高中新课程数学二轮复习精选第二部分 洞察高考热点32题专题二 90分解答题大冲关和评分细则第31题课件
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性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、 等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、 等比数列的定义及其性质，才能简化运算过程． 2．数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的 方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等 差、等比数列的求和问题进行求解．
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专题二 90分解答题大冲关 与评分细则
掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题 【示例】► (徐州市 2011－2012 学年度高三第一次质量检测 20)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＋1＝pSn＋q(p，q 为常 数，n∈N*)，a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p. (1)求 p，q 的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)是否存在正整数 m，n，使SSn＋n－1－mm＜2m2＋m 1成立？若存在， 求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理 由．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝(a－1)[1＋a2＋a4＋…＋a2n－2]∈N*，即 as－b 能被 a＋1 整除． 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为 zn＝ 22n(n∈N*)． 显然，当 b＝2 时， aas＋－1b＝aa2＋ n－12＝aa2n＋－11－a＋1 1∉N*，即 as－b 不能被 a＋1 整除． ③当 s＝2n＋1(n∈N*)时，t＝aas＋－1b＝aaa2＋n－1ba， 若 a＞2，则 a2n－ba∉N*，又 a 与 a＋1 互质，故此时 t＝aaa2＋n－1ba ∉N*.
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评分细则 1列式正确，计算错误的，扣 2 分. 2没有验证“a2＝12a1”的，扣 2 分； 3讨论不全的，少一个扣 1 分，直到扣完为止.
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【突破训练】 (2012·启东中学一模)已知数列{xn}和{yn}的通项 公式分别是 xn＝an 和 yn＝(a＋1)n＋b(n∈N*)． (1)当 a＝3，b＝5 时， ①试问 x2，x4 分别是数列{yn}中的第几项？ ②记 cn＝x2n，若 ck 是数列{yn}中的第 m 项(k，m∈N*)，试问 ck＋1 是数列{yn}中的第几项？请说明理由； (2)对给定自然数 a≥2，试问是否存在 b∈{1,2}，使得数列 {xn}和{yn}有公共项？若存在，求出 b 的值及相应的公共项 组成的数列{zn}；若不存在，说明理由．
q＝2.
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(2)由(1)知，Sn＋1＝12Sn＋2，① 当 n≥2 时，Sn＝12Sn－1＋2，② ①－②得，an＋1＝12an(n≥2)，(6 分) 又 a2＝12a1，所以 an＋1＝12an(n∈N*)，所以{an}是首项为 2，公比 为12的等比数列，所以 an＝2n1－2.(8 分)
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综上所述，存在 b∈{1,2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的 数列{zn}， 且当 b＝1 时，数列 zn＝a2n(n∈N*)； 当 b＝a＝2 时，数列 zn＝22n＋1(n∈N*)．(16 分)
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【抢分秘诀】 1．求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的
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(2)设在{1,2}上存在实数 b 使得数列{xn}和{yn}有公共项， 即存在正整数 s，t 使 as＝(a＋1)t＋b，∴t＝aas＋－1b， 因自然数 a≥2，s，t 为正整数，∴as－b 能被 a＋1 整除． ①当 s＝1 时，t＝aas＋－1b＜a＋a 1∉N*. ②当 s＝2n(n∈N*)时，当 b＝1 时， aas＋－1b＝aa2＋n－11＝－11－－－a2na＝－[1＋(－a)＋(－a)2＋…＋(－a)2n －1]
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解题突破 根据条件建立方程组求解(1)；将前 n 项和转化为通 项，再利用等比数列的通项公式求解(2)；利用等比数列的前 n 项求和公式化简不等式，根据不等式的结构特点利用正整数的 条件解不等式． 解 (1)由题意，知SS23＝＝ppaS12＋＋qq，， 即33＝ ＋2qp－＋3qp， ＝3p＋q， 解之得p＝12， (4 分)
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若 a＝2，要 a2n－ba∈N*，则要 b＝2，此时 a2n－ba＝a2n－1， 由②知，a2n－1 能被 a＋1 整除， 故 t＝aaa2＋n－1ba∈N*，即 as－b 能被 a＋1 整除． 当且仅当 b＝a＝2 时，as－b 能被 a＋1 整除． 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为 zn＝ 22n＋1(n∈N*)．
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解 (1)由条件可得 xn＝3n，yn＝4n＋5. ①令 x2＝9＝ym＝4m＋5，得 m＝1，故 x2 是数列{yn}中的第 1 项． 令 x4＝81＝yk＝4k＋5，得 k＝19，故 x4 是数列{yn}中的第 19 项．(2 分) ②由题意知，cn＝32n， 由 ck 为数列{yn}中的第 m 项，则有 32k＝4m＋5， 那么 ck＋1＝32(k＋1)＝9×32k＝9×(4m＋5)＝36m＋45＝4(9m＋10) ＋5， 因 9m＋10∈N*，所以 ck＋1 是数列{yn}中的第 9m＋10 项．(8 分)
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(3)由(2)得，Sn＝211－－1221n＝41－21n， 由SSn＋n－1－mm＜2m2＋m 1，得 4411－－22n11＋n1－－mm＜2m2＋m 1，即22nn44－ －mm－ －42＜2m2＋m 1，(10 分)
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即2n4－2m－2＞2m＋1 1，因为 2m＋1＞0，所以 2n(4－m)＞2， 所以 m＜4，且 2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)，因为 m∈N*，所以 m＝1 或 2 或 3.(12 分) 当 m＝1 时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以 n＝1； 当 m＝2 时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以 n＝1 或 2； 当 m＝3 时，由(*)得，2＜2n＜20，所以 n＝2 或 3 或 4， 综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)， (2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16 分)
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专题二 90分解答题大冲关 与评分细则
掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题 【示例】► (徐州市 2011－2012 学年度高三第一次质量检测 20)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＋1＝pSn＋q(p，q 为常 数，n∈N*)，a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p. (1)求 p，q 的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)是否存在正整数 m，n，使SSn＋n－1－mm＜2m2＋m 1成立？若存在， 求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理 由．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝(a－1)[1＋a2＋a4＋…＋a2n－2]∈N*，即 as－b 能被 a＋1 整除． 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为 zn＝ 22n(n∈N*)． 显然，当 b＝2 时， aas＋－1b＝aa2＋ n－12＝aa2n＋－11－a＋1 1∉N*，即 as－b 不能被 a＋1 整除． ③当 s＝2n＋1(n∈N*)时，t＝aas＋－1b＝aaa2＋n－1ba， 若 a＞2，则 a2n－ba∉N*，又 a 与 a＋1 互质，故此时 t＝aaa2＋n－1ba ∉N*.
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评分细则 1列式正确，计算错误的，扣 2 分. 2没有验证“a2＝12a1”的，扣 2 分； 3讨论不全的，少一个扣 1 分，直到扣完为止.
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【突破训练】 (2012·启东中学一模)已知数列{xn}和{yn}的通项 公式分别是 xn＝an 和 yn＝(a＋1)n＋b(n∈N*)． (1)当 a＝3，b＝5 时， ①试问 x2，x4 分别是数列{yn}中的第几项？ ②记 cn＝x2n，若 ck 是数列{yn}中的第 m 项(k，m∈N*)，试问 ck＋1 是数列{yn}中的第几项？请说明理由； (2)对给定自然数 a≥2，试问是否存在 b∈{1,2}，使得数列 {xn}和{yn}有公共项？若存在，求出 b 的值及相应的公共项 组成的数列{zn}；若不存在，说明理由．
q＝2.
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(2)由(1)知，Sn＋1＝12Sn＋2，① 当 n≥2 时，Sn＝12Sn－1＋2，② ①－②得，an＋1＝12an(n≥2)，(6 分) 又 a2＝12a1，所以 an＋1＝12an(n∈N*)，所以{an}是首项为 2，公比 为12的等比数列，所以 an＝2n1－2.(8 分)
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综上所述，存在 b∈{1,2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的 数列{zn}， 且当 b＝1 时，数列 zn＝a2n(n∈N*)； 当 b＝a＝2 时，数列 zn＝22n＋1(n∈N*)．(16 分)
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【抢分秘诀】 1．求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的
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(2)设在{1,2}上存在实数 b 使得数列{xn}和{yn}有公共项， 即存在正整数 s，t 使 as＝(a＋1)t＋b，∴t＝aas＋－1b， 因自然数 a≥2，s，t 为正整数，∴as－b 能被 a＋1 整除． ①当 s＝1 时，t＝aas＋－1b＜a＋a 1∉N*. ②当 s＝2n(n∈N*)时，当 b＝1 时， aas＋－1b＝aa2＋n－11＝－11－－－a2na＝－[1＋(－a)＋(－a)2＋…＋(－a)2n －1]
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解题突破 根据条件建立方程组求解(1)；将前 n 项和转化为通 项，再利用等比数列的通项公式求解(2)；利用等比数列的前 n 项求和公式化简不等式，根据不等式的结构特点利用正整数的 条件解不等式． 解 (1)由题意，知SS23＝＝ppaS12＋＋qq，， 即33＝ ＋2qp－＋3qp， ＝3p＋q， 解之得p＝12， (4 分)
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若 a＝2，要 a2n－ba∈N*，则要 b＝2，此时 a2n－ba＝a2n－1， 由②知，a2n－1 能被 a＋1 整除， 故 t＝aaa2＋n－1ba∈N*，即 as－b 能被 a＋1 整除． 当且仅当 b＝a＝2 时，as－b 能被 a＋1 整除． 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为 zn＝ 22n＋1(n∈N*)．
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解 (1)由条件可得 xn＝3n，yn＝4n＋5. ①令 x2＝9＝ym＝4m＋5，得 m＝1，故 x2 是数列{yn}中的第 1 项． 令 x4＝81＝yk＝4k＋5，得 k＝19，故 x4 是数列{yn}中的第 19 项．(2 分) ②由题意知，cn＝32n， 由 ck 为数列{yn}中的第 m 项，则有 32k＝4m＋5， 那么 ck＋1＝32(k＋1)＝9×32k＝9×(4m＋5)＝36m＋45＝4(9m＋10) ＋5， 因 9m＋10∈N*，所以 ck＋1 是数列{yn}中的第 9m＋10 项．(8 分)
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(3)由(2)得，Sn＝211－－1221n＝41－21n， 由SSn＋n－1－mm＜2m2＋m 1，得 4411－－22n11＋n1－－mm＜2m2＋m 1，即22nn44－ －mm－ －42＜2m2＋m 1，(10 分)
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即2n4－2m－2＞2m＋1 1，因为 2m＋1＞0，所以 2n(4－m)＞2， 所以 m＜4，且 2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)，因为 m∈N*，所以 m＝1 或 2 或 3.(12 分) 当 m＝1 时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以 n＝1； 当 m＝2 时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以 n＝1 或 2； 当 m＝3 时，由(*)得，2＜2n＜20，所以 n＝2 或 3 或 4， 综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)， (2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16 分)