带p-Laplacian算子两点边值问题对称正解的存在性

带p-Laplacian算子两点边值问题对称正解的存在性
朱忠才
【摘要】This paper deals with the existence of symmetric positive solutions for the p-Laplacian nonlinear two-point boundary value problem, by using the fixed-point index theorem. Sufficient conditions of the existence of at least one or two symmetric positive solutions of this problem are established, respectively.%通过不动点指数理论,得到了一类带p-Laplacian算子两点边值问题对称正解的存在性,以及这类边值问题至少存在一个或两个对称正解的充分条件.
【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(036)002
【总页数】7页(P20-26)
【关键词】p-Laplacian算子;两点边值问题;不动点指数;对称正解
【作者】朱忠才
【作者单位】广东工业大学应用数学学院,广东广州510520
【正文语种】中文
【中图分类】O177
含p-Laplacian算子的微分方程边值问题，在诸多领域如非牛顿力学、宇宙物理、血浆问题和弹性理论等方面的应用都很广。

不少学者都深入地研究了此类边值问题，
也获得了丰硕的成果［1-5］。

另外，由于生活中的大多数问题都是非线性的，这就使得非线性边值问题在近些年越来越受到学者们的关注。

如文献［6-7］研究了二阶二点边值问题的对称正解存在性，文献［8］研究的是下列p-Laplacian边值问题正解的存在性
其中，φ（s）都是非减的奇函数，且存在m＞0使得Bi（v）≤mv，对所有的
v≥0，i=0或i=1成立。

在f是超线性，即
和f是次线性f0=+∞，f∞=0两种情形之下，利用凹函数的一个性质，即：（H）若 u（t）≥0 在［0，1］上是凹的，则 u（t）≥ξ‖u‖，t∈［ξ，1-ξ］，其中ξ∈（0，1/2）是常数，‖u‖=
利用Krasnoselskii不动点定理建立了正解存在的充分条件。

本文讨论如下问题
其中，Øp（s）是p-Laplacian算子，即
关于边值问题（2）对称正解的存在性和多重性的结果不多，本文利用锥上的不动点指数理论建立了非线性边值问题（2）存在对称正解的充分条件，推广并丰富了文献［9-11］的主要结果。

本文假定以下条件成立：
（C1）f∈C（［0，1］×［0，+∞），［0，+∞）），且当（t，u）∈［0，1］×［0，+∞），f（t，u）=f（1-t，u）；
（C2）a∈C（［0，1］，［0，+∞））；a（1-t）=a（t），t∈［0，1］；a （t）≠0，t∈I⊆［0，1］。

又
将用到下面的记号
1 预备知识
定义1［12-13］设E是一个实Banach空间，若K是E的一个非空凸闭子集，又下面两个条件成立：1）若x∈K，λ≥0，则λx∈K；2）若x∈K，-x∈K，则x=θ（θ为 E 中零元），则称 K 是 E 中的一个锥。

定义 2 函数 u（t）在区间［0，1］上是对称的，如果 u（1-t）=u（t），t∈［0，1］。

定义 3 函数u（t）是边值问题（2）的一个对称正解的充要条件是：首先u（t）
是边值问题（2）的一个正解，而且在区间［0，1］上对称。

定义 4 函数 u（t）在区间［0，1］上是凹的，如果
设 E=C［0，1］，范数定义为那么易知E为一个Banach空间。

设则K是E中的一个锥。

定义算子 T：K→E，则
不难得出Tu∈E，显然T的不动点也就是边值问题（2）的解。

引理1 T：K→K是全连续的。

证明对∀u∈E，由条件（C1），（C2），显然（Tu）t≥0，t∈［0，1］，且
由Øq的定义，可知Tu是区间［0，1］上的凹函数。

接下来证明Tu在［0，1］上的对称性。

当因此
故，T（K）⊂K。

另外，设D⊂E为任一有界集，即存在常数c＞0，有成立。

令从而对∀u∈D，有
于是，由Arzela-Ascoli定理可知TD为列紧集。

另外，由勒贝格控制收敛定理［14］不难得到T在K上是连续的。

所以T：K→K全连续。

引理2 设u∈K，则存在，使得
引理3［15-16］设E是一个实Banach空间，K是E中一锥。

设假设算子T：K∩Ωr→K 全连续，且Tx≠x，∀x∈∂Ωr，则
（1）若‖Tx‖≤‖x‖，∀x∈∂Ωr，则i（T，Ωr，K）=1；
（2）若‖Tx‖≥‖x‖，∀x∈∂Ωr，则i（T，Ωr，K）=0。

为了方便，还引用下面的记号
2 对称正解的存在性
本节讨论边值问题（2）至少存在一个对称正解的情形，得到下面两个定理。

定理1 如果条件（C1），（C2）成立，且f还满足：
则边值问题（2）至少有一个对称正解。

证明首先，由］知，存在正数 r1，使得当 0＜u≤r1时，有
定义E的开子集则当u∈∂Ω1时，有 u（t）≤‖u‖=r1，从而
因此，‖Tu‖≤‖u‖，∀u∈∂Ωr。

于是，由引理 3，有
再由（H2）知，存在正数 R*，使得当u≥R*时，有
令定义 E 的开子集当u∈∂Ω2时，由引理 2，有R1=‖u‖≥u（t）
≥θ‖u‖=θR1≥R*，t∈［θ，1-θ］，从而
因此，‖Tu‖≥‖u‖，∀u∈∂Ω2。

于是，由引理 3，有
由式（3）、（4）和r1＜R1，有。

所以T至少有一个不动点易知u是边值问题（2）的一个对称正解，且 r1＜‖u‖＜R1。

定理 2 如果条件（C1），（C2）成立，且f还满足：
则边值问题（2）至少有一个对称正解。

证明首先，由（H3）：知，存在正数 r2，使得当 0＜u≤r2时，有
定义E的开子集当u∈∂Ω3时，有
从而
因此，‖Tu‖≥‖u‖，∀u∈∂Ω3。

于是，由引理 3，有
其次，由（H4）知，存在正数R*，使得当u≥R*时，有
下面分f为有界和无界两种情形考虑。

情形 1 如果 f有界，那么存在 N＞0，使得当t∈［0，1］及0≤u＜∞ 时，有
取而E的开子集Ω4定义为，当u∈∂Ω4时，有
因此‖Tu‖≤‖u‖，∀u∈∂Ω4。

情形 2 假设 f无界。

选取 R2＞max｛ 2r2，R ｝*，使得当0≤t≤1和0≤u≤R2时，有f（t，u）≤f（t，R2）。

定义E的开子集：，当u∈∂Ω4时，同样有
因此‖Tu‖≤‖u‖，∀u∈∂Ω4。

两种情形都得到了：‖Tu‖≤‖u‖，∀u∈∂Ω4。

于是，由引理 3，有
由式（5）、（6）和r2＜R2，有所以T至少有一个不动点易知u是边值问题（2）的一个对称正解，且 r2＜‖u‖＜R2。

3 对称正解的多重性
定理 3 如果条件（C1），（C2）和（H2），（H3）成立，并且：
（H5）存在常数）及ρ1＞0，使得f（t，u）≤（Mρ1）p-1，0≤t≤1和
0≤u≤ρ1。

则边值问题（2）至少有两个对称正解 u1和 u2且0＜‖u1‖＜ρ1
＜‖u2‖。

证明首先，由于（H2），（H3）成立，用定理1 和定理2 类似的证明方法可得，存在常数r∈（0，ρ1）和R∈（ρ1，∞），使得
这里
其次，令当u∈∂Ωρ1时，有 u（t）≤‖u‖=ρ1，由（H5），有
因此，‖Tu‖≤‖u‖，∀u∈∂Ωρ1。

于是，由引理 3，有
由式（7）、（8），有
所以，T至少有两个不动点。

即边值问题（2）至少有两个对称正解u1和u2，且
0＜‖u1‖＜ρ1＜‖u2‖。

定理 4 如果条件（C1），（C2）和（H1），（H4）成立，并且：
（H6）存在常数及ρ2＞0，使得f（t，u）≥（mρ2）p-1，0≤t≤1和
θρ2≤u≤ρ2。

则边值问题（2）至少有两个对称正解 u1和 u2，且 0＜‖u1‖＜ρ2＜‖u2‖。

证明首先，由于（H1），（H4）成立，用定理1 和定理2 类似的证明方法可得，存在常数r∈（0，ρ2）和R∈（ρ2，∞），使得
其中
其次，令当u∈∂Ωρ2时，由引理 2，有
于是，由（H6），有
因此，‖Tu‖≥‖u‖，∀u∈∂Ωρ2。

于是，由引理 3，有
由式（9）、（10），有
所以，T至少有两个不动点即边值问题（2）至少有两个对称正解u1和u2，且 0＜‖u1‖＜ρ2＜‖u2‖。

从定理3和4的证明中，不难得到下面几个推论：
推论 1 如果条件（C1），（C2）满足，且条件（H5）和（H6）也成立，则边值
问题（2）至少有一个对称正解 u，且‖u‖在ρ1与ρ2之间。

推论 2 如果条件（C1），（C2）满足，且条件（H5）和（H3）（或（H2））也成立，则边值问题（2）至少有一个对称正解u，且0＜‖u‖＜ρ1（或‖u‖＞ρ1）。

推论 3 如果条件（C1），（C2）满足，且条件（H6）和（H1）（或（H4））也成立，则边值问题（2）至少有一个对称正解u，且0＜‖u‖＜ρ2（或‖u‖＞ρ2）。

参考文献：
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