answer3

x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ≥ 0 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．
五．解：设 t 时刻采用新技术的人数为 x(t ) ，
dx = λx ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 dt dx （2）Logistic 模型 = ax( N − x) ， N 为总人数。．．．．．．．．．．．．5 分 ．．．．．．．．．．．． dt 六．解：设 6 年一个时段，记时段 k 种群按年龄组的分布向量为
1 1 1 1 + + = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 12 12 12 4
ϕ1 (v ) =
1 1 5 , ϕ 3 ( v ) = , ϕ 4 (v ) = ． 12 4 12 5 1 1 1 , , , 。 12 4 4 12
s1 s1 s 2 T 1 1 , 2 ) = (1, , ) T ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14 分 λ λ 3 18
故时间充分长后种群的固有增长率为 1.5，稳定的按年龄组的分布为 (1, ,
1 1 T ) ．．．15 分 ．． 3 18
即 18 年后种群各年龄组分别有 8625 只，825 只，525 只．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．10 分 ．．．．．．．．．．．．．． 由 | λE − L |= 0 ，求得唯一的正特征根为 λ = 1.5 ．．．．．．．．．．．．．．．12 分 对应的特征向量为
x * = (1,
3
x(0) = ( x1 (0), x 2 (0), x3 (0)) T = (600,600,600) T ．．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．．8
6 ⎞⎛ 600 ⎞ ⎛ 8625 ⎞ ⎛3/ 8 8 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 故 x(3) = L x(0) = ⎜ 1 3 / 8 0 ⎟⎜ 600 ⎟ = ⎜ 825 ⎟ ， ⎜ 0 1 / 2 3 / 8 ⎟⎜ 600 ⎟ ⎜ 525 页
4 3⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． L = ⎜1 / 2 0 0 ⎟ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分 ⎜ 0 1/ 4 0 ⎟ ⎝ ⎠
又因为时段 k + 1 种群按年龄组的分布向量可表示为 x( k + 1) = Lx ( k ), k = 0,1,2,3 。若 x(0) 表示按年龄组的初始分布向量，故任意时段 k 种群按年龄组的分布为
max z = 0.043 x1 + 0.027 x 2 + 0.025 x3 + 0.022 x 4 + 0.045 x5 ．．．． 分 ．．．．3
s.t. x 2 + x3 + x 4 ≥ 4 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 ≤ 10
2 x1 + 2 x 2 + x3 + x 4 + 5 x5 ≤ 1 .4 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 9 x1 + 15 x 2 + 4 x3 + 3 x 4 + 2 x5 ≤5 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5
广西师范学院课程考核评分细则 （Ａ□／B□/ C□卷）
课程名称： 数学模型 考核专业、年、班级：数学与应用数学 04 级 1、2、3 班 考核形式： 闭卷笔试 考试时间：２０07 年 7 月 4 日 命题教师签名：
一．填空题 (每空 2 分) 1. 连续模型 2.
dt r ⋅ dr t
3. N (1 −
即持有 40％，30％，20％，10％股份的股东在公司决策中的权重分别为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 分
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I
1 1 0 4 1/4 0
v( s )
v(s / 1)
v( s ) − v( s / 1)
|s|
w(| s |)
w(| s |)[v( s) − v( s / 1)]
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 故 ϕ 2 (v ) = 类似可求
x(k ) = Lk x(0), k = 1,2,3,L ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
由题意知 18 年后种群各年龄组的数量即为时段 3 按年龄组的分布，
6 ⎞ ⎛3/ 8 8 ⎜ ⎟ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 易求得 L = ⎜ 1 3 / 8 0 ⎟ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 分 ⎜ 0 1/ 2 3 / 8⎟ ⎝ ⎠
（1）指数模型
x(k ) = ( x1 (k ), x 2 (k ), x3 (k )) ， 其中 xi ( k ) 为时段 k 第 i 年龄组的种群数量， = 0,1,2,3, L k
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 由繁殖率 bi 和存活率 si 构成的矩阵
解得 T =
'
2c1 c 2 + c3 ' ,Q = c 2 r c3
2c1 r c3 ．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．10 分 c 2 c 2 + c3
四．解：设投资证券 A, B, C , D, E 的金额分别为 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 （百万元） ，按照规定、 限制和 1000 万元资金约束，列出模型．．．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．1
E ) , 0, E < r r
4. A 的最大特征根 λ = n
5. 建立层次结构模型、 构造成对比较阵、 计算权向量并做一致性检验、 计算组合权向量、 并做组合一致性检验 6. 均值为 0 的正态, 残差分析 二．1. 模型准备 模型假设 模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 2．答：对无差别曲线呈下凸状作如下解释： 当人们占有的 x 较小时， 他宁愿以较多的 Δy 交换较少的 Δx ，而当占有的 x 较大时，就要以较多的 Δx 换取较少的 Δy 。．． 分 ．．．5 三．解：一个订货周期 T 内的总费用：订货费 c1 ，贮存费 c 2 ⋅ QT / 2 ．．．．． ．．．．．１分 缺货费为 c3 r (T − T1 ) / 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
注：考核形式包括闭卷笔试、开卷笔试、口试、口笔结合、论文、操作表演、社会调查、 制作、实验、实习、其他等。如为“其他”的考核形式，请注明。
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利用微分法求 T 和 Q 该优化模型的目标函数使 C (T , Q ) 最小，令
∂C ∂C = 0, = 0 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ∂T ∂Q
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s
2 0 0 0 1 1/4 0
{1,2} 1 0 1 2 1/12 1/12
{2,3} 1 0 1 2 1/12 1/12
{2,4} 0 0 0 2 1/12 0
{1,2,3} 1 1 0 3 1/12 0
{1,2,4} 1 1 0 3 1/12 0
{2,3,4} 1 0 1 3 1/12 1/12
2
故总费用为
C = c1 + c 2 ⋅ QT / 2 + c3 r (T − T1 ) 2 / 2 = c1 + c 2 rT 2 / 2 + c3 r (T − T1 ) 2 / 2 ．．．．4 分 ．．．
将 Q = rT1 即 T1 =
Q 代入上式且除以 T 得每天的平均费用 r
c1 c 2 Q 2 c3 (rT − Q) 2 + ．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 ．．．．．．．．．．．．．．． C (T , Q) = C / T = + T 2rT 2rT
七．解：此问题可看作一个 4 人合作对策，记 I = {1,2,3,4} ，其中 1，2，3，4 分别代表持 有 40％，30％，20％，10％股份的股东，特征函数定义如下：对于 I 的每一个子集 s ，当 其持有的股份超过 50％时 v( s ) = 1 ，否则 v( s ) = 0 。．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．3 利用 Shapley 值计算的 ϕ1 (v ) ， ϕ 2 (v) ， ϕ 3 (v) ， ϕ 4 (v ) 分别为持有 40％，30％，20％，10 ％股份的股东在公司决策中的权重。其中，股东 2 在公司决策中所占权重计算见下表