东南大学电路基础课件4
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应用欧姆定律消 去支路电压得
回路3
R2i2 R3i3 R1i1 0
R4i4 R5i5 R3i3 0
R i u
k k
Sk
④求解上述方程，得到b个支路电流。 ⑤进一步计算支路电压和进行其他分析。
R6
R1i1 R5i5 R6i6 uS
（2）支路电流法的特点： 支路电流法列写的是 KCL 和 KVL 方程， 所以 方程列写方便、直观，但方程数较多（b个），宜 于在支路数不多的情况下使用。
i2
R2i2 R3i3 R1i1 0
R4i4 R5i5 R3i3 0
注意 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。
R1i1 R5i5 R6i6 uS
假设回路电流:il1, il2, il3 R2 1 R1 i1 3 R6 + u – S i3 R3 R5 i6 R4 2 i4 i5 用回路电流表示支路电流：
u1 u2 u6
u 2 u 3 u5 0
u 4 u5 u 6 0
3 4
6
1 3 2 4 5 3
u 2 u 3 u5 0 u 4 u5 u 6 0
注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进行
加、减运算可以得到其他回路的KVL方程。 如1254回路： 1 - 2
结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，
图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
(2)路径
从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。
(1)图(Graph)
G={支路，结点}
(3)连通图
图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
4 6 3 3 3
结论 基本(独立)回路的数目是一定的，为连支数。
l bl b (n 1)
结点、支路和 基本回路关系
b n l 1
例: 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 4 3 8 5 6 7 2 1 解: 8 5 6 7 4 8 3 6
3-2 KCL和KVL的独立方程数
7 1 5 有向图 2 6 4 3 一个元件作 为一条支路
R3
n 4, b 7
抛开元 件性质
1 5 2 6 4 3 7
①如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联 和-Y变换等方法求它的等效电阻。 ②对含有受控源和电阻的二端电路，用电压、电流法 求输入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在 端口加电流源，求得电压，得其比值。 ③如果一端口内部含有独立电源，则先将电源置零 （电压源短路、电流源开路），然后求无源网络的 输入阻抗。
i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0 R2i2 R3i3 R1i1 0 R4i4 R5i5 R3i3 0 R1i1 R5i5 R6i6 uS
i1 i2 i6 0
能不能用更少的方程求解？
1.回路电流法
以基本回路中沿回路连续流动的假 想电流为未知量列写电路方程分析电路 的方法。它适用于平面和非平面电路， 比网孔电流法更具有普遍性。 列写的方程 （n-1）个结点的KCL方程自动满足。 回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方 程数为 b－（n－1） 1 3 6 4 2 5
对有n个结点的电路,在任意(n-1)个结点上，可 以得到(n-1)个独立的KCL方程。
2. KVL的独立方程数
2 1 1 6 1 4 2 3 对网孔列KVL方程： 1 2 3
基本回路的KVL
对基本回路列KVL方程： 1 2 1 2 3
32 5
u1 u3 u4 0
u1 u3 u4 0
假设的电流 源电压为U
IS i2 i3 (增补方程)
RS + US _
i1
R1 + R4
i
uS1
+ _
+ uS2 _
相同的理想电压源才能并联!
+ u _
2.理想电流源的串联和并联
并联 iS1 iS2
i iS1 iS2 iSn iSk
i iSn i
3.实际电压源电流源等效
i iS GS + u _ 实际 电流 源 uS _ RS + i+ u _ 实际 电压 源
例：取网孔为独立回路，列写KVL方程如下:
回路1 回路2 R2 1 R1 i1 3 R6 + u – S i3 R3 R5 i6 R4 2 i4 i5
1 2 3
u2 u3 u1 0 u 4 u5 u3 0
u1 u5 u6 uS 0
应用欧姆定律消 去支路电压得
回路3
R 11 i l 1 R 12 i l 2 R 1 l i l l u Sl 1 R i R i R i u 21 l 1 22 l 2 2 l ll Sl 2 R l 1 i l 1 R l 2 i l 2 R l l i l l u Sl l
2.理想电流源支路的处理
引入电流源电压为未知量，增加回路电流和电 流源电流的关系方程作为增补方程。
例： 列回路电流方程。
( RS R1 R 4 ) i1 R1i2 R 4 i3 U S R1i1 ( R1 R 2 ) i 2 U R 4 i1 ( R 3 R 4 ) i3 U
i2
R2 1 R1 i1
i3 R3
R4 2 R5 i4 i5 i6
i2
i1 il1 il 3 i2 il1 i3 il1 il 2 i4 il 2 i5 il 2 il 3 i6 il 3
将以上支路电流带入KVL方程。
3 R6 + u – S
R2il1 R3 (il1 il 2 ) R1 (il 3 il1 ) 0
i2
R2 1 R1 i1
i3 R3
R4 2 R5 i4 i5 i6
3 R6 + u – S
3 R6 + u – S
回路1：
( R1 R 2 R3 ) il 1 R3 il 2 R1il 3 0
注意 Rkk: 自电阻(总为正)。
回路2： R 3 il 1 ( R 3 R 4 R 5 ) il 2 R 5 il 3 0 回路3： R1il 1 R5 il 2 ( R1 R5 R 6 ) il 3 u S
1 5 2 6
3 4
7
树(Tree)
T是包含图G的全部结点且不包 含任何回路的连通子图： 树支：构成树的支路
(4)子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
图 (4个结点) 图 子图
树
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的
bt n 1
连支
属于图G而不属于树T的支路
1 2 3
i4 i5 3
解: 有6个支路电流，需列 写6个方程。
R6
i1 i2 i6 0
i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0
这一步可 取网孔为独立回路，列写KVL方程如下: 以省去 回路1 回路2 2 i2 1 R1 R2 1 i1 34 + i3 R4 R3 2 R5 i6 uS – i4 i5 3
Rjk:
互电阻
+ : 流过互电阻的两个回路电流方向相同； - : 流过互电阻的两个回路电流方向相反； 0 : 无关。
小结 （1）回路法的一般步骤：
①选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向。 ②对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写 其KVL方程。 ③求解上述方程，得到 l 个回路电流。 ④求各支路电流。 ⑤其他分析。 （2）回路法的特点： ①通过灵活的选取回路可以减少计算量。 ②互电阻的识别难度加大，易遗漏互电阻。
独立的KCL和KVL方程数为
(n 1) b (n 1) b
例： 3.列写方程步骤
①选定个支路电流的参考方向 ②对（n-1）个独立结点列写KCL方程 ③选取（b－n＋1）个独立回路，指定回路绕行 方向，由VCR关系列写KVL方程 1 R1 i2 R2 1
2 i3 R4 R3 2 i1 34 + R5 i6 uS – KCL方程为:
u=uS – RS i
伏安特性 串联
i =iS – GSu
i = uS/RS– u/RS
i iS1 iS 2
i
iS1
iS2
相同的理想电流源才能串联!
iS=uS /RS GS=1/RS
4.输入电阻
不含 独立 电源
i
+ 输入电阻 u -
3-1 电路的图
Rin u i
i R1 R2 + R5 R4 uS _ R 6
1. KCL的独立方程数
2 1 1 6 4 3 5 4
1
2 3
2 3 4
4 8 3 2
注意
结点 支路 基本回路数 5 8 4
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i2 i5 i6 0 i3 i4 i5 0
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
基本回路(单连支回路)
基本回路具有独占的一条连支
6
在树T中，加入一个连支后形成的回路 6 4 2 1 图 3 5 1 2 3 1 5 4 2
结论
6
4 2 1
5 图 3
2 3 1
3
基本回路1
基本回路
n b bt=n-1 bl=b-bt=b-(n-1) l=bl=b-(n-1)
4 5 6
小结 （1）支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向。 ②选定 n–1个结点，列写其KCL方程(n-1个) ③选定 b – ( n –1)个独立回路，指定回路绕行方 向，结合KVL和欧姆定律列写方程
u2 u3 u1 0 u 4 u5 u3 0
u1 u5 u6 uS 0
对基本回路列写的KVL方程，由于每个连 支仅在一个回路中出现，因此方程是独立的
u1 u2 u4 u5 0
结论 n个结点的电路, b个支路的电路，KVL的独立
方程数=基本回路数= b－( n－1)
结论
n个结点、b条支路的电路: 独立的KCL方程数为 独立的KVL方程数为
3-3 支路电流法
R4il 2 R5 (il 3 il 2 ) R3 (il1 il 2 ) 0
R1 (il 3 il1 ) R5 (il 3 il 2 ) R6il 3 uS
i2 回路互电阻 回路自电阻
R2 1 R1 i1
i3 R3
R4 2 R5 i4 i5 i6
回路电流法方程的标准形式： 对具有 l=b-(n-1) 个回路的电路
1 2 3 4 5 6
3-5 回路电流法
支路电路法需要假设所有支路b个电流为未知量。 假设基本回路电流: il1 , il 2 , il 3 2 1 1 6 3 3 4 2 5 则所有支路电流用回路电流来表示
i1 il1 il 3 i2 il1 i3 il1 il 2 i4 il 2 i5 il 2 il 3 i6 il 3
回路(Loop)
回路L是从任意一个结点出发，不 重复经过其他结点回到起点的闭合 路径 回路
1 图 (6个支路) 7 树 6
2
3 5 2 5 3 1 7 2 5 8 4
8 4
不 是 回 路
明确
树支数:
bt n 1 3
连支数：bl
b bt b (n 1) 3
明确 对应一个图有很多的回路。
第三章 电阻电路的一般分析
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 电路的图 KCL和KVL的独立方程数 支路电流法 网孔电流法 回路电流法 结点电压法
1.理想电压源的串联和并联
串联 + + uS1 _ u +
u uS1 uS2 uSk
uS2 _ _ + u _
并联
u uS1 uS2
1.支路电流法
以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。
(n 1) b (n 1)
对于有 n个结点、b条支路的电路，要求解支路 电流,未知量共有 b个。只要列出b个独立的电路方 程，便可以求解这b个未知量。
2.独立方程的列写
①从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写 KCL方程。 ②选择基本回路列写 b-（ n-1）个KVL方程
回路3
R2i2 R3i3 R1i1 0
R4i4 R5i5 R3i3 0
R i u
k k
Sk
④求解上述方程，得到b个支路电流。 ⑤进一步计算支路电压和进行其他分析。
R6
R1i1 R5i5 R6i6 uS
（2）支路电流法的特点： 支路电流法列写的是 KCL 和 KVL 方程， 所以 方程列写方便、直观，但方程数较多（b个），宜 于在支路数不多的情况下使用。
i2
R2i2 R3i3 R1i1 0
R4i4 R5i5 R3i3 0
注意 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。
R1i1 R5i5 R6i6 uS
假设回路电流:il1, il2, il3 R2 1 R1 i1 3 R6 + u – S i3 R3 R5 i6 R4 2 i4 i5 用回路电流表示支路电流：
u1 u2 u6
u 2 u 3 u5 0
u 4 u5 u 6 0
3 4
6
1 3 2 4 5 3
u 2 u 3 u5 0 u 4 u5 u 6 0
注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进行
加、减运算可以得到其他回路的KVL方程。 如1254回路： 1 - 2
结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，
图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
(2)路径
从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。
(1)图(Graph)
G={支路，结点}
(3)连通图
图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
4 6 3 3 3
结论 基本(独立)回路的数目是一定的，为连支数。
l bl b (n 1)
结点、支路和 基本回路关系
b n l 1
例: 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 4 3 8 5 6 7 2 1 解: 8 5 6 7 4 8 3 6
3-2 KCL和KVL的独立方程数
7 1 5 有向图 2 6 4 3 一个元件作 为一条支路
R3
n 4, b 7
抛开元 件性质
1 5 2 6 4 3 7
①如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联 和-Y变换等方法求它的等效电阻。 ②对含有受控源和电阻的二端电路，用电压、电流法 求输入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在 端口加电流源，求得电压，得其比值。 ③如果一端口内部含有独立电源，则先将电源置零 （电压源短路、电流源开路），然后求无源网络的 输入阻抗。
i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0 R2i2 R3i3 R1i1 0 R4i4 R5i5 R3i3 0 R1i1 R5i5 R6i6 uS
i1 i2 i6 0
能不能用更少的方程求解？
1.回路电流法
以基本回路中沿回路连续流动的假 想电流为未知量列写电路方程分析电路 的方法。它适用于平面和非平面电路， 比网孔电流法更具有普遍性。 列写的方程 （n-1）个结点的KCL方程自动满足。 回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方 程数为 b－（n－1） 1 3 6 4 2 5
对有n个结点的电路,在任意(n-1)个结点上，可 以得到(n-1)个独立的KCL方程。
2. KVL的独立方程数
2 1 1 6 1 4 2 3 对网孔列KVL方程： 1 2 3
基本回路的KVL
对基本回路列KVL方程： 1 2 1 2 3
32 5
u1 u3 u4 0
u1 u3 u4 0
假设的电流 源电压为U
IS i2 i3 (增补方程)
RS + US _
i1
R1 + R4
i
uS1
+ _
+ uS2 _
相同的理想电压源才能并联!
+ u _
2.理想电流源的串联和并联
并联 iS1 iS2
i iS1 iS2 iSn iSk
i iSn i
3.实际电压源电流源等效
i iS GS + u _ 实际 电流 源 uS _ RS + i+ u _ 实际 电压 源
例：取网孔为独立回路，列写KVL方程如下:
回路1 回路2 R2 1 R1 i1 3 R6 + u – S i3 R3 R5 i6 R4 2 i4 i5
1 2 3
u2 u3 u1 0 u 4 u5 u3 0
u1 u5 u6 uS 0
应用欧姆定律消 去支路电压得
回路3
R 11 i l 1 R 12 i l 2 R 1 l i l l u Sl 1 R i R i R i u 21 l 1 22 l 2 2 l ll Sl 2 R l 1 i l 1 R l 2 i l 2 R l l i l l u Sl l
2.理想电流源支路的处理
引入电流源电压为未知量，增加回路电流和电 流源电流的关系方程作为增补方程。
例： 列回路电流方程。
( RS R1 R 4 ) i1 R1i2 R 4 i3 U S R1i1 ( R1 R 2 ) i 2 U R 4 i1 ( R 3 R 4 ) i3 U
i2
R2 1 R1 i1
i3 R3
R4 2 R5 i4 i5 i6
i2
i1 il1 il 3 i2 il1 i3 il1 il 2 i4 il 2 i5 il 2 il 3 i6 il 3
将以上支路电流带入KVL方程。
3 R6 + u – S
R2il1 R3 (il1 il 2 ) R1 (il 3 il1 ) 0
i2
R2 1 R1 i1
i3 R3
R4 2 R5 i4 i5 i6
3 R6 + u – S
3 R6 + u – S
回路1：
( R1 R 2 R3 ) il 1 R3 il 2 R1il 3 0
注意 Rkk: 自电阻(总为正)。
回路2： R 3 il 1 ( R 3 R 4 R 5 ) il 2 R 5 il 3 0 回路3： R1il 1 R5 il 2 ( R1 R5 R 6 ) il 3 u S
1 5 2 6
3 4
7
树(Tree)
T是包含图G的全部结点且不包 含任何回路的连通子图： 树支：构成树的支路
(4)子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
图 (4个结点) 图 子图
树
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的
bt n 1
连支
属于图G而不属于树T的支路
1 2 3
i4 i5 3
解: 有6个支路电流，需列 写6个方程。
R6
i1 i2 i6 0
i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0
这一步可 取网孔为独立回路，列写KVL方程如下: 以省去 回路1 回路2 2 i2 1 R1 R2 1 i1 34 + i3 R4 R3 2 R5 i6 uS – i4 i5 3
Rjk:
互电阻
+ : 流过互电阻的两个回路电流方向相同； - : 流过互电阻的两个回路电流方向相反； 0 : 无关。
小结 （1）回路法的一般步骤：
①选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向。 ②对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写 其KVL方程。 ③求解上述方程，得到 l 个回路电流。 ④求各支路电流。 ⑤其他分析。 （2）回路法的特点： ①通过灵活的选取回路可以减少计算量。 ②互电阻的识别难度加大，易遗漏互电阻。
独立的KCL和KVL方程数为
(n 1) b (n 1) b
例： 3.列写方程步骤
①选定个支路电流的参考方向 ②对（n-1）个独立结点列写KCL方程 ③选取（b－n＋1）个独立回路，指定回路绕行 方向，由VCR关系列写KVL方程 1 R1 i2 R2 1
2 i3 R4 R3 2 i1 34 + R5 i6 uS – KCL方程为:
u=uS – RS i
伏安特性 串联
i =iS – GSu
i = uS/RS– u/RS
i iS1 iS 2
i
iS1
iS2
相同的理想电流源才能串联!
iS=uS /RS GS=1/RS
4.输入电阻
不含 独立 电源
i
+ 输入电阻 u -
3-1 电路的图
Rin u i
i R1 R2 + R5 R4 uS _ R 6
1. KCL的独立方程数
2 1 1 6 4 3 5 4
1
2 3
2 3 4
4 8 3 2
注意
结点 支路 基本回路数 5 8 4
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i2 i5 i6 0 i3 i4 i5 0
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
基本回路(单连支回路)
基本回路具有独占的一条连支
6
在树T中，加入一个连支后形成的回路 6 4 2 1 图 3 5 1 2 3 1 5 4 2
结论
6
4 2 1
5 图 3
2 3 1
3
基本回路1
基本回路
n b bt=n-1 bl=b-bt=b-(n-1) l=bl=b-(n-1)
4 5 6
小结 （1）支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向。 ②选定 n–1个结点，列写其KCL方程(n-1个) ③选定 b – ( n –1)个独立回路，指定回路绕行方 向，结合KVL和欧姆定律列写方程
u2 u3 u1 0 u 4 u5 u3 0
u1 u5 u6 uS 0
对基本回路列写的KVL方程，由于每个连 支仅在一个回路中出现，因此方程是独立的
u1 u2 u4 u5 0
结论 n个结点的电路, b个支路的电路，KVL的独立
方程数=基本回路数= b－( n－1)
结论
n个结点、b条支路的电路: 独立的KCL方程数为 独立的KVL方程数为
3-3 支路电流法
R4il 2 R5 (il 3 il 2 ) R3 (il1 il 2 ) 0
R1 (il 3 il1 ) R5 (il 3 il 2 ) R6il 3 uS
i2 回路互电阻 回路自电阻
R2 1 R1 i1
i3 R3
R4 2 R5 i4 i5 i6
回路电流法方程的标准形式： 对具有 l=b-(n-1) 个回路的电路
1 2 3 4 5 6
3-5 回路电流法
支路电路法需要假设所有支路b个电流为未知量。 假设基本回路电流: il1 , il 2 , il 3 2 1 1 6 3 3 4 2 5 则所有支路电流用回路电流来表示
i1 il1 il 3 i2 il1 i3 il1 il 2 i4 il 2 i5 il 2 il 3 i6 il 3
回路(Loop)
回路L是从任意一个结点出发，不 重复经过其他结点回到起点的闭合 路径 回路
1 图 (6个支路) 7 树 6
2
3 5 2 5 3 1 7 2 5 8 4
8 4
不 是 回 路
明确
树支数:
bt n 1 3
连支数：bl
b bt b (n 1) 3
明确 对应一个图有很多的回路。
第三章 电阻电路的一般分析
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 电路的图 KCL和KVL的独立方程数 支路电流法 网孔电流法 回路电流法 结点电压法
1.理想电压源的串联和并联
串联 + + uS1 _ u +
u uS1 uS2 uSk
uS2 _ _ + u _
并联
u uS1 uS2
1.支路电流法
以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。
(n 1) b (n 1)
对于有 n个结点、b条支路的电路，要求解支路 电流,未知量共有 b个。只要列出b个独立的电路方 程，便可以求解这b个未知量。
2.独立方程的列写
①从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写 KCL方程。 ②选择基本回路列写 b-（ n-1）个KVL方程