电7

R R ⎞ 1 ⎛ 其特征根(固有频率)为： s1,2 = − ± ⎜ ⎟ − 2L ⎝ 2 L ⎠ LC
α = R／2L称为衰减常数； ω02 =1 ／LC ， ω0为谐振角频率。
2
前面（3） （R／2L）2 ﹤ 1 ／LC（即α ﹤ω0 ）或 R2 ﹤ 4L／C ：
S1和S2为共轭复数，其实部为负数，s1，2= - α±jωd，此时齐次方 程的解为： −α t c 1 d 2 d
例 1 ： 如 图 的 电 路 ， 已 知 r=1.5Ω ， L=0.5 H ， C=1F 初 始 值 uC(0)=2V，iL(0)=1A，求t≥0的uC 、 iL 和uL 的零输入响应。
d 2uc r duc 1 按图列出uC 的微分方程为： 解： + + uc = 0 2 dt L dt Lc 2 d 将元件参数值代入上式得： uc + 3 duc + 2uc = 0 dt 2 dt
（1）（R／2L）2 ﹥ 1 ／LC （即α ﹥ ω0 ）或 R2 ﹥ 4L／C ： S1和S2为不相等的负实数。 其解为： 由初始条件：
uC(t)=K1eS1 t + K2eS2 t
uc (0) = k1 + k2 duc dt
0
iL (0) = k1s1 + k2 s2 = c
解得：
iL (0) ⎤ 1 ⎡ k1 = s2uc (0) − ⎢ s2 − s1 ⎣ c ⎥ ⎦ 1 k2 = s1 − s2 iL (0) ⎤ ⎡ s1uc (0) − ⎢ c ⎥ ⎣ ⎦
uc (t ) = e
uc (0) = k1
−α t
(k1 cos ω d t + k2 sin ω d t )
常数K1和K2可由初始条件决定：
iL (0) ′ uc (0) = −α k1 + ω d k2 = c iL (0) ⎤ 1 ⎡ α uc (0) + 得 : k2 = ⎢ c ⎥ ωd ⎣ ⎦
由上式可看出uc(t)是衰减振荡 的，它的振幅ke-αt是随时间按 指数规律衰减的，α称衰减系 数， α越大, 衰减越快。ωd是 振荡的角频率， ωd越大， 振 荡周期越小， 振荡加快。
按指数规律衰减的细线 称为包络线， α越大， 包络线就衰减的更快。 当电路中电阻较小，符 合 R2 ﹤ 4L／C 这一条 件时，响应是振荡性 的，称为欠阻尼或衰减 振荡情况。这时电路的 固有频率S是复数，其 实部α反映振幅的衰减 情况，虚部ωd是振荡的 角频率。
2
特征根仅与电路参数有关，而与激励和初始储能无关。
S1和S2可出现三种情况： (1) 单根：(过阻尼) ：
R 1 ⎛ R ⎞ s1,2 = − ± ⎜ ⎟ − 2L ⎝ 2 L ⎠ LC
2
（R／2L）2 ﹥ 1 ／LC ：S1和S2为不相等的负实数。 (2)重根 (临界阻尼) : （R／2L）2 = 1 ／LC ：S1和S2为相等的负实数。
2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入得到
u c (t ) = K1e
−2t
+ K 2 te
−2t
(t ≥ 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程
u C ( 0) = K 1 = −1 duC (t ) dt iL (0) = −2 K 1 + K 2 = =0 C
r2 =2.25 4L／C =2 R2 ﹥ 4L／C 过阻尼
令us=uoc=0
d 2 uc duc + + 2uc = 0 3 2 dt dt
其特征方程为：s2+3s+2=0 可解得特征根s1= -1， s2= -2。因而uC的零输入响应 uC(t)=K1e-t+K2e-2t
uC(t)=K1e-t+K2e-2t
d uc R duc 1 + + uc = 0 2 dt L dt LC
或者按上图：
2
Ri + uL − uC = 0
uL d 2uC di = L = − LC dt dt 2
duC i = −C dt
d 2 uC duC + RC + uC = 0 LC 2 dt dt
零输入响应: 按零输入响应的定义，令uoc=0 ， 得零输入响应的方程：
u (t ) = e
(k cos ω t + k sin ω t )
uc (t ) = e
其中：
−α t
(k1 cos ω d t + k2 sin ω d t )
ω0 =
1 LC
2
R α= 2L
ωd =
1 LC
⎛ R ⎞ 2 2 −⎜ = − ω α 0 ⎟ 2 L ⎝ ⎠
2
R 1 ⎛ R ⎞ s1,2 = − ± ⎜ = −α ± jω d ⎟ − 2L ⎝ 2 L ⎠ LC
t =0
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容 电压的零输入响应
u C (t ) = (−e −2t − 2te −2t )V (t ≥ 0)
得到电感电流的零输入响应
duC iL (t ) = iC (t ) = C dt = (2e − 2t − 2e − 2t + 4te − 2t )A = 4te − 2t A (t ≥ 0)
可见，电路的响应仍然是非振荡性的（临界阻尼）。
例3: 电路如图所示。已知已知R=1 Ω，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电 流的零输入响应。
图
RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入计算出固有频率的数值
⎧− 2 R 1 ⎛R⎞ 2 s1， = −2 ± 2 − 4 = −2 ± 0 = ⎨ ± ⎜ ⎟ − 2 =− 2L ⎝ 2L ⎠ LC ⎩− 2
K1=6 K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
u C (t ) = (6e −2t − 4e电感电流的零输入响 应
du C = (−3e − 2t + 4e − 4t )A iL (t ) = iC (t ) = C dt
路各元件的能量交换过程。
2
将固有频率s1=-2和s2=-4代入得到
u C (t ) = K1e −2t + K 2 e −4t
iL(0)=1A得到以下两个方程：
u C ( 0) = K 1 + K 2 = 2 du C (t ) dt
t =0
(t ≥ 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值
i L ( 0) = −2 K 1 − 4 K 2 = =4 C
d 2 uc duc LC 2 + RC + uc = 0 dt dt
d uc R duc 1 + + uc = 0 2 dt L dt LC
其特征方程为： s2+（R/L)s+〔1/(LC) 〕 =0 特征根(固有频率)为：
2
R 1 ⎛ R ⎞ ± ⎜ s1,2 = − ⎟ − 2L ⎝ 2 L ⎠ LC
(3)共轭复根：(欠阻尼) : （R／2L）2 ﹤ 1 ／LC ：S1和S2为共轭复数，其实部为负数。
L 称为阻尼电阻 )； α = R／2L称为衰减常数 ( Rd = 2 C ω02 =1 ／LC ， ω0为谐振角频率。 根据特征根的不同情况， 可得适当形式的解， 将初始值 代入，就可求得RLC串联电路的零输入响应。
(t ≥ 0)
从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电
2、临界阻尼情况
d 2uc R duc 1 uc = 0 + + 2 dt L dt LC
R R ⎞ 1 ⎛ 其特征根(固有频率)为： s1,2 = − ± ⎜ ⎟ − 2L ⎝ 2 L ⎠ LC
α = R／2L称为衰减常数； ω02 =1 ／LC ， ω0为谐振角频率。 前面（2） （R／2L）2 = 1 ／LC（即α= ω0 ）或 R2 = 4L／C S1和S2为相等的负实数，此时齐次方程的解为： ：
diL uL ( t ) = L = 2.5e-t - 6e-2t dt
图中给出了uC、 iL、 uC随时间变化的曲线。 由图可见， 在0<t<tm1区 间， 电感释放其初始储 能，而电容充电， 它吸 收了电感的部分原始储 能，电容电压稍有增加。 当t=tm1时， iL=0，电感 原始储能全部释放，电容 电压uC 达到极大值。
7.2. RLC串联电路的零输入响应 1、过阻尼情况
由戴维南定理可得右图 。 根据KVL有 uL + uR + uC = uoc
uL + uR + uC = uoc 由于： iL= iR = iC =C（duc/dt）， 故有 uL=L (diL/dt) =LC (d2uc/dt2) uR=R iR=RC （duc/dt） 将它们代入KVL方程， 并稍加整理，得
电路分析基础
七、二阶电路
7.1. LC电路中的正弦振荡
当电路中包含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程 是二阶线性常系数微分方程。 在二阶电路中，给定的初始条件 有两个， 它们由储能元件的初始值决定。 如果两个独立的动态元件是一个 LC 回路，储能将不断地 在 L和 C （电场和磁场）之间往返，形成LC回路中的正弦等幅 振荡。
duc = - K1e-t - 2K2e-2t dt
将初始值代入， 得 uC(0)=K1+K2=2 u’C(0)=iL(0) /c = - K1 –2 K2 =1 由以上两式可解得K1 =5，K2= - 3。将K1、K2的值代入uC(t)表示式， 得电容电压： uC(t)=5e-t-3e-2t (V) t≥0 电感电流(iL=iC)：iL(t)= c(duc/dt) = -5e-t+6e-2t 电感电压
s2 t
iL = k1s1 + k2 = c
iL (0) + α uc (0) k2 = C
−α t
∴ uc (t ) = uc (0)(1 + α t )e
iL (0) −α t te + c
duc 2 −α t −α t ∴ iL (t ) = c = −uc (0)α cte + iL (0)(1 − α t )e dt
d uc (t ) dt
0
i (t ) = c
0
ic (0) iL (0) = = c c
上式中，在不致混淆的情况下，我们把0+就写为0。
零输入响应: 按零输入响应的定义，令uoc=0 ， 得零输入响应的方程：
d 2 uc duc LC 2 + RC + uc = 0 dt dt
(t=0) uc + C i R + uL L
例2: 电路如图所示，已知R=3Ω,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。
图
RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入计算出固有频率
⎧− 2 1 R ⎛R⎞ 2 = −3 ± 3 − 8 = −3 ± 1 = ⎨ ± ⎜ ⎟ − s1， 2 =− 2L ⎝ 2L ⎠ LC ⎩− 4
d 2 uc duc LC 2 + RC + uc = uoc dt dt
二阶常系数常微分方程
d 2 uc duc LC 2 + RC + uc = uoc dt dt
d 2uc R duc 1 1 + + uc = uoc 2 dt L dt LC LC
解以上方程需要两个初始值， 即
uc (t ) |t =0+ = uc (0)
2
uC(t)=K1eS1 t + K2 t eS2 t
uC(t)=K1eS1 t + K2 t eS2 t
初始条件：
其中S1=S2= - R/（2L）= - α
uc (0) = k1 duc ′ uc (0) = dt
由此得：
= k1s1e + k2 e + k2 s2te
s1t s2 t t =0
uc (t ) = e −α t (k1 cos ωd t + k2 sin ωd t ) = ⎛ ⎞ k k 2 1 2 ⎜ = e −α t k12 + k2 cos ωd t + sin ωd t ⎟ = 2 2 ⎜ k2 + k2 ⎟ + k k 2 1 2 ⎝ 1 ⎠ = ke −α t cos(ωd t + θ )
uC (t ) = (−e−2t − 2te−2t )V iL (t ) = iC (t ) = 4te−2t A
如图所示。
(t ≥ 0) (t ≥ 0)
根据以上两个表达式用计算机程序画出的波形曲线，
(a) 电容电压的波形 (b) 电感电流的波形 图 临界阻尼情况
3、欠阻尼情况
d 2uc R duc 1 uc = 0 + + 2 dt L dt LC