2019高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明 第3课时 简单的线性规划练习 理

第3课时 简单的线性规划
1．(2018·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3)
答案 C
解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为(
)
答案 B
解析 方法一：可转化为①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，
x －y ＋4≥0.
由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．
方法二：原不等式可转化为③⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，
－x ＋y －4≤0.
两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.
3．(2017·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥0，
x ＋2y －2≥0，
x ≤0，y ≤3，
则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )
A.2
3 B ．1 C.32 D ．3
答案 D
解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．
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4．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值
范围是( ) A ．(－∞，4
3)
B ．(－∞，1
3)
C ．(－∞，－2
3)
D ．(－∞，－5
3
)
答案 C
解析 作出可行域如图．
图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝12x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m)在y ＝1
2x －1
下方，也就是m<－12m －1，即m<－2
3
.
5．(2016·北京，理)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
答案 C
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x ≥0
表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，
由⎩⎪⎨
⎪
⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A(1，2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选
C.
3
6．(2018·西安四校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )
A ．－7
B ．－4
C ．1
D ．2
答案 A
解析 画出由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，
如图所示，得它们的交点分别为A(2，0)，B(5，3)，C(1，3)．
可知z ＝y －2x 过点B(5，3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.
7．(2017·贵阳监测)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )
A ．[5
3，5]
B ．[0，5]
C ．[5
3，5)
D ．[－5
3
，5)
答案 D
解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×
2
3－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－5
3
，5)．
8．(2017·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y|的最大值为( )
A ．10
B ．8
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C ．6
D ．4
答案 B
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，
所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
当平移直线x －3y ＝0过点A 时，m ＝x －3y 取最大值； 当平移直线x －3y ＝0过点C 时，m ＝x －3y 取最小值．
由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以m max ＝－2－3×(－2)＝4，m min ＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即z max ＝8.
9．(2014·安徽，理)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为( ) A.1
2或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
答案 D
解析 作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．
如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
10．(2015·福建)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 C
解析 如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2即y ＝2x －2时，画出⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，
x －2y ＋2≥0，表示的区域，由于mx
5
－y≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A(2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A(2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝
1.
11．(2017·泉州质检)已知O 为坐标原点，A(1，2)，点P 的坐标(x ，y)满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋|y|≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP
→
的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
答案 D
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，z ＝OA →·OP →
＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，显然当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，且z max ＝2.故选D.
12．已知实数x ，y 满足条件⎩
⎪⎨⎪⎧（x －3）2
＋（y －2）2
≤1，x －y －1≥0，则z ＝y
x －2的最小值为( )
A ．3＋ 2
B ．2＋ 2 C.3
4 D.43
答案 C
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z ＝y x －2＝y －0
x －2表示在可
行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z ＝
y x －2的最小值，设切线方程为y ＝k(x －2)，则A 到切线的距离为1，故1＝|k －2|1＋k
2
.解得k ＝34
.
13．(2018·苏州市高三一诊)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y≥0，x －y≥0，2x －y －2≤0，则使得z ＝2y －3x 取得最小值的最优解是( )
A ．(1，0)
B ．(0，－2)
C ．(0，0)
D ．(2，2)
答案 A
解析 约束条件所表示的可行域为三角形，其三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，0)，(2，2)，将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z ＝2y －
3x
中，易得在(1，0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1，0)．
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14．(2018·湖北宜昌市)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y －x≤1，x ＋y≤3，y ≥m ，若z ＝x ＋3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m
＝( ) A.3
2 B ．－32
C.14 D ．－14
答案 C
解析 作出不等式组表示的平面区域(图略)，由图易得目标函数z ＝x ＋3y 在点(1，2)处取得最大值；z max ＝1＋3×2＝7，在点(m －1，m)处取得最小值，z min ＝m －1＋3m ＝4m －1.又由题知7－(4m －1)＝7，解得m ＝1
4，故
选C.
15．(2018·兰州模拟)已知M(－4，0)，N(0，－3)，P(x ，y)的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x≥0，y ≥0，3x ＋4y≤12，则△PMN 面积的
取值范围是( ) A ．[12，24] B ．[12，25] C ．[6，12] D ．[6，25
2]
答案 C
解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x≥0，y ≥0，3x ＋4y≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M(－4，0)，N(0，－3)的直线
的方程为3x ＋4y ＋12＝0，而它与直线3x ＋4y ＝12平行，其距离d ＝|12＋12|32＋42
＝24
5，所以当P 点在原点O 处时，△PMN 的面积最小，其面积为△OMN 的面积，此时S △OMN ＝1
2×3×4＝6；当P 点在线段AB 上时，△PMN 的面积
最大，为12×32
＋42
×245
＝12，故选C.
16．(2017·陕西质检一)点(x ，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z ＝(x －2)2＋(y －2)2
，则Z 的最小值为________． 答案 92
解析 |x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，
7
目标函数Z ＝(x －2)2
＋(y －2)2
的几何意义是点(x ，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P(2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(|2＋2－1|2
)2＝92.
17．已知整数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x
·(12)y 的最小值为________．
答案
1
16
解析 z ＝4－x ·(12)y ＝2－2x ·2－y ＝2－2x －y
.设m ＝－2x －y ，要使z 最小，则只需m 最小．作
出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由m ＝－2x －y 得y ＝－2x －m ，平
移可知当直线y ＝－2x －m 经过点B 时，m 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即B(1，2)，此时m ＝－2－2＝－4，所以z ＝4－x ·(12)y 的最小值为2－4
＝116
.
18．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2
与3 m 2
.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？ 答案 A ，B 两种金属板各取5张．
解析 设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ， 则约束条件为⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x ，y ∈
N ，目标函数z ＝2x ＋3y.
作出不等式组的可行域，如图所示．
将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z
3，且随z 变化的一组平行直线．
当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，
3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5，5)．
此时z min ＝2×5＋3×5＝25.
所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．
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1．(2018·兰州市高考诊断考试)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，则x 2＋y 2
的最小值是( )
A.32
2
B.9
2 C. 5 D ．2 5
答案 B
解析 约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离．∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为
32＝
322，∴x 2＋y 2
的最小值为92
. 2．(课本习题改编)不等式x －2y ＋6>0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．左下方 B ．左上方 C ．右下方 D ．右上方
答案 C
解析 画出直线及区域范围，如：当B<0时，Ax ＋By ＋C>0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方区域；Ax ＋By ＋C<0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方区域．故选C.
3．(2014·安徽，文)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．
答案
4
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，
x ＋2y －4＝0，得A(8，－2)． 由x ＋y －2＝0，得B(0，2)．又|CD|＝2， 故S 阴影＝12×2×2＋1
2
×2×2＝4.
4．(2016·课标全国Ⅲ，理)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x －2y≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．
答案 3
2
9
解析 约束条件对应的平面区域是以点(1，1
2)、(0，1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z
经过点(1，12)时，z 取得最大值3
2
.
5．(2017·沈阳质检)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，的平面点集中随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0<2x 0”，
那么事件A 发生的概率是( ) A.1
4 B.3
4 C.13 D.23
答案 B
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≤0，y ≥0，表示的平面区域的面积为1
2×(1＋3)×2＝4；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，y ≤2x ，
表示的平
面区域的面积为12×3×2＝3，因此所求的概率等于3
4
，选B.
6．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 C ．17万元 D ．18万元
答案 D
解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，则利润z ＝3x ＋4y.
由题意可列⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，
x ≥0，y ≥0，其表示如图阴影部分区域：.当直线3x ＋4y －z ＝0过点A(2，3)时，z 取得最大值，
所以z max ＝3×2＋4×3＝18，故选D 项．
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7．(2015·安徽，文)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )
A ．－1
B ．－2
C ．－5
D ．1
答案 A
解析 作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(1，1)处，z 取得最大值，故z max ＝－2×1＋1＝－
1.
8．(2016·课标全国Ⅱ，文)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．
答案 －5
解析 通性通法：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －1
2z ，作直
线y ＝1
2x 并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5.
光速解法：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5. 9．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，
目标函数
z ＝y －ax(a∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)
解析 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别
为(1，3)，(7，9)，(3，1)，所以⎩
⎪⎨⎪
⎧3－a>9－7a ，3－a>1－3a.所以
a>1.
11 10．(2018·安徽安庆模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2x≤－2，y ≥1，x ＋y≤4，
则z ＝x 2＋y 2xy 的取值范围是________． 答案 [2，103
] 解析 因为z ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ，所以令k ＝y x ，则z ＝k ＋1k
，其中k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率．根据不等式组画出可行域，则A(2，2)，B(3，1)，C(32，1)，如图．由图形可知，13≤k ≤1，根据函数z ＝1k ＋k 的单调性得2≤z≤103.所以z∈[2，103]．。