SXA262高考数学必修_反函数常考题型6

反函数常考题型例析
一、 求反函数
例1、 函数)24(log 2++=x y )0(>x 的反函数是（ ）
)(A -=x y 412+x )2(>x )(B -=x y 412+x )1(>x )(C -=x y 422+x )2(>x )(D -=x
y 422+x )1(>x 解析：由0>x 知424>++x ，)24(log 2++=x y 2>，由)
24(log 2++=x y 得y x 224=++，224+-=y y x ，所以所求反函数为-=x y 422+x )2(>x 。

例2、 函数1)(-=x x x f 的反函数)(1x f -=＿＿＿＿。

解析：由题意知1≠x ，设1
111-+=-=x x x y ，（1≠y ）所以111-=-x y ，即111+-=y x ，所以1-=x x y ，所以反函数)(1x f -1
-=x x （1≠x ）。

点评：上述两题主要考查了反函数的概念及求法。

当函数的反函数存在时，反函数求解步骤一般有三步：
⑴由)(x f y =，解出)(1y f
x -=；⑵将)(1y f x -=中x 、y 互换位置得到=y )(1x f -；⑶写出=y )(1x f -的定义域。

即“一解”“二换”“三写”。

但写反函数的定义域时，要求写原函数的值域。

二、 求字母的值或取值范围
例3、 已知函数a x y -=2的反函数是3+=bx y ，则=a ＿＿；=b ＿＿。

解析：函数a x y -=2的反函数是a x y 2121+=，由对应系数相等可知=a 6；=b 21。

例4、 设函数)(log )(b x x f a += )1,0(≠>a a 且的图像过点2(，)1，其反函数图
像过点2(，)8，则=+b a （ ）
)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 3
解析：因为函数)(log )(b x x f a += )1,0(≠>a a 且的图像过点2(，)1，所以1)2(log =+b a ，又因为它的反函数图像过点2(，)8，所以原函数的图像过8(，)2，所
以2)8(log =+b a 。

所以有⎩⎨⎧+=+=b
a b a 822，又由1,0≠>a a 且，得⎩⎨⎧==13b a 。

故选)(C 。

点评：本题主要考查了反函数的概念、图像之间的关系。

解题的关键是抓住原函数的图像过点m (，)n ，则它的反函数图像过点n (，)m 这一关系，列方程组求a 、b 的值。

三、 利用互为反函数的关系求函数定义域及函数值
例5、 函数x
x f 3)(= )20(≤<x 的反函数的定义域为（ ） )(A 0(，)∞+ )(B 1(，]9 )(C 0(，)1 )(D 9[，)∞+
解析：由20≤<x 可得931≤<x ，原函数的值域为{}91≤<y y 。

而原函数与反函数的定义域和值域互换，所以反函数的定义域为1(，]9。

故选)(B 。

点评：求反函数的定义域时一般不求这个函数的反函数，而是直接求原函数的值域。

值得提醒的是如果我们求出原函数的反函数，而反函数的自然定义域并不对。

如函数x y =的反函数为2x y =，但反函数的定义域就不是R ，而是{}0≥x x 。

例6、 设函数⎩⎨⎧≤>+-=-)4(2)4()1(log )(43x x x x f x 的反函数为)(1x f -，且a f =-)8
1(1，则=+)7(a f （ ）
)(A 2- )(B 1- )(C 1 )(D 2
解析：当4>x 时，05log )1(log )(33<-<+-=x x f ；当4≤x 时，42)(0-=<x x f
1≤。

又因为a f =-)81(1，所以081)(>=a f ，因此8
124=-a ，所以1=a ，所以=+)7(a f 2)18(log )8(3-=+-=f 。

故选)(A 。

点评：本题不必要通过求反函数，将8
1=x 代入反函数中，求得a 的值，再将7+a 代入原函数中求得)7(+a f 的值。

解决问题的关键是抓住互为反函数间的关系：
)(n f m =⇔ n m f =-)(1。

另外需要注意的是：在解决分段函数问题时，一定要根据函数的表达式分析相应的值域情况。

四、 互为反函数图像间的关系
例7、 函数x
a y +=1 )10(<<a 的反函数图像大致是（ ）
解析：画出函数x
a y +=1 )10(<<a 的图像如右下图所示，因为反函数的图像与原函数的图像关于x y =对称，可以得到它的反函数的图像的形状，因
此选)(C 。

点评：本题考查了互为反函数间的图像的对称关系。

也可以求
出原函数的反函数，再画出图像。

例8、 若函数)(x f y =的反函数图像过点1(，)5，则函数)(x f y =的图像必过点（ ）
)(A 1(，)1 )(B 1(，)5 )(C 5(,)1 )(D 5(,)5
解析：由互为反函数间的图像是关于x y =对称的，所以点1(，)5关于x y =对称的点5(,)1必在反函数图像上。

故选)(C 。

五、 分段函数的反函数
例9、求函数⎩⎨⎧<≤-≤≤-=)01()10(122x x
x x y 的反函数。

解析：当10≤≤x 时，易得12-=x y 的反函数是1+=y x )01(≤≤-y ，故1+=x y )01(≤≤-x ；当01<≤-x 时，易得2x y =的反函数是y x -= )10(≤<y ，故x y -= （10≤<x ）。

故函数)(x f 的反函数是⎩⎨⎧≤<-≤≤-+=-)10()01(1)(1x x
x x x f 。

点评：分段函数是一个函数而不是几个函数，分段函数的反函数仍是分段函数，要分段来求。

一般是把各段上的函数看成独立的函数，分别求出它们的反函数，但结果必须合并为一个函数。

学生容易犯的错误是把它的反函数写成两个函数。

六、 抽象函数的反函数
例10、已知)(x f y =的反函数为=y )(1x f -，求函数)2(32x f y ++=的反函数。

解析：因为函数)(x f y =的反函数为=y )(1x f -，所以由)2(32x f y ++=得
32)2(-=
+y x f ，即)32(21-=+-y f x ，即2)3
2(1--=-y f x 。

故所求的反函数为2)32(1--=-x f y 。

点评：求解类似于这样的抽象函数的反函数的关键在于对反函数的理解。

七、 对反函数的单调性的考查
例11、已知函数)(x f y =和其反函数=y )(1x f
-的定义域都为0(，)∞+，且)(x f 是0(，)∞+上的增函数，则1-f )1(和)3(1-f 的大小关系是＿＿.
解析：由)(x f y =与)(1x f
y -=关于直线x y =对称，又)(x f y =在0(，)∞+上为增函数，所以=y )(1x f -在0(，)∞+上也为增函数。

所以1-f
)1(<)3(1-f 。

例12、已知函数22)(2+-=x x x f )1(≤x ，又函数)(x g 的图像与函数)(x f 的图像
关于直线x y =对称，则函数)(x g （ ）
)(A 在-∞(，]1上是减函数，图像经过一、二象限
)(B 在1[，)∞+上是增函数，图像经过一、四象限
)(C 在1[，)∞+上是减函数，图像经过三、二象限
)(D 在1[，)∞+上是减函数，图像经过一、四象限
解析：因为22)(2
+-=x x x f 1)1(2+-=x ，∈x -∞(，]1，所以)(x f 在-∞(，]1上是减函数，图像经过一、二象限且∈)(x f 1[，)∞+。

又因为函数)(x g 的图像与函数)(x f 的图像关于直线x y =对称，所以)(x g 在1[，)∞+上是减函数，图像经过一、四象限。

点评：本题考查的是反函数的单调性。

这里没求反函数，而是利用了互为反函数的单调性在相应区间上相同，只需判断原函数的单调性即可。