北航高等结构动力学(振动力学)大作业

《高等结构动力学》课程Case Study
斜坡缓冲车辆的运动学模型与缓冲距离影响因素分析
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摘要： 为了计算无动力车辆在斜坡上的最小缓冲距离，本文建立了斜坡行驶车辆的半车模型的运动学方程，采用龙格库达法对微分方程求解，得到初始速度与斜坡角度对缓冲距离的影响规律。

1.引言
为防止制动失灵的车辆冲下山谷, 盘山公路的下行方向每隔一定距离需要设置一个缓冲区，如图1所示。

缓冲区一般由一段具有上升坡度的渣土路面形成。

制动失灵的车辆驶入缓冲区后，其动能一部分转换成势能，一部分由车轮与路面的摩擦耗散。

图2所示为一车辆简化模型，车体高h=1.8m, 长b=5m 。

已知前轮刚度K 1=5.5*105N/m, 前轮阻尼系数C 1=8*104N •s/m, 后轮刚度K 2=8.5*105N/m, 后轮阻尼系数C 2=C 1; 车体按匀质记，总重10吨，质心距地面高度H=1.5m 。

摩擦力按下式计算：
()()i i f t N t μ=⋅ i=1, 2 μ—摩擦系数，μ=0.3
N i -- 车轮所受地面的正压力。

图1 盘山公路缓冲区示意图 图2 车辆简化模型
假设: ① 车辆行驶过程中的车体变形很小,可忽略不计。

② 车轮质量与车身质量相比很小,可忽略不计。

分别给出缓冲区坡度为300和450时的车辆驶入速度与缓冲区长度的关系曲线以及车速为70Km/小时时缓冲区的最小长度。

2 斜坡行驶车辆的动力学模型
斜坡行驶车辆的物理模型与力学模型分别如图3和图4所示。

图3 斜坡行驶车辆物理模型
图4 斜坡行驶车辆力学模型
2）
.
图5 斜坡行驶车辆模型受力分析
建立如图5所示的斜坡行驶车辆的力学模型，以质心C 点垂直方向坐标c
y 和转角c θ为广义坐标，1y 和2y 分别为弹簧位置垂直方向坐标（均取在弹簧原长的位置处），采用达朗贝尔原理建立车辆运动的微分方程如下。

以C 点垂直斜面方向的力平衡方程：
111222()()cos 0c my k y cy k y cy mg α++++-=
(1)
以C 点沿斜面方向的力平衡方程：
111222()sin 0c mx k y cy k y cy mg μα+++++=
(2)
以质心C 点取矩的力矩平衡方程：
111222111222()()()()()()02
2
c
c c L L
J cy k y cy k y H y k y cy H y k y cy θμμ-+-++-++-+=+
(3)
式中，车辆转动惯量22()12m J b h =
+；A 点坐标12
c c L
y y θ=-，B 点坐标12
c c L
y y θ=+，坐标几何关系如图6所示。

y 2
图6 坐标几何关系
将方程（1）（2）整理为以c y 和c
θ为广义坐标的运动方程如下：
12212()()cos 02
c c c c L
my cy k k y k k mg θα++++
--= (4)
12212()()sin 02
c c c c L
mx cy k k y k k mg μμμθα++++
-+= (5)
212122
21122()()()()22()()()0
24c c c c c c
c c cL L J c H y y k k H y k k y L L H y k k k k θμθμμθ⎡⎤
--+--+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤----+=⎢⎥⎣⎦ (6)
由于考虑微幅振动c
y H ，可以将c y 忽略，则微分方程（6）整理为下
式：
212122
21122()()22()()0
24c c c c
c cL L J c Hy k k H k k y L L H k k k k θμθμμθ⎡⎤
-+--++⎢⎥⎣⎦⎡⎤---+=⎢⎥⎣⎦
(7)
3 斜坡车辆模型的运动方程求解
已知车体总重10000m kg =，高h=1.8m ，长b=5m ，转动惯量
2
22()23,533k g m 12
m J b h =
+=⋅。

前轮刚度k1=5.5*105N/m ，前轮阻尼系数c1=8*104N •s/m ，后轮刚度k2=8.5*105N/m,，后轮阻尼系数c2=c1，质心距
地面高度H=1.5m 。

假设车轮间距L=b=5m ，摩擦系数μ=0.3。

3.1 自由度初始条件
假设车辆在c y 与c θ方向上做微幅振动，振动能量与车辆沿c x 方向的刚体运动能量相比为小量。

由于机械能守恒，有c x 的初始条件：
0c x =，0c x v =
(8)
图7 水平面上力平衡
图8 斜面上力平衡
假设车辆在瞬时内速度方向由水平方向转变为沿斜面方向，那么弹簧1、2的自由度为水平面上弹簧平衡位置与斜面上弹簧平衡位置之差，即：
101
1s s y y y '=-，2022s s y y y '=- (9)
式中，10y 、20y 分别为弹簧1、2初始坐标，1s y 、2s y 为斜面上弹簧平衡位
置坐标，1s y '、2
s y '为水平面上弹簧平衡位置坐标。

水平面上的力平衡如图7所示，弹簧平衡位置坐标1s y '、2
s y '如下：
1
12s mg y k '=，22
2s mg
y k '= (10)
斜面上的力平衡如图8所示，弹簧平衡位置坐标1s y 、2s y 如下：
11cos 2s mg y k α=
，22
cos 2s mg y k α= (11)
则有c y 与c θ自由度的初始条件表示为： ()010201
2
c y y y =
+，00c y =
20100c y y
L
θ-=，00c θ=
(12)
已知车辆驶入速度070/3.619.44m/s v ==，则各自由度的初始条件有： 0c x =，19.44m/s c x =
()012111cos 4c mg
y k k α⎛⎫=
-+ ⎪⎝⎭，00c y = (13)
()021111cos 2c mg L k k θα⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭
，00c θ=
=30α︒，00.009830m c y =，00.0008425rad c θ=-
3.2 车辆运动的微分方程求解
采用龙格库达法求解运动微分方程（4）（5）（7），利用Matlab 中的内置程序ode15s 进行求解，源程序如下：
function car2 clear; clc; m=10000; h=1.8; b=5;
c=8e4;
k2=8.5e5;
H=1.5;
L=5;
u=0.3;
g=9.8;
a=pi/6;
j=23533;
%龙格库达法
[T,Y] = ode15s(@fun,[0 5],[0.009830 0 0 19.44 -0.0008425 0])
%微分方程标准化
function dy=fun(t,y);
dy=zeros(6,1);
dy(1)=y(2);
dy(3)=y(4);
dy(5)=y(6);
dy(2)=1/m*(-2*c*y(2)-(k1+k2)*y(1)-L/2*(k2-k1)*y(5)+m*g*cos(a));
dy(4)=1/m*(-2*u*c*y(2)-u*(k1+k2)*y(1)-u*L/2*(k2-k1)*y(5)-m*g*sin(a));
dy(6)=1/j*(2*c*u*H*y(2)-c*L*L/2*y(6)+(L/2*(k1-k2)+u*H*(k1+k2))*y(1)+(u*L/2*H*(k2-k1)-L*L/4*(k1+k2))*y(5));
end
end
计算结果得到斜坡=30α︒时，车辆沿斜面行驶的距离为25.36m ，斜坡
=45α︒时，车辆沿斜面行驶的距离为20.98m ，车辆沿斜面位置随时间变化分别
如图9和图10所示。

车辆沿斜面距离/x c （m ）
时间/t （s ）
图9 车辆沿斜面位置随时间变化（=30α︒）
车辆沿斜面距离/x c （m ）
时间/t （s ）
图10 车辆沿斜面位置随时间变化（=45α︒）
3.3 车辆沿斜面的运动规律
采用for循环语句计算缓冲坡度为30︒和45︒时的车辆驶入速度与最小缓冲长度关系，源程序如下：
function car30
clear;
clc;
m=10000;
h=1.8;
b=5;
k1=5.5e5;
c=8e4;
k2=8.5e5;
H=1.5;
L=5;
u=0.3;
g=9.8;
a=pi/6;
j=23533;
v=0:1:200;
i=1;
for vx=v/3.6
% 龙格库达法
[T,Y] = ode15s(@fun,[0 5],[0.009830 0 0 vx -0.0008425 0]); y3max(i) =max(Y(:,3)); i=i+1; end
assignin('base','y3max',y3max) assignin('base','v',v) plot(v,y3max) %微分方程标准化 function dy=fun(t,y) dy=zeros(6,1); dy(1)=y(2); dy(3)=y(4); dy(5)=y(6);
dy(2)=1/m*(-2*c*y(2)-(k1+k2)*y(1)-L/2*(k2-k1)*y(5)+m*g*cos(a)); dy(4)=1/m*(-2*u*c*y(2)-u*(k1+k2)*y(1)-u*L/2*(k2-k1)*y(5)-m*g*sin(a));
dy(6)=1/j*(2*c*u*H*y(2)-c*L*L/2*y(6)+(L/2*(k1-k2)+u*H*(k1+k2))*y(1)+(u*L/2*H*(k2-k1)-L*L/4*(k1+k2))*y(5)); end end
计算结果得到斜坡=30α︒与=45α︒时，车辆驶入速度与最小缓冲长度关系曲线如图11和图12所示。

车辆沿斜面距离/x c （m ）
初始速度/v0（km/h ）
图11 车辆驶入速度与最小缓冲长度曲线（=30α︒）
车辆沿斜面距离/x c （m ）
初始速度/v0（km/h ）
图12 车辆驶入速度与最小缓冲长度曲线（=45α︒）
采用for 循环语句计算初始速度为70km/h 车辆最小缓冲长度与斜坡角度的关系，源程序如下：
function car50 clear; clc; m=10000;
h=1.8;
b=5;
k1=5.5e5;
c=8e4;
k2=8.5e5;
H=1.5;
L=5;
u=0.3;
g=9.8;
a=0:pi/180:pi/2;
j=23533;
v=70/3.6;
i=1;
for ax=a
[T,Y] = ode15s(@fun,[0 5],[0.009830 0 0 v -0.0008425 0]); y3max(i) =max(Y(:,3));
i=i+1;
end
assignin('base','y3max',y3max)
assignin('base','a',a)
plot(a,y3max)
%微分方程标准化
function dy=fun(t,y) dy=zeros(6,1); dy(1)=y(2); dy(3)=y(4); dy(5)=y(6);
dy(2)=1/m*(-2*c*y(2)-(k1+k2)*y(1)-L/2*(k2-k1)*y(5)+m*g*cos(ax)); dy(4)=1/m*(-2*u*c*y(2)-u*(k1+k2)*y(1)-u*L/2*(k2-k1)*y(5)-m*g*sin(ax));
dy(6)=1/j*(2*c*u*H*y(2)-c*L*L/2*y(6)+(L/2*(k1-k2)+u*H*(k1+k2))*y(1)+(u*L/2*H*(k2-k1)-L*L/4*(k1+k2))*y(5)); end end
计算结果得到初始速度为70km/h 时，车辆沿斜面最小缓冲距离与斜坡角度的关系曲线如图13所示。

车辆沿斜面缓冲距离/x c （m ）
斜坡角度/a （°）
图13 斜坡角度与车辆最小缓冲长度曲线（0=70km/s v ）
4.斜坡车辆缓冲距离结果验证
假设忽略车辆车轮的刚度与阻尼作用（刚体车辆），计算车辆在初始速度
0=70m/s v ，斜坡角度=30α︒下，车辆在斜坡上的缓冲距离。

图14 刚体车辆斜坡受力分析
+sin +cos =0c mx mg mg αμα (14)
沿斜坡自由度c x 初始条件如下：
=0c x ，=19.44m/s c x
(15)
初始速度0=70m/s v ，计算得到最小缓冲距离为25.38m 。

绘制不同车辆模型沿斜面最小缓冲距离与斜坡角度的关系曲线如图15所示。

结果表明，车辆的横向振动消耗能量极小，对缓冲距离的影响可以忽略。

车辆沿斜面缓冲距离/x c （m ）
斜坡角度/a （°）
图15 斜坡角度与车辆最小缓冲长度曲线（
0=70km/s
v）
5.结论
本文建立了斜坡行驶车辆的半车模型的运动学方程，采用龙格库达法对微分方程求解，结果表明：
（1）车辆最小缓冲距离随着初始速度的增加而增加，当速度足够大时，变化接近线性。

（2）车辆最小缓冲距离随着斜坡角度的增加而减小，而且随着角度增加，变化逐渐缓慢。

（3）通过相同初始条件下，刚体车辆与弹簧车辆缓冲距离的对比，可以看出车辆的横向振动消耗能量极小，对最小缓冲距离的影响可以忽略不计。

6.参考文献
[1] 倪振华. 振动力学[M]. 西安交通大学出版社+1989.
[2] 刘浩，韩晶. Matlab完全自学一本通[M]. 电子工业出版社2013.。