八年级数学整数指数幂和分式的加减法湘教版知识精讲

初二数学整数指数幂和分式的加减法湘教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
整数指数幂和分式的加减法
教学目标：
1. 知识与技能
（1）知道零指数幂和负整数指数幂的意义，会用它们的运算性质进行计算，能用科学记数法表示绝对值小于1的数。

（2）能进行分式的加减运算，会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。

2. 过程与方法
（1）运用从特殊到一般的认识规律发现零指数幂和负整数指数幂的性质。

（2）类比分数的加减法，探索出分式加减运算的方法。

3. 情感、态度与价值观
（1）在学习中感受转化的思想，体验发现规律的乐趣。

（2）在共同探究中养成周密的思维，体会数学的价值。

二. 重点、难点
重点：
（1）同底数幂的除法及其运算。

（2）分式的加减运算及其混合运算。

难点：
（1）对整数指数幂运算法则的理解。

（2）确定各分式的最简公分母。

知识要点归纳：
1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即
a a
a a m n m n m
n m n =≠>-()其中，、为正整数，0 2. 零次幂和负整数指数幂
（1）如果a ≠0，则a 0＝1
即：任何不等于零的数的零次幂都等于1。

（）（，为正整数）2110a a a
a n n n n -==≠() 即：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。

特别地：a a
a -=≠110() （3）强调：到现在为止，我们学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，所以幂的运算已经扩充到全体整数。

3. 整数指数幂的运算法则
（1）同底数幂相乘：
a a a a m n m n m n ⋅=≠+()0，、为整数
（2）幂的乘方：
()()a a a m n m n mn =≠0，、都为整数
（3）积的乘方：
()()ab a b a b n n n n =≠≠00，，为整数
（4）同底数幂相除：
a a a a m n m n m n ÷=≠-()0，、为整数
（5）商的乘方：
()()a b a b
b a n n n
n =≠≠00，，为整数 4. 科学记数法
（1）用科学记数可以把绝对值较小的数表示成：a ×10-n （1≤|a|<10，n 为正整数）的形式。

（2）确定n 的具体数值，通常从小数点往后至第一个不为零的数字上，所有零的个数，包括小数点前面的那个零。

5. 同分母的分式加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

即：
f g h g f h g
±=± 注意：分子相加时要注意将其作为一个整体进行加减，需要添括号的，一定要添加。

6. 异分母的分式加减法
异分母的分式相加减，要先通分，化成同分母的分式，然后再加减。

即：
f g u v fv gv gu gv fv gu gv
±=±=± 7. 分式的通分
（1）把n 个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫通分。

（2）通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母。

（3）通分时，最简公分母由如下方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数。

②最简公分母的字母（或含字母的式子），取各分母所有字母的最高次幂的积。

③如果分母是多项式，则应对多项式进行因式分解后，再按上面的方法求出各分母的最简公分母。

8. 分式的混合运算
（1）正确运用运算法则。

（2）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号则应先去括号。

（3）巧用运算律，即交换律、结合律、分配律。

（4）运算结果必须是最简分式。

9. 通分与约分的区别与联系
联系：通分与约分的理论依据都是分式的基本性质，它们是对分式的基本性质的不同运用，二者是一个互为逆运算的过程。

区别：通分是把分式的分子、分母都乘以同一个不等于零的整式，使分式的值不变。

约分是把分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，使分式的值不变。

10. 异分母的分式加减法的一般步骤：
（1）通分，将异分母分式化成同分母的分式。

（2）写成“分母不变，分子相加减”的形式。

（3）分子去括号，合并同类项。

（4）分子，分母约分，将结果化成最简分式或整式。

11. 通分时要注意的事项：
（1）若分母的系数不是整数时，应先利用分式的基本性质将其化为整数，再求系数的最小公倍数。

（2）分母的系数若为负数时，应利用分式的符号法则把负号放到分式前面。

（3）分母是多项式时，先把字母按某一字母顺序排列，然后进行因式分解，再确定最简公分母。

【典型例题】
基础知识题
例1. 计算下列各题：
（）193x x ÷-()
（）27632()()()()x y y x x y x y -÷-+--÷+
（）3053232311200523
2004200302(.)()()()⨯⨯-⨯++-- 解：（1）此题的两个幂的底数仅相差一个符号，将这样的非同底数幂化为同底数幂通常用到以下两式，一是互为相反数的同偶次方相等，即(-a)2n ＝a 2n （n 为整数），二是互为相反数的同奇次方互为相反数，即(-a)2n+1＝-a 2n+1（n 是整数）。

因此此题可考虑将底数变成相同的数，再运用法则进行运算，计算过程如下： x x x x x x x x 939393936÷-=÷-=-÷=-=--()()
（2）此题中的底数x －y 与y －x ，－x －y 与x ＋y 均不相同，可考虑前者交换位置，后者提取负号，然后利用同底数幂的除法法则进行运算，其解法如下：
解：原式=-÷-+-+÷+()()[()]()x y x y x y x y 7632
=-÷--+÷+()()()()x y x y x y x y 7632
=--+()()x y x y
=---x y x y
=-2y
（3）原式=⨯⨯-++-()()()12113611132
200420032 =⨯-++()()116611194
20042003 =⨯-⨯+[()]116611116134
2003
=-⨯
+()11161342003 =-+116134 =-+22123912 =-1712
方法点拨：（）在进行运算时，首先要将底数中1(.)()0532
32311
20042003⨯⨯-⨯的小数和带分数化成假分数，再就是不要先运用积的乘方运算，即：
()()()()121132311
2004200420032003⨯⨯-⨯ 这样，运算显然繁杂很多，因此此题巧妙地将积的乘方逆过来用，使计算大大简化了许多。

（2）在进行零指数幂的运算时，要切记底数不能为零，除零以外的任何数的零次幂为1。

（3）在进行负整数指数幂运算时，如果底数是分数，通常将其分子和分母颠倒位置，
再把负指数改为正指数，即此题中的可转化为。

()()---2332
22
例2. 若－＝－×10x ，求x 。

分析：绝对值小于或等于1的数都可用科学记数法表示为a ×10-n （1≤|a|<0）的形式，再根据“底数相同的两个等幂，指数必相等”的性质，即可得到解答。

解： -=-⨯-000010351035104..
又 -=-⨯00001035103510..x
∴-⨯=-⨯-1035101035104..x
即10104-=x
∴x ＝－4
例3. 计算：
16416434922x y x y x y x
--+-- 分析：此题应先确定最简公分母，然后通分把这三个分式化成同分母分式，再利用同分母分式相加减的法则进行计算。

在确定最简公分母前，分母要按同一个字母的降幂排列，且最高次项为负数的要提取负号化为正数，分母是多项式的要先分解因式。

解：原式=--+++-1232123233232()()()()
x y x y x x y x y =+-+---+++-32232323223232623232x y x y x y x y x y x y x x y x y ()()()()()()
=+--+-+()()()()
3232623232x y x y x x y x y =++-6423232x y x y x y ()() =++-23223232()()()
x y x y x y =
-132x y
例4. 计算：
()x x x x x x x x +----+÷-22144
422 分析：这是一道分式的混合运算，顺序与分数混合运算的顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，遇有括号的，先算括号内的，如果能用交换律、结合律、分配律进行简便运算的则用它们进行简便运算。

解：原式=+----⋅--[()()]()
x x x x x x x 221242 =+-----⋅--[()()()()()]()
x x x x x x x x x x 22212422 =+----⋅--()()()()
()x x x x x x x x 221242 =--+-⋅--x x x x x x x 222424()
() =---⋅-x x x x x 424
2() =-
-122()x =--+144
2x x
创新提高题
例5. 已知，求的值。

xyz x xy x y yz y z zx z =++++++++1111
分析：此题可巧妙地利用已知条件，将所求分式中第一个分式
xyz =1x xy x ++1
中的1换成xyz 。

即为： x xy x xyz x yz y ++=++1 此时它的分母与第二个分式中的分母相同，再将第三个分式11
yz y ++11
zx z y ++的分子分母同乘以得： zy xyz yz y yz yz y ++=++1
所得分式的分母也与第二个分式的分母相同，于是我们将原式中的三个分式巧妙地转化为同分母的分式，从而轻而易举地达到了通分的目的。

解：∵xyz ＝1
∴=++++++++原式x xy x xyz y yz y yz xyz yz y
1 =++++++++1111
yz y y yz y yz yz y =
++++yz y yz y 11 ＝1
例6. 化简：
11112123199100a a a a a a a -+--+--++--()()()()()()
分析：观察本题，若通过通分化简是不可能的，注意到每一项分母中的两个因式相差1，于是可根据
，采用裂项法达到简化运算的目的。

11111n n n n ()+=-+ 解：原式=-+---+---++---11121113121100199a a a a a a a ()()() =
-1100
a 【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 填空题
1. 分式1111232234
x y x y xy x ，，，的最简公分母是__________ 2. 分式53232332
22x a a b y b a b z a b
()()+--，，的最简公分母是___________ 3. a b ab +=-=12，，则
11a b +=___________ 4. 已知y x y z ==3234
，，则22xy yz yz xy +-=__________ 5. 若m x n x x x x -++=-+-21812()()
，则mn ＝_________ 6. ()()a b a b +÷
=+52 7. ()242364524x y x y x y +÷=_________
8. ()()x x 3222÷=_________
9. ()()1
3310-+=____________
二. 选择题
1. 计算()230-
+π的结果是（） A.
23-+π B. 32--π C. 0 D. 1
2. 用科学记数法表示的数-⨯-24104.写成小数是（）
C. -0.00024
D. -24000 3. 当a<0时，化简
||a a a -的结果是（） A. 0 B. 1
C. -1
D. -2 4. 设xy x y =-≠0，则11x y
-的值等于（） A. 1xy B. y －x
C. -1
D. 1 5. 化简：232233946y z yz z x zx x y xy
-+-+-得到（）
A. 0
B. 单项式
C. 一次二项式
D. 不为0的分式 6. 已知x y y z +=+=9393，，则z x
+9等于（） A. 9 B. 1
C. 3
D. -3
三. 计算下列各题
1. m n n m n m n n m ++-+-242442222
2. ()()a a b b b a ab a b a b
+----÷-21122 3. ()()()-⋅-÷-x y y x
z xy 3
22234
四. 先化简，再求值
()()()a a a a a a a a a 2243232413212-++÷-+-⋅+，其中a =-23
五. 计算
()()()()()()x x x x x x x x x x
x ++++⨯+-11111122448816162
【试题答案】
一. 1. 2x 3y 4
2. 33ab a b a b ()()+-
3. 解：111212
a b a b ab +=+=-=- 4. 解： y x x y =∴=3223
， 又 y z z y =∴=3443
， ∴+-=⋅⋅+⋅⋅⋅-⋅222234324323
xy yz yz xy y y y y y y y y =+-=+-===43
438323
43438323836386432222y y y y
5. m x n x x x x -++=-+-21812()() ∴++--+=-+-m x n x x x x x x ()()()()()()
1221812 ∴++-=-m x n x x ()()128
即mx m nx n x ++-=-28
()()m n x m n x ++-=-28
∴+=-=-⎧⎨⎩m n m n 128
∴=-=⎧⎨⎩
m n 23 ∴=-⨯=-mn 236
6. ()a b +3
7. xy x y 222+
8. x 2
9. 4
二. 1. D
2. C
3. D
4. C
5. A
6. C
三. 1. m n n m n m n n m
++-+-242442222 =++---+m n n m n m n m n m n 24242222()() =+-+-+++--+-()()()()()()()()()m n m n m n m n n m n m n m n m n m n m n 22224222422222 =-+-+-++-+-m m n m n mn n m n mn n m n m n m n 3222232322484848422()() =-+-m m n m n m n 32222()() =-+-m m n m n m n 2222()()()
=+m m n
2
2 2. ()()a a b b b a ab a b a b +----÷-21122 =++--+-÷-[()()]()a a b b a b ab a b a b b a ab 2 =-++-+-÷--a a b b a b ab a b a b a b ab
()()()()()2 =-+-⋅--()()()()a b a b a b ab a b
2 =-+ab a b
3. ()()()-⋅-÷-x y y x
z xy 3
22234 =⋅-÷x y y x z x y
64364
44() =-⋅⋅=-=-x y y x x y z
x y x y z
x y z
643644
4107
64443
4
四. ()()()a a a a a a a a a 2243232
41321
2-++÷-+-⋅+ =+-++÷-+-++⋅+()()()()()a a a a a a a a a a a a 2213211222222 =+-++⋅-++--⋅+()()()()()()a a a a a a a a a a a a 22111122
2222
＝1
五. ()()()()()()x x x x x x x x x x
x +++++-11111122448816162
word
11 / 11 =-+++++--()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x x x
1111111122448816162 =
-++++--()()()()()()x x x x x x x x x x x x x
22224488161621111111
=
=---=-()()
x x x x x x x 323223331
1
11
1。