2021-2022学年安徽省合肥五十中新校九年级(上)第二次月考数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年安徽省合肥五十中新校九年级（上）第二
次月考数学试卷
1. 已知5x =4y(y ≠0)，则下列比例式正确的是( )
A. x
5=y
4
B. x
5=4
y C. x
y =5
4 D. x
4=y
5
2. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是
√5−12，(√5−1
2
≈0.618)称为黄金分割比).著名的“断臂维纳斯”便是如此.若某人的身
体满足上述黄金分割比，且身高为175cm ，则此人的肚脐到足底的长度可能是(精确到1cm)( )
A. 107 cm
B. 108 cm
C. 109 cm
D. 110 cm
3. 如图，过反比例函数y =k
x (x <0)的图象上的一点P 作
PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，连接PO.若△OPQ 的面积是2，则k 的值是( )
A. 4
B. −4
C. 2
D. −2
4. 对于二次函数y =x 2−2x +3的图象，下列说法正确的是( )
A. 与x 轴有两个交点
B. 当x >−1时y 随x 的增大而增大
C. 开口向下
D. 与y 轴交点坐标为(0,3)
5. 如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 都在格点上，则sin∠ABC
的值是( )
A. 1
B. √3
2 C. √22 D. √510
6. 如图，在▱ABCD 中，点E 为AD 边中点，连接AC 、BE 交于点F ，若△AEF 的面积
为2，则△FBC 的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
=3，7.如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE//BC，AE
CE BD=2，则AD的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则函数y=
a+b
与函数y=bx+c的图象可能是( )
x
A.
B.
C.
D.
9.一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线.
当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高是
2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是( )
A. 10m
B. 8m
C. 6m
D. 5m
10.如图，在△ABC中，∠A=15∘，AB=10，P为AC边上的一个动点(不与A、C重
合)，连接BP，则AP+PB的最小值是( )
A. 5√2
B. 5√3
C. 10
3
√3 D. 8
11.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际
距离为______km.
12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4√2，AF
交BC于E，交DC的延长线于F，且CF=1，则CE的长
为______.
13.如图，点A在反比例函数y=k
x
(x>0)的图象上，点B
在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C，若AC
CB =1
2
，
△AOB的面积为9，则反比例函数的表达式为______.
14.如图，ABCD是一张边长为8cm的正方形纸片，E、F
分别为AB、CD上的点，且BE=CF，连接EF，沿过点D的直线将∠A翻折，使得点A落在EF上的点H处，折痕交AE于点G.
(1)当H是EF中点时，连接AH，则∠AHB=______.
(2)当BH最短时，EG=______.
15.公共自行车车桩(图1)的截面示意图如图2所示，AB⊥AD、AD⊥DC，点B、C在
EF上，EF//HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=20cm，BC=25cm，EH=4cm，求点A到地面的距离．
16.如图，在△ABC中，∠A=90∘，∠BCD=1
2
∠BCA，BD⊥DC于点D，DC交AB于
点E，连接AD，过点A作AF⊥AD交CD于点F，若=AB
AC =2√2，求AF
AD
的值．
17.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜
放.每本书的厚度为4cm，高度为20cm.
(1)找出图中的相似三角形，并证明.
(2)当CD=16cm时，求书架的宽BF.
18.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(3,1)，C(5,4).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点P(1,−1)为位似中心，在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形△
A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
(3)画出△ABC绕点C逆时针旋转90∘的△A′B′C′，并写出线段BC扫过的面积.
19.为积极宣传国家相关政策，某村在一山坡的顶端的平地上竖立一块宣传牌AB.为测
得宣传牌的高度，小明站在山脚C处测得宣传牌的顶端A的仰角为36.9∘，已知山坡CD的坡度i=1：2，AB的高度为4米，山坡顶端D与宣传牌底端B的水平距离为2米，求斜坡CD的长度(精确到1米).(参考数据：sin36.9∘≈0.64，cos36.9∘≈0.79，tan36.9∘≈0.75，√5≈2.24)
的图象交于20.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4与反比例函数y=k
x A(1,m)、B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P为x轴上的动点，当△ABP的面积为8时，求点P的坐标．
21.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，
点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC.
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；
(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0<m<3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．
22.如图，在平面直角坐标系中，直线y=3
4x−3
2
与抛物线y=−1
4
x2+bx+c交于A、
B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为−8.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂
线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P 的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．
23.如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在AD上，AE=AB，EC与BD相交于点
F，且BD⊥EC.
(1)连接BE，求证：△AFD∽△BED；
(2)如图2，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数；
(3)若AD=1，求AB的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵5x=4y，
∴x
4=y
5
，x
y
=4
5
，
∴A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D.
利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设此人的肚脐到足底的长度为x cm，
∵某人身体大致满足黄金分割比，且身高为175cm，
∴x
175
≈0.618，
解得：x≈108，
即此人的肚脐到足底的长度约为108cm，
故选：B.
设此人的肚脐到足底的长度为xcm，由黄金分割的定义得x
175
≈0.618，即可解决问题．本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值约为0.618是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵△OPQ的面积是2，
∴k的绝对值为4，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k的值为−4，
故选：B.
根据反比例函数系数k的几何意义，可知k的绝对值为2S△OPQ，反比例函数的图象在第二象限，即可判断出k的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解k与△OPQ的面积的关系，是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：令y=x2−2x+3=0，
△=b2−4ac=(−2)2−4×3<0，
所以与x轴没有交点，故A错误，不符合题意；
∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2，
∴由a=1>0知抛物线开口向上，顶点坐标是(1,2)，对称轴是直线x=1，当x>1时，y随x的增大而增大，函数有最小值为2，无最大值，
∴B、C选项错误，不符合题意；
令x=0，解得y=0−0+3=3，
所以函数图象与y轴交点为(0,3)，
故D正确，符合题意；
故选：D.
将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．
本题考查了二次函数的性质，能够将二次函数的一般式转化为顶点式是解答本题的关键，难度不大．
5.【答案】C
【解析】解：连接AC，
则可得AC=√5，BC=√5，AB=√10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
在Rt△ABC中，sinB=AC
AB =√2
2
.
故选：C.
连接AC，则利用勾股定理可得AC=√5，BC=√5，AB=√10，从而可得∠ACB=90∘，在Rt△ABC中求解sinB的值即可．
此题考查了解直角三角形，属于基础题，解答本题的关键是求出AB、AC、BC的长度，判断出△ABC是直角三角形．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD//CB，
∵E为AD的中点，
∴AE=1
2AD=1
2
CB，
∴AE
CB =1
2
，
∵△FEA∽△FBC，
∴S△FEA
S△FBC =(AE
CB
)2=(1
2
)2=1
4
，
∴S△FBC=4S△FEA=4×2=8，故选：D.
先证明AD=CB，AD//CB，则AE=1
2AD=1
2
CB，所以AE
CB
=1
2
，再证明△FEA∽△FBC，
由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△FBC的面积即可．
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FEA∽△
FBC，且AE
CB =1
2
是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，
∴AD
AB =AE
AC
，
∵AE
CE
=3，
∴AE=3CE，
∴AD
AB =AE
AC
=3CE
3CE+CE
=3
4
，
∴AD
AB =AD
AD+BD
=3
4
，
∴4AD=3AD+3BD，
∵BD=2，
∴AD=3BD=3×2=6，
故选：D.
先根据DE//BC，得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例定理得出比例式AD=3BD，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，能根据性质得出正确的比例式是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
∴c>0，
∴a+b<0，
则函数y=a+b
x
的图象分布在第二、四象限，
函数y=bx+c的图象经过第一、二、四象限．
故选：B.
直接利用抛物线图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象．
此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=a(x−6)2+3，
将(0,0)代入解析式得a=−1
12
，
∴抛物线解析式为y=−1
12
(x−6)2+3，
当x=10时，y=5
3，5
3
<2.44，满足题意，
故选：A.
建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，求y<2.44对应的x的值．
本题考查二次函数的实际应用，建立直角坐标系构建二次函数模型是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP，过B作BE⊥AD于E，
∵∠PAD=45∘，∠BAC=15∘，
∴∠BAD=60∘，
∴BE=ABsin60∘=5√3，
∵AP+PB=DP+PB≥BE，
∴AP+PB的最小值为5√3.
故选：B.
以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP，过B作BE⊥AD于E，由AP+PB=DP+PB≥BE，再由∠BAC=15∘求出BE即可．
本题主要考查了胡不归问题，以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP将AP+PB转化
成DP+PB是本题的关键．
11.【答案】96
【解析】解：24×400000=9600000(cm)，
9600000cm=96km.
故答案为：96.
根据比例尺的定义，结合线段AB的长度，可求出AB两地间的实际距离，此题得解．本题考查了比例线段，牢记比例尺=图上距离÷实际距离是解题的关键．
12.【答案】√2
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是相似三角形对应边成比例．由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题．
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=3，BC//AD，
∵E为BC上一点，
∴CE//AD，∠FEC=∠FAD，∠FCE=∠D，
∴△FCE∽△FDA，
∴CE
AD =CF
DF
=CF
CF+CD
，
又∵CD=3，CF=1，AD=4√2，∴CE=√2，
故答案为√2.
13.【答案】9
【解析】解：设点A坐标为(m,n)，
∵AC
CB =1
2
，
∴x A
OA =1
2
，
∴OB=2m，
∴S△AOB=1
2OB⋅y A=1
2
×2mn=mn=9，
∴k=mn=9.
故答案为：9.
设点A坐标为(m,n)，用含m代数式表示OB长度，再由三角形OAB面积得mn的值．本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数k的关系，解题关键是通过设参数表示出
点A坐标，然后通过已知条件求出点A横纵坐标的积的关系．
14.【答案】75∘8−4√2
【解析】解：(1)由折叠可知，AD=HD，GA=HG，
∵BE=CF，
∴EF//AD，
∵H是EF中点，AD=4，
∴EF=8，HD=8，
∴HF=4，
∴∠HDF=30∘，
∴∠ADH=60∘，
∴△AHD为等边三角形，
∴∠HAD=60∘，
∴∠BAH=30∘，
∵AB=AH=8，
∴∠AHB=75∘，
故答案为75∘；
(2)连接BD，
∵AD=8，
∴HD=8，BD=8√2，
∵BH+HD≥BD，
∴BH≥8√2−8，
∴当B、H、D三点共线时，BH最短，
∵BH=8√2−8，∠HBE=45∘，∠BEH=90∘，
∴BE=EH=BH⋅sin45∘=8−4√2，
∴AE=4√2，
∵AG=GH，
在Rt△EHG中，GH2=EG2+EH2，
∴(4√2−EG)2=EG2+(8−4√2)2，
∴EG=8−4√2，
故答案为8−4√2.
(1)由HD=8，HF=4，得到∠HDF=30∘，从而确定△AHD为等边三角形，再由AB= AH=8，∠BAH=30∘，求出∠AHB=75∘即可；
(2)连接BD，由已知可求HD=8，BD=8√2，由BH+HD≥BD，可知当B、H、D三点共线时，BH最短，求出BE=EH=8−4√2，在Rt△EHG中，由勾股定理可得(4√2−EG)2=EG2+(8−4√2)2，即可求出EG=8−4√2.
本题考查折叠的性质，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质，灵活应用勾股定理，(2)中由BH+HD≥BD，确定H的位置是解题的关键．
15.【答案】解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB
于点N，
∵AB⊥AD，AD⊥DC，
∴AB//CD，
∵AD=20cm，则NC=20cm，
∵∠AMB=∠CNB=90∘，∠ABM=∠CBN，
∴△BNC∽△BMA，
∴AB
BC =AM
CN
，
∴80
25=AM
20
，
∴AM=64，
故点A到地面的距离是：64+4=68(cm).
答：点A到地面的距离为68cm.
【解析】过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，利用相似三角形的判定与性质得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出△BNC∽△BMA是解题关键．
16.【答案】解：∵AF⊥AD，
∴∠DAF=∠BAC=90∘，
∵∠DAF=∠DAB+∠BAF，∠BAC=∠FAC+∠BAF，
∴∠DAB=∠FAC，
∵∠DEB=∠AEC，∠BDE=∠EAC=90∘，
∴∠DBE=180∘−∠DEB−∠BDE，
∠ACE=180∘−∠AEC−∠EAC，
∴∠DBE=∠ACE，
∴△ADB∽△AFC，
∴AB
AC =AD
AF
，
∵AB
AC
=2√2，
∴AF
AD =1
2√2
=√2
4
.
【解析】先得出∠DAB=∠FAC，再得出∠DBE=∠ACE，利用两角对应相等的三角形相似，得出△ADB∽△AFC，利用相似三角形的性质解答即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)△CDE∽△EFG.
证明：∵∠CDE=∠EFG=∠CEG=90∘，
∴∠CED+∠GEF=90∘，∠EGF+∠GEF=90∘，
∴∠CED=∠EGF，
∵∠CDE=∠EFG=90∘，
∴△CDE∽△EFG；
(2)由题意可知EG=4cm，CE=20cm，CD=16cm，∵∠CDE=90∘，
∴DE=√CE2−CD2=12(cm)，
∵△CDE∽△EFG，
∴EF
CD =EG
CE
，
∴EF
16=4
20
，
∴EF=16
5
，
∵BD=4×4=16(cm)，
∴BF=BD+DE+EF=16+12+16
5=156
5
(cm)，
答：书架的宽BF为156
5
cm.
【解析】(1)根据同角的余角相等∠CED=∠EGF，∠CDE=∠EFG=90∘可得△CDE∽△EFG；
(2)由题意可知EG=4cm，CE=20cm，CD=16cm，根据勾股定理求出DE的长，根据相似三角形的性质可得EF的长，由BF=BD+DE+EF即可求解．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意，认真识别图形是解题的关键．
18.【答案】解：如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(3,1)，C(5,4).
(1)△A1B1C1即为所求；
(2)△A2B2C2即为所求；
(3)△A′B′C′即为所求，线段BC扫过的面积为：
90π(√13)2
360=13π
4
.
【解析】(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1即可；
(2)根据位似变换以点P(1,−1)为位似中心，画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1即可；
(3)根据旋转变换画出△ABC绕点C逆时针旋转90∘的△A′B′C′，进而根据扇形面积公式即可求出线段BC扫过的面积．
本题考查了作图-位似变换、轴对称变换、旋转变换、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握扇形面积公式．
19.【答案】解：延长AB 交CE于点E，过点D作
DF⊥CE于点F，则四边形BDFE是矩形，
∴BD=EF=2，BE=DF.
在直角△CDF中，
∵山坡CD的坡度i=1：2，
∴设DF=x米，则CF=2x米．
∴CE=CF+EF=(2x+2)米，AE=AB+BE=(4+x)米，
在直角△ACE中，tan36.9∘=AE
CE
，
∴tan36.9∘=4+x
2x+2
，
∴0.75(2x+2)=4+x
解得x=5(米)，
∴DF=5米，CF=10米，
∴CD=√52+102=11(米)，
答：斜坡CD的长度约为11米．
【解析】延长AB 交CE于点E，过点D作DF⊥CE于点F，构造矩形BDFE和直角△CDF、直角△ACE，设DF=x米，则CF=2x米，由矩形的性质和勾股定理借助于方程求得x 的值，然后通过解直角△CDF来求CD的值．
此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
20.【答案】解：(1)∵一次函数y=2x+4与反比例函数y=k
x
的图象交于A(1,m)，
∴m=2+4=6，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为：y =6
x ； (2)由{y =2x +4y =
6x
得{x =1y =6或{x =−3
y =−2，
∴B(−3,−2)，
在y =2x +4中，令y =0，解得x =−2， ∴C(−2,0)， 设P(x,0)，
∵S △ABP =S △ACP +S △BCP ，
∴8=1
2
×|x +2|⋅6+1
2
×|x +2|×2，
∴|x +2|=2， ∴x =0或x =−4， ∴P(0,0)或(−4,0).
【解析】(1)根据一次函数y =2x +4与反比例函数y =k
x 的图象交于A(1,m)，可得m =6，
进而可求反比例函数的表达式；
(2)解析式联立，解方程组求得B 的坐标，由一次函数的解析式求得C 的坐标，然后根据S △ABP =S △ACP +S △BCP 得出关于x 的方程，解方程即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：y =a(x +1)(x −3)=a(x 2−
2x −3)，
即：−3a =3，解得：a =−1，
故抛物线的表达式为：y =−x 2+2x +3；
(2)如图1：S △CPD ：S △BPD =1：2，即：CD ：BD =1：2， 过点D 分别作x 、y 轴的垂线交于点H 、G ，
则CG OC =CD BC =1
3，故GC =1， 同理可得：DH =2，故点D(1,2)；
(3)由抛物线的表达式知，点C(0,3)，
由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为y =−x +3， 故点P 作PH//y 轴交BC 于点H ，
设点P 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，则点H(m,−m +3)，
设四边形BACP 的面积为S ，
则S =S △ABC +S △BCP =1
2×AB ×CO +1
2×PH ×OB =1
2×4×3+1
2×3×(−m 2+2m +3+m −3)=−3
2(m −3
2)2+
758
≤
758
，
故当m =32
时，四边形BACP 的面积最大，最大值为758
， 此时，点P 的坐标为(32
,15
4).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)S △CPD ：S △BPD =1：2，即CD ：BD =1：2，则CG
OC =CD
BC =1
3，故GC =1，进而求解； (3)由S =S △ABC +S △BCP =1
2
×AB ×CO +1
2
×PH ×OB ，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大．
22.【答案】解：(1)令y =0，则3
4x −3
2=0，解得x =2，
x =−8时，y =3
4×(−8)−3
2=−15
2， ∴点A(2,0)，B(−8,−152)，
把点A 、B 代入抛物线得{−14×(−8)2−8b +c =−152
−1
4×22+2b+c=0
，
解得{c =52
b=−3
4
，
∴抛物线的解析式y =−14x 2−34x +5
2； (2)∵点P 在抛物线上，点D 在直线上，
∴P 点坐标为(x,−1
4x 2−3
4x +5
2)，D 点坐标为(x,3
4x −3
2)， ∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点
∴PD =−14
x 2−34
x +52
−(34
x −32
)=−14
x 2−3
2
x +4，
∵PE ⊥AB ，
∴∠DPE +∠PDE =90∘， 又∵PD ⊥x 轴，
∴∠BAO +∠PDE =90∘， ∴∠DPE =∠BAO ， ∵D 在直线AB 上， ∴
DA AC
=3
4
，
∴sin∠BAO =3
5，cos∠BAO =4
5， ∴PE =PDcos∠DPE =4
5PD ， DE =PDsin∠DPE =35PD ，
∴△PDE 的周长为l =PD +4
5PD +3
5PD =
125
PD =
125
(−14x 2−32x +4−)=−3
5x 2−
185
x +
485
，
即l =−3
5
x 2−
185x +485；
∵l =−3
5x 2−
185
x +
485
=−3
5(x +3)2+15，
∴当x =−3时，l 最大值为15.
【解析】(1)利用直线解析式求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
(2)利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD ，再利用同角的余角相等求出∠DPE =∠BAO ，根据直线k 值求出∠BAO 的正弦和余弦值，然后表示出PE 、DE ，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答．
本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，(2)利用锐角三角函数用PD 表示出三角形是周长是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，BD ⊥EC ，
∴∠DFE =∠DAB =90∘， ∵∠FDE =∠ADB ， ∴△FDE ∽△ADB ， ∴DF
AD =DE
BD ， ∵∠EDB =∠FDA ， ∴△AFD ∽△BED ； (2)解：连接BE ， ∵△AFD ∽△BED ，
∴∠DFA =∠DEB ， ∴∠BEA =∠BFA ， ∵AE =AB ，∠DAB =90∘， ∴∠BEA =45∘， ∴∠BFA =45∘， ∴∠DFG =∠BFA =45∘； (3)解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB =CD ，∠CDE =∠DAB =90∘， ∵BD ⊥EC ， ∴∠ADB =∠DCE ， ∴△CDE ∽△DAB ， ∴CD
AD =DE
AB ，
设AB 的长为x ，则DE =1−x ， ∴x
1=
1−x x
，
解得x 1=
√5−1
2，x 2=
−√5−12
(舍去)，
∴AB 的长为
√5−1
2
. 【解析】(1)利用四边形ABCD 是矩形，BD ⊥EC ，证明△FDE ∽△ADB ，得到DF AD
=
DE
BD
，
进而可证得△AFD ∽△BED ；
(2)利用(1)中结论可得∠DFA =∠DEB ，则∠BEA =∠BFA ，进而可得∠DFG =∠BFA =45∘；
(3)利用四边形ABCD 是矩形，BD ⊥EC ，证明△CDE ∽△DAB ，可得CD
AD =DE
AB ，设AB 的长为x ，则DE =1−x ，即可求得AB.
本题主要考查相似三角形的判定与性质和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，会对角与角之间进行相互转换．。