浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷含答案

浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷含答案
G F
E'
C'
E A D
B C
浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷
（检测范围：初中数学竞赛⼤纲要求所有内容）
⼀、单项选择题（本⼤题分4⼩题，每题5分，共20分）
1、设⼆次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与⼀次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有⼀个交点，则( ). A ．a (x 1-x 2)=d B ．a (x 2-x 1)=d C ．a (x 1-x 2)2=d D ．a (x 1+x 2)2=d
2、如图，ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三⾓形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点
D 旋转时，线段BM 长的最⼩值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13-
3、⼀名模型赛车⼿遥控⼀辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为⼀次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A ．72° B ．108° C ．144° D ．以上选项均不正确
4、⽅程()y x y xy x +=++322的整数解有( ).
A 、3组
B 、4组
C 、5组
D 、6组⼆、填空题（本⼤题分16⼩题，每题5分，共80分）
5、如图，在矩形ABCD 中，AB =64，AD =10，连接BD ，DBC ∠的⾓平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE ?绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE ?为''E BC ?，当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ，若BFD ?为等腰三⾓形，则线段DG 长为 .
6、如图，在平⾯直⾓坐标系中，点M 是第⼀象限内⼀点，过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交直线AB 于点E (位于点M 右下⽅)，
连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0
OK
=，则y 关于x
的函数解析式为 .
7、如图，梯形ABCD 的⾯积为34cm 2，AE=BF ，CE 与DF 相交于O ，OCD ?的⾯积为11cm 2，则阴影部分的⾯积为
______cm 2．
8、如图，四边形ABCD 为正⽅形，⊙O 过正⽅形的顶点
第5题第2题第6题第7题
A 和对⾓线的交点P ，分别交A
B 、AD 于点F 、E ．若⊙O 的半径为2
3，AB =2+1，则
ED
AE
的值为． 9、已知⼀个正三⾓形的三个顶点在⼀个正⽅形的边上移动.如果这个内接三⾓形的最⼤⾯积是3.则该正⽅形的边长为. 10、在四边形ABCD 中，边AB=x ，BC=CD =4，DA =5，
它的对⾓线AC=y ，其中x ，y 都是整数，∠BAC =∠DAC ，那么x = ．
11、如果满⾜ ||x 2-6x -16|-10| = a 的实数x 恰有6个，那么实数a 的值等于．
12、⼀批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运
到三百多千⽶以外的⼄站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v
千⽶/⼩时．两列货车实在运⾏中的间隔不⼩于2
25v ??
千⽶，这这批救灾
物资全部运到⽬的地最快需要6⼩时，那么每隔分钟从甲站向⼄站发⼀趟货车才能使这批货物在6⼩时内运到.
13、已知0≤a-b ≤1，1≤a+b ≤4，那么当a -2b 达到最⼤值时，8a +2015b 的值等
于 .
14、在边长为l 的正⽅形ABCD 中，点M 、N 、O 、P 分别在
边AB 、BC 、CD 、DA 上．如果AM=BM ，DP =3AP ，则MN+NO+OP 的最⼩值是 .
15、如图，在四边形纸⽚ABCD 中，AB=BC ，AD=CD ，
∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸⽚先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从⼀个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有⼀个是⾯积为2的平⾏四边形，则CD =______________. 16、从1,2,…,2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数
中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平⽅和为． 17、已知直⾓三⾓形ABC 中，斜边AB 长为2，∠ACB =90°，三⾓形内⼀个
动点到三个顶点的距离之和的最⼩值为7，则这个直⾓三⾓形的两个锐⾓⼤⼩分别为，． 18、若实数x 、y 满⾜：=+-13x x y y -+23，则若设p=x+y ，则p max = ，p min = ． 19、已知平⾯上有4个圆叠在⼀起形成
10个区域，其中在外区域的三个圆每个圆有5个区域，在内区域的圆有7个区域．现将数字0,1,…,9分别放⼊10个区域，且使每个圆都有相同的数字和，则数字和S 的取值范围为．
第8题第10题
第15题第19题
x 1
x 2 x 3
x 4 x 5 x 6
x 7
x 8 x 9
x 10
20、已知∠BAC =90°，四边形ADEF 是正⽅形且边长为1，则CA
BC AB 1
11+
+ 的最⼤值为，简述理由(可列式)： .
三、分析解答题（本⼤题分5⼩题，分值依次为8分、10分、8分、14分、
10分，共50分）
21、(8分)⽜顿和莱布尼茨于17世纪分别独⽴地创⽴了积分学.其中有⼀个
重要的概念：定积分.我们规定把函数()x f 中区间[]b a ，(包括a ,b )与x
轴围成的⾯积记作：()?b
a x x f d .
(1).试证：()()x x f k x x kf b
a
b
a
d d ??
=；
(2)．对于任意实数c b a ，，其中(a ＜c ＜b ),是否都有：
()()()
+=b
c
c
a
b
a
x x f x x f x x f d d d .如没有请举出反例；如有，请证明之.
22、(10分)在正⽅形ABCD 的AB 、AD 边各取点K 、N ，使得AK ·AN =2BK ·DN ，
线段CK 、CN 交对⾓线BD 于点L 、M ，试证：∠BLK =∠DNC =∠BAM .
第20题 A
B
D E F C
23、(8分)设AB ，CD 为圆O 的两直径，过B 作PB 垂直AB ，并与CD 延长
线相交于点P ，过P 作直线PE ，与圆分别交于E ，F 两点，连AE ，AF 分别与CD 交于G ，H 两点(如图)，求证：OG=OH .
24、(14分)如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，
以AQ 为边作Rt ABQ ?，使∠BAQ =90°，AQ ：AB =3：4，作ABQ ?的外接圆O ．点C 在点P 右侧，PC =4，过点C 作直线m ⊥l ，过点O 作OD
⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF =
2
3
CD ，
以DE ，
DF 为邻边作矩形DEGF ．设AQ =3x ． (1)⽤关于x 的代数式表⽰BQ ，DF ．
(2)当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的⾯积等于90，求AP 的长． (3)在点P 的整个运动过程中，①当AP 为何值时，矩形DEGF 是正⽅形？
②作直线BG 交⊙O 于点N ，若BN 的弦⼼距为1，求AP 的长．
第23题
25、(10分)有A、B、C三个村庄，各村分别有适龄⼉童a、b、c⼈.今要建
⽴⼀所⼩学，使各村学⽣到校总⾥程最短.试问：若三村⼈数不⼀定相等时学校应建在哪⾥？
初中数学竞赛选拔试卷
参考答案
⼀、单项选择题(本⼤题分4⼩题，每题5分，共20分)
题⽬ 1 2 3 4 答案
B
D
D
D
⼆、填空题(本⼤题分10⼩题，每题5分，共50分)
5、1798
6、2
12x
y -= 7、12 8、222或 9、332+ 10、4或5 11、10 12、12 13、8 14、 485
15、 432+或32+
16、1351373940 17、30°,60° 18、2
21
3921539++或 19、21≤S ≤25 20、221+；理由：求式=1+BC
1
，⼜EFC BDE ??∽?BD ·CF =1，
BC 2≥2+2BD ·CF +CF BD ?4=8∴计算可得为2
2
1+
三、分析解答题(本⼤题分5⼩题，分值依次为8分、10分、14分、10分，
共50分)
21、(8分)【解】(暂⽆解答，征求答案) 22、(10分)【解】
连结KN 、KM ，将NDC ?绕点C 顺时针旋转90°得EBC ?.
AB=AD ?AK+BK=AN+DN ?(AK-AN )2
=(DN-BK )2
AK 2+AN 2-2AK ·AN =DN 2+BK 2-2ND ·BK (两边同加2AK ·AN )
AK 2+AN 2=(DN +BK )2(由AK ·
AN =2BK ·DN 可知),结合图可知NK 2=KE 2 ∴EKC NKC ??∽(SSS )∴∠DNC =∠KEC =∠KNC ，且∠KCN =45° ∴B 、C 、M 、K 四点共圆(∠KBN =45°) ∴KM ⊥CN ，∴A 、K 、M 、N 四点共圆∴∠KAM =∠KNM =∠DNC ，⼜∠MDN =45°=∠KCN ∴N 、L 、C 、D 四点共圆，∴∠DNC =∠DLC =∠KLB ∴∠DNC =∠KAM =∠KLB (即∠BLK =∠DNC =∠BAM )
23、(8分)【解】
24、(14分)【解】
23、第23题解
25、(10分)
【解】(I)当三村⼈数相等时，分以下两种情形(如图)：(1)ABC
中最⼤⾓⼤于120°，不妨令∠A≥120°，则学校应建在A村；(2)ABC
中最⼤⾓⼩于120°，则学校应建在X点(此点到三边的张⾓相等，亦称ABC
的费马点) (II)当三村⼈数不⼀定相等时，则学校所在地X，可通过物理学的模拟⽅法求出：在平⾯上，⽤三点A、B、C模拟三村，⽤重物a、b、c模拟相应各村⼈数，并⽤细线通过滑轮连接于X点.当出现平衡时，平衡点X就是学校该建的地⽅.由静⼒学势能原理可知：AX·a+BX·b+CX·c达最⼩值，即各村分别有适龄⼉童到校总⾥程最短.当a=b=c时，AX、BX、CX三⽅向拉⼒
A
B
C (1)
X
A
B
C
(2)
相等且平衡.由对称关系，⽴得：∠AXB=∠BXC=∠CXA=90°.。