模型
设xj（j=1,2,…，10）为第j种方案使用原材料的根数，则
（1）用料最少数学模型为
（2）余料最少数学模型为
1.3某企业需要制定1～6月份产品A的生产与销售计划。已知产品A每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A的单件成本与售价如表1－25所示。
标准型为
1.8设线性规划
取基 分别指出 对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明 是不是可行基．
【解】B1：x1、x3为基变量，x2、x4为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0）T，B1是可行基。B2：x2、x4是基变量，x1、x3为非基变量，基本解X=（0，20，0，100）T，B2是可行基。
3
B2：2
3
需要量（套）
300
400
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
需要量
B1
2.5
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
800
B2
2
0
1
0
0
2
1
1
0
0
0
1200
A1
2
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
600
A2
1.5
0
0
0
1
0
0
2
0
2
3
900
余料(m)
0
0.5
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
7
0
-3
0
6
3
X2
0
1
0.25
0.25
7/2
1
X1
1
0
-0.375
0.125
3/4
C(j)-Z(j)
0
0
-0.375
-0.875
45/4
对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X(1)=（0，0，2，12）、
X(2)=（0，2，0，6，）、
X(3)=（ 、
（0，0）
（0，2）
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.2建筑公司需要用5m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：
表1－24窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
数量(根)
长度(m)
数量(根)
A1：2
2
B1：2.5
2
A2：1.5
总利润：
高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
航空煤油蒸气压约束
一般煤油比例约束
即
半成品油供应量约束
整理后得到
1.6图解下列线性规划并指出解的形式：
(1)
【解】最优解X＝（3，2）；最优值Z=19
(2)
【解】有多重解。最优解X（1）＝（0，5/4）；X（2）＝（3，1/2）最优值Z=5
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10，有唯一最优解
方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
5
-6
-7
0
0
0
0
* Big M
-2
-6
2
1
0
0
0
X2
-6
1/5
1
-3/5
-1/5
0
1/5
0
3
M
S2
0
31/5
0
32/5
-6/5
1
6/5
0
38
95/16
A3
M
4/5
0
[8/5]
1/5
0
-1/5
1
2
5/4
C(j)-Z(j)
31/5
0
-53/5
-6/5
0
6/5
0
* Big M
-4/5
(4)
【解】最优解X＝（2，3）；最优值Z=26，有唯一最优解
(5)
【解】无界解。
(6)
【解】无可行解。
1.7将下列线性规划化为标准形式
(1)
【解】（1）令 为松驰变量，则标准形式为
(2)
【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
(3)
【解】方法1：
方法2：令
则标准型为
(4)
【解】令 ，线性规划模型变为
表1－25
月份
1 2 3 4 5 6
产品成本(元/件)
销售价格(元/件)
300 330 320 360 360 300
350 340 350 420 410 340
（1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。
X4
X5
X5
1
[5]
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
M
C(j)-Z(j)
-5
-3
-1
0
0
X1
0
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
1
第二阶段
C(j)
10
-5
1
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X1
10
1
3/5
1/5
0
2
2
X4
0
0
最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z＝84720
1.5炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。
表1－26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X5
0
1
5
3
-7
1
0
0
30
M
X6
0
3
-1
[1]
1
0
1
0
10
10
X7
0
2
-6
-1
[4]
0
0
1
20
5
C(j)-Z(j)
2
1
-3
5
0
0
0
X5
0
9/2
-11/2
5/4
0
1
0
7/4
65
M
X6
0
5/2
[1/2]
5/4
0
0
1
-1/4
5
10
X4