人教A版高中必修二试题1-3-2球的体积和表面积

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第1章 1.3.2
一、选择题
1．两个球的体积之比为8∶27，则它的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．1∶2
D ．1∶3
[答案] B
[解析] 由体积比知半径之比为2∶3， ∴面积之比为4∶9，故选B.
2．两个球的体积之和是12π，大圆周长之和是6π，则两球半径之差是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D.3
2
[答案] A
[解析] 设两球半径为r 2，r 1，r 2>r 1，则 4π3(r 32＋r 3
1
)＝12π，2π(r 2＋r 1)＝6π 解得r 1＝1，r 2＝2，∴r 2－r 1＝1，故选A.
3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π [答案] C
[解析] 设正四棱柱底面边长为a ，则S 底＝a 2， ∴V ＝S 底·h ＝4a 2＝16，∴a ＝2.
又正四棱柱内接于球，设球半径为R ，则(2R )2＝22＋22＋42＝24，∴R ＝6，∴球的表
面积为4πR 2＝24π.
4． 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A.40003cm 3
B.80003cm 3
C ．2000cm 3
D ．4000cm 3
[答案] B
[解析] 由俯视图知此几何体的底面为一个边长为20的正方形，结合正视图、侧视图知，此几何体为四棱锥，高为20，所以其体积为13×20×20×20＝80003
cm 3
，故选B.
5．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( ) A ．2 B. 2 C.3
2
D.12
3
4 [答案] C
[解析] 设大球半径为r ，则43πr 3＝2×4π
3，
∴r ＝3
2，故选C.
6．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )
A ．2∶1
B ．2∶3
C ．2∶π
D ．2∶5
[答案] A
[解析] 13πr 2h ＝43πr 3×1
2
∴h ＝2r ，故选A.
7．湖面上漂着一个球，湖面结冰后将球取出，冰面上留下了一个面直径为24，深为8的空穴，则球的半径为( )
A ．8
B ．12
C ．13
D ．8 2
[答案] C
[解析] 122＋(R －8)2＝R 2，∴R ＝13.故选C.
8．( 已知正方体的外接球的体积为32
3π，则该正方体的表面积为( )
A.433
B.163
C.64
3
D ．32
[答案] D
[解析] 设球半径为R ，内接正方体棱长为a ，则4π3R 3＝32π
3，∴R ＝2，
又3a 2＝(2R )2，∴a 2＝16
3
，∴V 正方体＝6a 2＝32.
9．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.9
2π
B.7
2
π
C.5
2
π
D.32
π [答案] D
[解析] 本题是旋转问题．．．．，考查锥体的体积公式和空间想像能力．如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD 与圆锥BD 体积之差．
在△ABD 中，AB ＝2，∠ABD ＝60°， ∴BD ＝1，AD ＝3，
∴V ＝V 1－V 2＝13×π×(3)2×(1＋1.5)－13×π×(3)2×1＝3π2
.
10．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π [答案] D
[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题．．．．．，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为
2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π. 二、填空题
11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为________． [答案] 3
[解析] 4
3
πR 3＝4πR 2 ∴R ＝3.
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为________．
[答案] 14π
[解析] 球的直径d ＝12＋22＋32＝14， r ＝d
2
，S ＝4πr 2＝14π. 13．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．
[答案]
4π3
[解析] 如图所示的正六棱柱内接于球，则球心O 在体对角线AD ′上，
∵正六边形周长为3， ∴其边长为1
2，∴AD ＝1，
又DD ′＝3，
∴AD ′＝AD 2＋DD ′2＝2， ∴球的体积V ＝4π3·⎝⎛⎭
⎫AD ′23
＝4π3
. 14． 已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的体积为________，其外接球的表面积为________．
[答案] 2
3
6π
[解析] 由俯视图知，四棱锥底面为边长为1的正方形，由正视图与侧视图知，该四棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×2＝2
3，其外接球的直径为2R ＝12＋12＋22＝6，∴表面
积为4πR 2＝4π×⎝⎛
⎭
⎫622
＝6π. 三、解答题
*15.在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2.求球的表面积．
[解析] 如图为球的过球心的截面，由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2，设球的半径为R .
∵π·O 2B 2＝49π，∴O 2B ＝7cm ， 同理πO 1A 2＝400π，∴O 1A ＝20cm. 设OO 1＝x cm ，则OO 2＝(x ＋9)cm. 在Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋202， 在Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72， ∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2，解得x ＝15， ∴R 2＝x 2＋202＝252，∴R ＝25cm. ∴S 球＝4πR 2＝2 500πcm.
∴球的表面积为2 500πcm 2.
16．一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24.求长方体外接球的表面积． [解析] 设长方体长、高、宽分别为x 、y 、z ，则由已知条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧
xy ＋yz ＋zx ＝1124(x ＋y ＋z )＝24
，即⎩⎪⎨⎪⎧
2xy ＋2yz ＋2xz ＝11 ①
x ＋y ＋z ＝6 ②
将②式两边平方与①式两边分别相减得，x 2＋y 2＋z 2＝25， ∴长方体体对角线长为x 2＋y 2＋z 2＝5， ∴外接球半径r ＝5
2
，面积为4πr 2＝25π.
17．体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小． [解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.
由题意知，4
3πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，
∴R ＝334πa ，r ＝312π
a ，
∴S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2
，
S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2
，
∴S 2<S 3.
又6a 2>332πa 2＝3
54πa 2，即S 1>S 3. ∴S 1、S 2、S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1.
18．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为h cm ，半径为r cm.试管的容量为108π cm 3，半球部分容量为全试管容量的1
6
.
(1)求r 和h ；
(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm 处，求水的体积． [解析] (1)∵半球部分容量为全试管容量的1
6，
∴半球部分与圆柱体部分容量比为1
5，
即15＝43
πr 3×
12πr 2×h
∴h ＝103r ，43πr 3×12＝108π×16
∴r ＝3(cm)，h ＝10(cm)． (2)V ＝43πr 3×1
2＋πr 2×(h －4)
＝43π×33×1
2
＋π×32×6＝72π(cm 3)．。