小波分析之小波级数展开

2


1 2


tg (t )g (t ) dt
2
2

1 2

td g (t )
2 2
2
2
t g (t )

1 2

1 g (t ) dt . 4



ˆ ω |g ()| dω 2π |g(t )| dt 的证明


1 2
g ˆ
| gˆ ( ) | d ˆ || g ( ) || 1 | gˆ ( ) | d . 2
1
2 2 2 2 2 12




t | g (t )| d t
2
2

1 2
,
1 2
窗口傅立叶变换的性能分析：
连续小波变换：
母小波的例子：
• Harr小波：
1, 0 t 1/2 (t ) - 1, 1/2 t 1 0 , ot hers
• 假设有一阶梯宽度为1的函数，现用阶梯 宽度比1大(如宽度为2)的函数来逼近：
母小波的例子：
• Mexico草帽小波：
2 1 / 4 2 -t 2 / 2 (t) (1 - t ) e 3
L ( R ) W , V j V j 1 , V j 1 V j W j
2 j
2
第7章 小波变换
可按尺度函数与小波函数分别展开:
f ( x)
j ,kZ

j ,kZ
d c
j ,k
j ,k ( x)
R
f j ,k dx j ,k ( x)
• (Parseval等式)
•
f , g L ( R), 1 ˆ ˆ ( f , g) ( f , g ), 2 (Plancherel等式) 1 ˆ f 2 f . 2 2
2
信号的时频分析：
• 信号时频分析的重要性： – 时间和频率是描述信号的两个最重要的 物理量。 – 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。 • 信号时频分析的傅立叶变换方法：
是矛盾的，通过计算 g与 g ˆ 的乘积用以作为判断窗口傅立叶 变换性能的依据。
从物理意义上来看, g与 g ˆ
窗口傅立叶变换的性能分析假定
Δg Δg ˆ
2 2 2
海森堡测不准原理
1 2 ˆ ( )|2 dω t |g (t )| dt ω |g 2π 1 2 2 (t )|2 dt t |g (t )| dt 2π |g 2π
母小波的例子：
• Morlet小波：
(t) e e
jt -t / 2
2
第7章 小波变换
设多分辨分析 { V j } jZ 的尺度函数 (x) 2 是规范正交的,其小波函数 ( x) L ( R),

j ,k
2 (2 x k )
j 2 j

j ,kZ
成为 L ( R) 的规范正交基. 2 可以结合子空间的结构对 f ( x) L ( R) 进行多种展开.
滤波器
若 f (t ) h(t ) g (t ), 则
ˆ () h() g (). ˆ ˆ f ˆ 根据 h( ) 的能量分布在高频,低频, ˆ 中间频段,分别称 h( ) 为高通,低通, ˆ( ) 带通滤波器.如 h [ , ] ( ) 为理想低通滤波器.
• 双尺度方程 ˆ ˆ (2 ) m ( )( ). 中 m ( ) 即为低通滤波器,
窗口(Gabor)傅立叶变换
为了克服傅立叶变换的缺陷,引进局部化 分析方法,产生了窗口傅立叶变换.
WF (, b) f (t)g(t - b) e g
-

- j t
dt
其中,窗口函数 g (t ) 满足
tg(t) L (R), i.e.
2



tg(t) dt .
2
窗口傅立叶变换的其它记法
WF (, b) f (t)g(t - b) e g
- - j t
dt
令：
则：
g,b (t) g(t - b) e
-
j t
WFg ( , b) f (t ) g ,b (t )d t f (t ), g ,b (t)



12
.
在量子力学中,若以函数 g (t ) L ( R) g (t ) 描述粒子的状态,则在位置 t 的概率密度是 2 g (t ) 上述四个量 * * ˆ g g 分别表示粒子的平均位置,平均矩,及相应的方 差值.大的 g , g 表示自由粒子的位置与 ˆ 矩的不确定性.
2
傅立叶积分
设 f (t ) 是 (, )上的非周期函数, f (t ) dt 存在,且在任何有限区间上满足Dirichlet条件, 则有傅立叶积分公式


1 T2 i n ei n t f (t ) lim f ( ) e d T 2 T T n 1 i ei t d . f ( ) e d 2
f ( x ) c J ,k J ,k ( x )
J M j J kZ
WJ 1 WJ 2 WJ m VJ m
d
kZ
j ,k
j ,k ( x) cJ M ,k J M ,k ( x).
kZ
第7章 小波变换
窗口傅立叶变换的性能分析：
• 问题的提出： –窗口傅立叶变换是否既具有强的 时间定位能力，又具有强的频率 定位能力？ –选择什么样的窗函数才能使得窗 口傅立叶变换具有好的性能？
窗口傅立叶变换的性能分析记号
1 2 t t | g(t)| d t, 2 || g(t)|| 1 * 2 ˆ | g ( ) | d , 2 ˆ || g ( ) || 12 1 * 2 2 g (t - t ) | g(t)| d t , 2 || g(t)|| 1 * 2 ˆ ( ) |2 d g ˆ 2 ( - ) | g ˆ || g( ) || *
时间平移参数
(W f )(a, b) | a |
归一化因子
-1 2



t-b f (t) ( )d t a
尺度伸缩参数
连续小波变换的物理意义
时域上：数学显微镜（一组有效宽度不同 的窗口傅立叶变换的汇集）
连续小波变换“恒Q性质”
假设(t)的中心为t0，有效宽度为 Dt；ψ( ) 的中心为0，有效宽度为 ˆ D；则a,b(t)提取的是 f(t) 在窗口 [b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性 ˆ 质，相应地从频域上说 ψa,b () 提取 的是F()在窗口[0/a-D/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于 小波来说时域窗口宽度和频域窗口 宽度的乘积始终为DtD。
令g j ( x) d j ,k j ,k ( x) W j , f j ( x) c j ,k j ,k ( x) V j
kZ kZ
则
f ( x)
J M j J
g
j
( x) f J M ( x).
第7章 小波变换
更一般地: f ( x) L (R),
2

L ( R) VJ 0 W j
解决窗口傅立叶变换缺点的方法
• 解决方法： 引入窗口变化机制，同时求各种 窗口大小下的变换，这样变换系 数中就同时包含各种特征尺度下 信号的信息,类似小波变换.
t-b Tg f (a, b) f (t) g ( )d t a

连续小波变换：
• 连续小波变换的意义：
– 假设信号 f(t) L2(R)，则它的连续小波变换
窗函数的中心 t*与半径△g
1 * 2 t t | g(t)| d t, 2 || g(t)|| 1 * 2 2 g (t - t ) | g(t)| d t 2 || g(t)||


12
.
窗口傅立叶变换的物理意义
–若g(t)的有效窗口宽度为2△g ，则 WFg(, b)给出的是f(t)在局部时 间范围[b - △g, b + △g]内的频谱 信息。 –有效窗口宽度2△g 越小，对信号 的时间定位能力越强。
2 2 2

ˆ F ( g (t )) jg ( ), ˆ ˆ ˆ |g ( )| ( g ( ), g ( )) 1 (t )), j1 F ( g (t ))) ( j F ( g
2


1
2
( F ( g (t )), F ( g (t ))) ( g (t ), g (t ))

2
2

2
2
g (t )
2
窗口傅立叶变换的性能分析：
等号成立条件：
t g(t) a g' (t), a为某一常数
g (t) 1 e 2
t - 2 2
2
为一个解。
该形式的g(t)为Guass函数.
窗口傅立叶变换的性能分析
结论： –窗口傅立叶变换的时间分辨率 和频率分辨率不可能同时提高， 只能以一种分辨率的降低来换 取另一种分辨率的提高。 –以高斯函数作为窗函数相对来 说综合效果最好。
f (x)
1
Guass函数 f ( x) e 函数 : ˆ f ( )
b2 x 2
(b 0),
O
其Fourier 变换仍为同类型
x

b

2
4b 2
F()
e
.

b
O

解决窗口傅立叶变换缺点的方法
• 窗口傅立叶变换窗口没有自适应性， 只适合分析所有特征尺度大致相同 的信号，不适于分析多尺度信号和 突变过程。
t, , ,
窗口傅立叶变换的性能分析假定
t * 0, * 0,
2 |t |
lim
t g (t ) 0,
1 ˆ || g (t )|| || g ( ) ||2 1, 2 1 g t 2 | g (t )|2 d t || g (t )||2
窗口傅立叶变换的频域性质
WFg(, b) = <f(t), g,b(t)> 给出的是信号在时域上的处理信 息，窗口傅立叶变换在频域上是 怎样处理信号的？
窗口傅立叶变换的频域性质：
• 根据Parseval定理
WF ( , b) f (t )g ,b (t )d t g
-

1 ˆ ˆ f (t ), g ,b (t ) f ( ), g ,b ( ) 2 1 ˆ ˆ f ( ), g ,b ( ) 2
ˆ f ( ) F ( f (t )) ˆ ( )) 1 F (f 2
1


f ( )e
i
d ,



ˆ ( )e it d. f
傅立叶变换的缺点：
• 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信 号的全部时域信息。 • 傅立叶变换没有反映出随着时间变化的信 号频率成分的变化情况。 • 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号 的突变成分。
傅立叶级数展开
傅立叶级数
f (t )
n
ce
n

i n t
1 T 2 f ( ) ei n d ei n t T n T 2

1 T2 i n cn f ( ) e d , T T 2 n 0, 1, 2,
j ,kZ j ,k

j ,kZ
( f ,
j ,k
) j ,k ( x)
f ( x)
j ,k ( x )
R
f j ,k dx j ,k ( x)

j ,kZ
( f ,
j ,k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) j ,k ( x )
第7章 小波变换
按尺度函数与小波函数展开也可以结合 起来:若 f ( x) VJ , VJ WJ 1 VJ 1 WJ 1 WJ 2 VJ 2