《图形的染色与切割》配套练习题

《图形的染色与切割》配套练习题
一、解答题
1、将14个棱长为1的正方体摆在课桌上成如图所示的形状，然后把露出的表面都涂上红色，则被涂上红色部分的面积是多少？
2、把一个长9厘米，宽7厘米，高5厘米的长方体表面全部涂上绿色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体．在这些小正方体中，只有一面涂色的有多少块？只有两面涂色的有多少块？
3、一个正方体，在它的每个面上都涂上红色．再把它切成棱长是1厘米的小正方体．已知两面涂色的小正方体有24个，大正方体的棱长是多少厘米？
4、把一个长8厘米，宽6厘米，高1厘米的长方体表面全部涂上绿色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体．只有两面涂色的有多少块？
5、将长、宽、高分别为5、5、3的长方体的五个面染上红色，另一个面染上黄色，然后切成棱长为1的单位小正方体，那么只染了一种颜色的小正方体最多有多少块？
6、棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13∶12，此时m的最小值是多少？
7、有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
8、三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
答案部分
一、解答题
1、
【正确答案】：33
【答案解析】：（1＋2＋3）×4＋3×3＝33
【答疑编号10299113】
2、
【正确答案】：71；60
【答案解析】：[（9－2）×（7－2）＋（9－2）×（5－2）＋（7－2）×（5－2）]×2＝71（块）（9－2）×4＋（7－2）×4＋（5－2）×4＝60（块）
【答疑编号10299116】
3、
【正确答案】：4
【答案解析】：24÷12＋2＝4（厘米）
【答疑编号10299119】
4、
【正确答案】：24
【答案解析】：（8－2）×（6－2）＝24（块）
【答疑编号10299122】
5、
【正确答案】：54
【答案解析】：染色的小正方体一共有：66块。

染黄色的面是5×5时，染两个颜色的共有：5×4－4＝16（块）。

染黄色的面是5×3时，染两个颜色的共有：5×2＋3×2－4＝12（块）。

所以只染一种颜色的最多有：66－12＝54（块）。

【答疑编号10299125】
6、
【正确答案】：5
【答案解析】：
切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13∶12，而13＋12＝25，所以小正方体的总数是25的倍数，即m3是25的倍数，那么m是5的倍数．
当m＝5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，
可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，
此时至少一面涂红色的小正方体有5×5＋5×4×2＝65个，
表面没有红色的小正方体有125－65＝60个，个数比恰好是13∶12，
符合题意.因此，m的最小值是5．
【答疑编号10299128】
7、
【正确答案】：74
【答案解析】：
要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（4－2）3＝8（个），用黑色的；
在面上但不在边上的小正方体有（4－2）2×6＝24（个），其中30－8＝22个用黑色．
这样，在表面的4×4×6＝96个1×1的正方形中，有22个是黑色，96－22＝74（个）是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．
【答疑编号10299131】
8、
【正确答案】：307
【答案解析】：每个长方体的棱长和是288÷3＝96厘米，
所以，每个长方体长、宽、高的和是96÷4＝24厘米．
因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，
所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．
要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．
所以，涂一面的长方体应涂一个8×7面，有8×7＝56个；
涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8×7面，有8×7×2＝112个；
若两面相邻，应涂一个8×7面和一个9×7面，
此时有7×（8＋9－2）＝105个，
所以涂两面的最少有105个；
涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8×7面、一个9×7面，
有7×（8＋8＋9－4）＝147个；
若三面两两相邻，有
（7－1）×（8－1）＋（7－1）×（9－1）＋（8－1）×（9－1）＝146个，
所以涂三面的最少有146个．
那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56＋105＋146＝307个．
【答疑编号10299134】。