高二数学上学期期中试题含解析_6

马坝高级中学2021-2021学年度第一学期期中考试
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
高二数学试题
一、选择题
1.命题“0x R ∃∈，2
000x x ->〞的否认是〔 〕 A. x R ∀∈，20x x -> B. 0x R ∃∈，2
000x x -≤ C. x R ∀∈，20x x -≤ D. 0x R ∃∈，2
000x x -<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据特称命题的否认可得出正确选项.
【详解】由特称命题的否认可知，命题“0x R ∃∈，2
000x x ->〞的否认是“x R ∀∈，
20x x -≤〞，应选：C.
【点睛】此题考察特称命题的否认，着重考察对特称命题概念的理解，属于根底题.
x 的不等式253x x x -->的解集是〔 〕
A. {
5x x ≥或者}1x ≤- B. {
5x x >或者}1x <- C. {}
15x x -<< D. {}
15x x -≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.
【详解】由253x x x -->得2450x x -->，即(5)(1)0-+>x x ， 解得5x >或者1x <-，即原不等式的解集为：{
5x x >或者}1x <-. 应选：B
【点睛】此题主要考察解一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于根底题型.
{}n a 中，46a =，3510a a a +=，那么公差d =〔〕
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】
全部用1,a d 表示，联立方程组，解出d 【详解】10354==2=12a a a a +
104661a a d d -==⇒=
【点睛】此题考察等差数列的根本量计算，属于根底题。

4.12,F F 是椭圆221169
x y +=的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于,M N 两点，那么2
MNF ∆的周长为〔 〕 A. 16 B. 8
C. 25
D. 32
【答案】A 【解析】
因为椭圆的方程我22
1169
x y +=，所以4a = ，由题意的定义可得2MNF ∆的周长
()()221212
L MN MF NF MF MF NF NF =++=+++2244416a a a =+==⨯=，
应选A.
{}n a 的前4项为：12-
，34
，58-，7
16，那么数列{}n a 的通项公式是〔 〕
A. 21
2n n
n a -= B. ()()1212n
n
n
n a
-⋅-=
C. 21
2n n
n a +=
D. ()()1212n
n
n
n a
-⋅+=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.
【详解】观察数列{}n a 的前4项，可知分母为2n ，分子是奇数，为21n -， 同时符号是正负相间，为()1n
-，
所以()()1212n
n
n
n a
-⋅-=
.
应选B.
【点睛】此题主要考察数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决此题的关键．
6.在以下函数中，最小值是2的函数是〔 〕 A. ()1
f x x x
=+
B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C. (
)2f x =
D. ()4
2x
x f x e e
=+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
利用根本不等式求各选项函数的最值，但要注意“一正、二定、三相等〞三个条件的成立. 【详解】对于
A
选项里面的函数
()1
f x x x
=+
，当0x <时，
()()11f x x x x x ⎡
⎤=+
=--+≤⎢⎥-⎣⎦
2-=-，那么函数()1f x x x =+没有最小
值；
对于B 选项里面的函数1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
，0cos 1x <<，
1cos cos y x x =+
≥2=，当且仅当cos 1x =时，等号成立，但0cos 1x <<，等号不成立，那么2y >；
对于C 选项里面的函数()2
f x =
=≥，当且仅当0x =时，等号成立，
对于D 选项里面的函数()4
2x
x f x e e
=+
-，由根本不等式得
()42x x f x e e =+
-≥22=，当且仅当4x x e e =时，即当ln 2x =时，等号成立，该函数的最小值为2.应选：D.
【点睛】此题考察利用根本不等式求最值，利用根本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等〞三个条件的成立，考察计算才能，属于中等题.
240ax ax +-＜的解集为R ，那么a 的取值范围是〔 〕
A. 160a ≤<
B. 16a >-
C. 160a -<≤
D. 0a <
【答案】C 【解析】 【分析】
讨论两种情况，0a =时合题意，当0a ≠时，利用判别式小于零且0a ＜可得结果.
【详解】当0a =时，不等式即40-＜，恒成立．
当0a ≠时，由题意可得2160a a ∆=+＜，且0a ＜，解得160a ＜＜-． 综上，实数a 的取值范围是160a -≤＜，应选C ．
【点睛】解答一元二次不等式恒成立问题主要方法：〔1〕假设实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号以及判别式小于零即可；〔2〕假设在给定区间上恒成立，那么考虑运用“别离参数法〞转化为求最值问题.
{}n a 中,公比q 是整数,142318,12a a a a +=+=,那么此数列的前8项和为()
A. 514
B. 513
C. 512
D. 510
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据条件计算出首项1a 和公比q 的值，然后利用前n 项和公式()111n n a q S q
-=-计算前8项
和.
【详解】因为142318,12a a a a +=+=，所以3112
1
11812a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩且q 是整数，解得：12
2a q =⎧⎨=⎩； 所以()12122212
n n n
S +-==--，所以9
8225122510S =-=-=，
应选：D.
【点睛】此题考察等比数列根本量的计算以及等比数列的前n 项和公式，难度较易.使用等比数列的前n 项和公式时，注意公比1q ≠.
l 经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，假设椭圆中心到的l 间隔 为其短轴长的1
4
，那么该
椭圆的离心率为( )
A.
12
B.
13
C.
23
D.
34
【答案】A 【解析】
设椭圆方程为：22
221x y a b
+=，直线l 经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，
由对称性，不妨设直线1x
y
l c b
+
=：， 椭圆中心到的l 间隔 为其短轴长的
1
4
124b =
⨯,解得12
c a =，即离心率为
12
. 应选A.
{}n a 满足()21*1232222
n n n
a a a a n N -+++
+=
∈，那么12310a a a a 等于〔 〕
A. 55
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 10
12⎛⎫- ⎪⎝⎭
C. 9
112⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. 66
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
【分析】
根据题意得到2
212311
2222
n n n a a a a ---+++
+=
，〔2n ≥〕，与条件两式作差，得到12n n a =，〔2n ≥〕，再验证112
a =满足12n n a =，得到12n n a =()*
n N ∈，进而可求出结
果.
【详解】因为数列{}n a 满足2
11232222
n n n
a a a a -+++
+=
， 2212311
2222
n n n a a a a ---+++
+=
，〔2n ≥〕 那么1
112222--=-=n n n n a ，那么12n n a =，〔2n ≥〕，
又112
a =
满足12n n a =，所以12n n a =()*
n N ∈，
因此55
10(110)
123 (1123102)
0122
2+------⎛⎫=== ⎪⎝⎭
a a a a . 应选：A
【点睛】此题主要考察等比数列局部项的乘积，熟记等比数列的通项公式以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型. 二、填空题
2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值是
【答案】1 【解析】
试题分析：22
55x ky +=变形为22
222
551,11415y x a b c k k k
k
+=∴==∴=-=∴= 考点：椭圆方程及性质
12.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,假设191720,a S S ==,那么当时,n S 取最大
值. 【答案】13 【解析】 【分析】
题中等差数列前n 项和是n 的二次函数，由二次函数性质可得最值． 【详解】∵191720,a S S ==，∴公差0d <，当917
132
n +==时，n S 获得最大值． 故答案为13．
【点睛】此题考察等差数列前n 和性质．由于21()22
n d d
S n a n =+-，当0d ≠时，它是n 的二次函数，因此由二次函数性质可得最值．
13.假设“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件，那么m 的取值范围是________． 【答案】3m > 【解析】 【分析】
由题，“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件，那么(),m +∞是()3,+∞的真子集，可得答案.
【详解】因为“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >.
【点睛】此题考察了不要不充分条件，属于根底题.
{}n a 的前n 项和为()114710(1)32n n S n -=-+-+⋯+--，那么21S =____
【答案】31 【解析】 【分析】
由题中条件，根据并项求和的方法，即可求出结果. 【详解】因为()1
14710(1)32n n S n -=-+-+⋯+--，
所以()()19
202114710(1)
3202(1)3212=-+-+⋯+-⨯-+-⨯-S
1(47)(1013)...(5861)110(47)31=+-++-+++-+=+⨯-+=.
故答案为：31
【点睛】此题主要考察数列的求和，熟记并项求和的方法即可，属于常考题型.
,x y 满足1x y +=，那么
4912
x y +++的最小值是_______.
【答案】
254
【解析】 【分析】
由题得124x y +++=，所以49149()[(1)(2)]12412
x y x y x y +=++++++++，再根据根本不等式即可求出答案．
【详解】正数x ，y 满足1x y +=，那么124x y +++=， 那么
49149
()[(1)(2)]12412
x y x y x y +=++++++++ 14(2)9(1)125(49)(1312)41244
y x x y ++=++++=++， 当且仅当
4(2)9(1)12y x x y ++=++时，即3
5x =，25
y =时取等号， 故答案为：
254
． 【点睛】此题考察了条件等式下利用根本不等式求最值，考察了变形的才能，考察了计算才能，属于中档题．
{}
n a 满足1 1a =-，11
1n n
a a +=-〔N n +∈〕，那么100
a =_____________． 【答案】1- 【解析】 【分析】
通过计算出1234a a a a 、、、等的值可以发现数列{}n a 是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出100a 的值。

【详解】1234123
1111
1211211a a a a a a a =-=
=====----，，，， 由以上可知，数列{}n a 是一个循环数列，每三个一循环，
所以10011a a ==-。

【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进展计算。

三、解答题
{}n a 的前n 项和为n S ，20420S =，且2a ，4a ，8a 成等比数列.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设()()1
11n n n b a a =
-+，求数列{}n b
的前n 项和
n
T .
【答案】〔1〕2n a n =；〔2〕21
n
n + 【解析】 【分析】
〔1〕利用1a 和d 表示出20420S =和2
4
28a a a =，解方程组求得1a 和d ；利用等差数列通项公式求得结果；〔2〕由〔1〕可得n b 通项公式，采用裂项相消法求得结果. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 公差为()0d d ≠
20112019
20201904202
S a d a d ⨯∴=+
=+=，即：121942a d +=…① 又248,,a a a 成等比数列 2
428a a a ∴=
()()()2
11137a d a d a d ∴+=++，整理可得：1d a =…②
由①②得：12a d == ()112n a a n d n ∴=+-= 〔2〕由〔1〕得：()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫=
=⨯- ⎪-+-+⎝⎭
11111111112335212122121
n n
T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考察等差数列通项公式求解、裂项相消法求解数列的前n 项和的问题；关键是可以将数列{}n b 的通项公式进展准确裂项，从而前后相消得到结果，属于常考题型.
C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎛ ⎝⎭
在椭圆C 上．
〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕假设点P 在椭圆上，∠F 2PF 1＝60°，求△PF 1F 2的面积．
【答案】〔1〕2214x y +=；〔2 【解析】
【分析】
〔1〕由题意求得a ，设出椭圆方程，代入的坐标求得b ，那么椭圆方程可求； 〔2〕由〔1〕求得c 及2a ，在△F 2PF 1中，由余弦定理可得1243
PF PF =
，然后代入三角形面积公式可得△F 2PF 1的面积．
【详解】〔1〕 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4， 故可设椭圆C 的方程为22
214x y b
+=〔0a b >>〕，
因为点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上，所以213144b +=， 解得21b =， 所以，椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
〔2〕由〔1〕知，124c PF PF ==+= 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得：222
12
1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2212443c a PF PF =-
1243PF PF ∴=，那么12114sin 60223S PF PF ︒==⨯= 【点睛】此题考察椭圆的简单性质，考察了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．
16年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为4C 〔单位：万元〕与隔热层厚度x 〔单位：
厘米〕满足关系：()(010)5
k C x x x =≤≤+.假设不建隔热层，每年的能源消消耗用为365
()f x 为隔热层建造费用与16年的能源消消耗用之和. 〔1〕求k 的值及()f x 的表达式；
〔2〕隔热层修建多厚时，总费用()f x 最小，并求其最小值.
【答案】〔1〕36k =，576()45
f x x x =++(010)x ≤≤〔2〕当隔热层修建7厘米厚时，总费用到达最小，且最小为76万元.
【解析】
【分析】
〔1〕由建筑物每年的能源消消耗用C 〔单位：万元〕与隔热层厚度x 〔单位：cm 〕满足关系：
C 〔x 〕()0105k x x =
≤≤+，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为365
万元．我们可得C 〔0〕＝365，得k ＝36，进而得到()365C x x =+．建造费用为C 1〔x 〕＝4x ，那么根据隔热层建造费用与16年的能源消消耗用之和为f 〔x 〕，我们不难得到f 〔x 〕的表达式．
〔2〕由〔1〕中所求的f 〔x 〕的表达式，研究函数f 〔x 〕的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f 〔x 〕的最小值．
【详解】〔1〕由题意知：36(0)5C =，代入()5
k C x x =+中得36k =，因此36()(010)5
C x x x =
≤≤+ 1636()16()445f x C x x x x ⨯∴=+=++，即576()45
f x x x ∴=++(010)x ≤≤ 〔2〕由576144()44[(5)5]55
f x x x x x =+=++-++ 令5t x =+，那么[5,15]t ∈，考察函数144()
g t t t =+在[5,15]t ∈的单调性知：当[5,12]t ∈时为减函数，当[12,15]t ∈时为增函数，min ()(12)24g t g ∴==
此时min ()(7)76f x f ∴==
即当隔热层修建7厘米厚时，总费用到达最小，且最小为76万元.
【点睛】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→复原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大〔小〕化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大〔小〕是最优化问题中，最常见的思路之一． ()()2 1f x x m x m =-++,
〔1〕假设关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,3，务实数m 的值；
〔2〕求不等式()0f x <的解集；
〔3〕假设对于[]
1,2x ∈，()4f x m >-恒成立，务实数m 的取值范围．
【答案】〔1〕3m =；〔2〕见解析；〔3〕(),3-∞
【解析】
【分析】
〔1〕根据不等式的解集，得到1,3是方程()2 10-++=x m x m 的两个根，由韦达定理，即可求出结果；
〔2〕先将不等式化为()(1)0x m x --<，分别讨论1m <，1m =，1m 三种情况，即可得出结果；
〔3〕先由题意得到41m x x <+
-对于[]1,2x ∈恒成立，由根本不等式求出41x x
+-的最小值，即可得出结果.
【详解】〔1〕因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,3，
所以1,3是方程()2 10-++=x m x m 的两个根， 因此133m =⨯=；
〔2〕()0f x <，2(1)0x m x m ∴-++<，()(1)0x m x ∴--<.
当1m <时，不等式()0f x <的解集为(),1m ；
当1m =时，原不等式为()2
10x -<，该不等式的解集为∅；
当1m 时，不等式()0f x <的解集为()1,m ；
〔3〕由题意，当[]
1,2x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立， 即[]1,2x ∈时，41m x x
<+-恒成立.
由根本不等式得4113x x +
-≥=，当且仅当[]21,2x =∈时，等号成立， 所以3m <， 因此，实数m 的取值范围是(),3-∞.
【点睛】此题主要考察由不等式解集求参数，分类讨论法解含参数的不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间关系，熟记根本不等式，灵敏运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.
{}n a 的前n 项和为n S ，且112
n n S a =-
. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设2
n n n b a =
，n T 为数列位{}n b 的前n 项和，求n T ； 〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在自然数m ，使得244n m m T -<<对一切*n N ∈恒成立？假设存在，求出m 的值；假设不存在，说明理由.
【答案】〔1〕23n n a =
〔2〕3231443n n n T +=-⋅〔3〕3m = 【解析】
【分析】
〔1〕根据题干可推导得到111122
n n n n S S a a ---=-+，进而得到数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得到结果；〔2〕由错位相减的方法得到结果；〔3〕根据第二问得到：03n n
n b =
>，数列{}n T 单调递增，由数列的单调性得到数列范围. 【详解】〔1〕由112n n S a =-，令1n =，那么11112S a =-，
又11S a =，所以123
a =
. 当2n ≥时，由112n n S a =-可得， 111122
n n n n S S a a ---=-+，即113n n a a -=， 所以{}n a 是以
23为首项，13为公比的等比数列，于是23
n n a =. 〔2〕23
n n n n n b a =⋅= ∴231111233333n n T n =+⋅+⋅++⋅ 2311111112(1)33333
n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ∴321211111333333n n n T n +=++++-⋅ 1111233
n n n +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 从而3231443n n n T +=
-⋅.
〔3〕由〔2〕知，03n n n b => ∴数列{}n T 单调递增，
∴1113
n T T b ≥==
， 又323134434n n n T +=-⋅<，∴1334n T ≤< 要244n m m T -<<恒成立，那么344214
3m m ⎧≤⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， 解得1033
m ≤<
，又*m N ∈， 故3m =.
【点睛】这个题目考察的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。