大学离散数学总复习题

《离散数学》期末复习题
一．选择题：
1.下列句子为真命题的是（） A
(a)能整除7 的正整数只有1 和7 本身。

(b) 胡戈由于导演了“无极”而于2005年获得奥斯卡金像奖。

(c) 买两张星期五去“大剧院”音乐会的票。

(d) 地球是宇宙中惟一存在生命的星球。

2．下列语句中是真命题的是（） D
A．我正在说谎
B．严禁吸烟
C．如果1+2=3，那么雪是黑的
D．如果1+2=5，那么雪是黑的
3．设P：我们划船，Q：我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） B A．⎤ P∧⎤ Q
B．⎤ P∨⎤ Q
C．⎤（P↔Q）
D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）
4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） B
A．矛盾式
B．蕴含式
C．重言式
D．等价式
5．在公式（）F（x，y）→（y）G（x，y）中变元x是（） B
A．自由变元
B．约束变元
C．既是自由变元，又是约束变元
D．既不是自由变元，又不是约束变元
6、下列语句不是命题的是（） A
A.∀xP(x,y)
B. ∀xP(x)
C. （）F（x，y）→（y）G（x，y）
D. ∀x (x2 - 1 > 0)
7.集合X = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} 是（） D
A) 自反的、 B) 传递的、 C) 等价的 D) 对称的
8、设R 是X = {1, 2, 3, 4}上的关系，x, y ∈X，如果x ≤ y，则(x, y)∈R。

下列关于关系R的说法错误的是：（） A
A)关系R是等价关系，B) 关系R 是自反的
C) 关系R 是传递的 D) 以上都不是。

9、集合X = {a, b, c}上的关系 R = {(a, a), (b, b), (c, c)}是（） D
A) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的
C) 对称的、非传递的；D) 自反的、对称的和传递的
10、令X={1,2,…,10}。

定义xRy的意义是3整除x-y。

则关系R是（） D
A) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的
D) 自反的、对称的和传递的
11、下列S不是集合X＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的一个划分的是（） D
A)S＝{{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}
B)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3,5}, {7, 8}}
C)S＝{{1, 4, 5}, {2,3, 6}, {7, 8}}
D)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}
12、从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c, d}的函数 f = {(1, b), (3, a), (2,
c)} 是( ) A
A) 一对一的B) 映上的C) 双射D) 都不是
13、设R是X＝{1, 2, 3, 4}上的关系，x, y∈X，如果x≤y，则(x,y)∈R。

关系R 是（） B
A) 对称的B) 自反的和传递的C) 等价关系D) 对称的但不是等价关系
14.偏序关系具有性质（） D
A.自反、对称、传递
B.自反、反对称
C.反自反、对称、传递
D.自反、反对称、传递
15.对公式)y,x(P)x
∧
(∃
∧
∀
∀的说法正确的是（） A
x
)z,y(
)(
(
)y,x(P
Q
y
)(
A.x是约束出现，y是约束出现，z是自由出现
B.x是约束出现，y既是约束出现又是自由出现，z是自由出现
C.x是约束出现，y既是约束出现又是自由出现，z是约束出现
D.x是约束出现，y是约束出现，z是约束出现
16.在简单无向图G=E,V中，如果V中的每个结点都与其余的所有结点邻接，则该图称为（） B
A.正则图
B.完全图
C.连通图
D.强连通图
17.给定n个结点的一个图，它还是一个树的下列说法中，（）是不对的。

D
A.无回路的连通图
B.无回路但若增加一条新边就会变成回路
C.连通且e=v-1，其中e是边数，v是结点数
D.所有结点的度数≥2
18.设p 为真 q 为假，r 为真，下列为假的式子为 （）B
A) (p ∧q) → r 为（）真
B) (p ∨q) → ⌝ r 为（） 假
C) p ∧(q → r) 为（）真
D) p →(q → r)为（） 真
19.从X = {1, 2, 3}到Y = {a , b , c }的函数 f = {(1, a ), (2, c ), (3, b )} 是
A) 一对一的，并且是对Y 映上的。

（）真
B) 一对一的，但不是对Y 映上的。

C) 不是一对一的。

D) 不是对Y 映上的。

20.仅由孤立点组成的图称为 （ A ）
A. 零图； B ．平凡图； C. 完全图； D. 多重图.
21.仅由一个孤立点组成的图称为 （ B ）
A. 零图； B ．平凡图； C.多重图； D. 子图.
22.在任何图G 中必有偶数个 （ B ）
A. 度数为偶数的结点； B ．度数为奇数的结点；
C. 入度为奇数的结点；
D. 出度为奇数的结点.
23.设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为 （ C ）
A. )1(-n n B ．)1(+n n C. 2)1(-n n D. 2)1(-n
24.在有n 个结点的连通图G 中，其边数 （ B ）
A. 最多1-n 条； B ．至少1-n 条；
C. 最多n 条；
D. 至少n 条.
25.任何无向图G 中结点间的连通关系是 （ B ）
A. 偏序关系； B ．等价关系；
C. 既是偏序关系又是等价关系；
D. 既不是偏序关系也不是等价关系.
26.对于无向图，下列说法中正确的是. （ B ）
A ．不含平行边及环的图称为完全图
B ．任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图
C ．具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图
D ．具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图
27.设D 是有向图，则D 强连通的充分必要条件为. ( C )
A ．略去D 中各边方向后所得到的无向图是连通的
B ．D 是单向连通图，且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图
C ．
D 的任意两个不同的结点都可以相互到达
D ．D 是完全图
28.对于无向图G ，以下结论中不正确的是. （ A ）
A ．如果G 的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间有初级回路
B ．如果G 的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间至少有一条短程
C ．如果G 是树，则任何两个不同结点之间有且仅有一条初级通路
D ．如果G 是欧拉图，则G 有欧拉回路
29.命题公式)∨(→P P Q ¬是( B )。

(A) 矛盾式 (B) 重言式
(C) 非永真的可满足式 (D) 以上都不对
30. 设个体域为全体自然数集合，下列公式中真值为T 是( C )。

(A) )(∃∀0=+y x y x (B) )(∀∀0=+y x y x
(C) )(∃∃0=+y x y x (D) )(∀y ∃
0=+y x x 31.谓词公式),(∨)),(∃→),(∃(∀y x A y x yR y x xQ P x ∧(x)，以下陈述错误的是（ C ）。

(A) ∀x 的辖域是),(),()(y x yR y x xQ x P ∃→∃∧
(B) ∃x 的辖域是Q (x ,y )
(C) R (x ,y )中的x 是自由出现
(D)此公式等值于 ),(∨)),(∃→),(∃∧)((∀y x A y z yR y x xQ z P z
32.设A ,B ,C 为任意集合,下列表达正确的是( A )。

(A) ∅⊆∅ (B) A －B ＝∅ ⇒ A ＝B
(C)A ⋃B ＝A ⋃C ⇒ B ＝C (D) A ⋂B ＝A ⇒ A ⋃B=A
33. 设A ＝{1,2},B={a,d,c},C={c,d}, 则(B －C)×A= ( C )。

(A){<1,a>,<2,a>} (B){<c,1>,<2,c>}
(C){<a,1>,<a,2>} (D){<d,1>,<d,2>}
34.设N 是自然数集合，则下列四个陈述不对是( B )。

(A) ≤是N 上的偏序关系 (B) =不是N 上的等价关系
(C) ≥是N 上的偏序关系 (D) ≤是N 上的线序关系
35.下面四个图中，哪个是欧拉图( D )。

36.设个体域{,}D a b =，与公式()xA x ∃等价的命题公式是( )
A ．()()A a A b ∧
B ．()()A a A b →
C ．()()A a A b ∨
D ．()()A b A a →
37.设A={a,b,c}，则下列是集合A 的划分的是( )
A.{{,},{}}b c c
B . {{},{,}}a b c C.{{,},{,}}a b a c
D. {{,},}a b c 38.下列谓词公式中是前束范式的是（ ）。

A ．()()()xF x x G x ∀∧⌝∃
B ．()()xF x yG y ∀∨∀
C ．(()(,))x P x yQ x y ∀→∃
D ．(()(,))x y P x Q x y ∀∃→ 39.下列公式是前束范式的是（ ）。

A ．()()((,)())x y F z x G y ∀∀⌝∨ B ．(()()()())()x F x y G y H z ⌝∃∨∀∧
C ．()(,)()()x F x y y G y ∃→∀
D ．()((,)()(,))x F x y y G x y ∀→∀
二、填空题
1 设集合A,B ，其中A ＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B ＝_{3} ;
ρ(A) - ρ(B)＝ __{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2. 设有限集合A, |A| = n,
则|ρ(A×A)| = __22n __________.
3. 设R 是集合A 上的等价关系，
则R 所具有的关系的三个特性是答案： 自反性；对称性；传递性.
4. 设集合A ＝{1,2,3,4}, A 上的关系
R 1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R 1 = {(2,1),(3,2),(4,3)},
则 R 1•R 2=__{(1,3),(2,2),(3,1)};
R 2•R 1 =___{(2,4),(3,3),(4,2)}; R 12=___{(2,2),(3,3)}.
5. 设有限集A, B ，|A| = m, |B| = n,
则| |ρ(A ⨯B)| = _2m ⨯n ._
6. 设G 是具有8个顶点的树，
则G 中增加___21___条边才能把G 变成完全图。

7. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系
R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)},
S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。

则R ⋅S ＝_{(1, 3),(2, 2)};
R 2＝__{(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8、使命题公式P → (P →Q)成假的赋值是 10
设:p 天气很冷，:q 老王还是来了，则命题“虽然天气很冷, 但老王还是来了”符号化为 .q p ∧
9.设:p 天下雨，:q 我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班”符号化为 .q p →⌝
10. 设q p ,的真值为0，s r ,的真值为1，则命题公式)()(s q r p ∨⌝∧↔的真值为 .0
11.设q p ,的真值为0，r 的真值为1，则命题公式)(r q p ∧∨的真值为 .0
12. 设树T 中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，则T 中有 个4度结点. 解 用握手定理和树的性质列出方程求解，设有x 个4度结点，
)137(2497-++=++x x ，1=x
13.设A ＝{1,2},B={x,y},则AB={<1,x>,<1,y>,<2,x>,<2,y>}。

14.集合},{b a A =的=)(A ρ }},{},{},{,{b a b a φ； 。

15.设)(x F 表示“x 会飞”，论述域为{鸟}，则命题“一切鸟都会飞”可译为：)(x xF ∀；
16.若集合A 上的二元关系R 的关系矩阵主对角线上元素全是1，
则关系R 具有 自反 性质。

17.连通无向图G 有9个顶点14条边，要得到G 的一棵生成树，必须删去 6 条边。

18.设>=<E V T ,为树，T 中有4度，3度，2度分支点各1个，问T 中有 片叶。

解 与上题解法相同，设有x 片树叶，)13(2234-+=+++x x ，5=x
19如A={a,b,c},P(A)的成员 Ø ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} , |P(A)|= _8_____ |A|=__3____________
X={1,2,3} Y={a,b},则X×Y=__={{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b}}__
二．综合题：
1.用符号形式写出下列命题
a) 假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.
b) 我今天进城,除非下雨.
c) 仅当你走,我将留下.
[解]a)设P:上午天下雨. Q:我去看电影
R:我在家读书 S:我在家看报
原命题可译为:(┐P→Q)(P→(RS))∧∨
b)设:P:我今天进城 Q:天下雨
原命题可译为:┐Q→P
c)设:P:你走 Q:我留下，
原命题可译为:Q→P
2.（2.1 集合）如果X＝{1, 2, 3}，Y＝{a, b}，写出：X×Y， Y×X，X×X，Y×Y 解：
X×Y＝{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
Y×X＝{(a,1), (b,1), (a,2), (b,2), (a,3), (b,3)}
X×X＝{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} Y×Y＝{(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
3.（3.1 关系）从集合X＝{2, 3, 4}到Y＝{3, 4, 5, 6, 7}的关系R定义为
(x,y)∈R 如果x整除y，
写出关系R，及R-1
解：R＝{(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}。

R-1＝{(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}。

这种关系可用文字描述为“…被…整除”。

4. 偏序集<A,R>的哈斯图如下所示。

①试写出A和R的集合表达式；
②求A的子集B={b,c,d}的极大元,最大元和上界。

解：
①A={a,b,c,d,e},
R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>,<b,a>,<c,a>,<d,a>,<d,b>,<d,c>}
②B的极大元b,c,无最大元，上界是a。

5.设A={a,b,c,d}，A上的二元关系R={<a,b>,<b,c>,<c,d>}
①画出R的关系图，求出R的逆关系；
②求R的对称闭包s(R)
解：
R的关系图
R的逆关系{<b,a>,<c,b>,<d,c>}
s(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c> <c,b>,<c,d>,<d,c>}。

6.设集合A ＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A 的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
(3) 写出A 的最大元，最小元，极大元，极小元。

答案：
(1)
(2) B 无上界，也无最小上界。

下界1, 3; 最大下界是3.
(4)
7. 设集合A ＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R 为A 上整除关系。

（1）画出半序集(A,R)的哈斯图；
（2）写出A 的最大元，最小元，极大元，极小元；
（3） 写出A 的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界. 答案：
(2) 无最大元，最小元1，极大元
8, 12; 极小元是1.
(3) B 无上界，无最小上界。

下界1, 2; 最大下界2.
8.设命题公式G = ⌝(P →Q)∨(Q ∧(⌝P →R)), 求G 的主析取范式。

G = ⌝(P →Q)∨(Q ∧(⌝P →R))
= ⌝(⌝P ∨Q)∨(Q ∧(P ∨R))
= (P ∧⌝Q)∨(Q ∧(P ∨R)) = (P ∧⌝Q)∨(Q ∧P)∨(Q ∧R)
= (P ∧⌝Q ∧R)∨(P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧⌝R)∨(P ∧Q ∧R)∨
(⌝P∧Q∧R)
= (P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ∑(3, 4, 5, 6, 7).。