高中数学 第一章 计数原理单元测评 北师大版选修2-3(2021年最新整理)

高中数学第一章计数原理单元测评北师大版选修2-3
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《计数原理》测评
（时间90分钟，满分100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.从集合{1，2,3，…，11｝中任选两个元素作为椭圆方程22m
x +22
n y =1中的m 和n ，则能组成落
在矩形区域B={（x ，y ）|｜x ｜<11且|y ｜<9}内的椭圆个数为
A 。

43 B.72 C.86 D.90 答案:1。

B 解析：m∈{1,2，3，4,5,6,7,8，9，10}，n∈{1,2,3，4,5，6，7,8}。

故椭圆个数为C 110·C 1
8—8=72个。

2.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作。

若每天排早、中、晚三班，每班4人,每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
A 。

1214
C 412C 48C B.1214C 4
12A 48C C.3
3
484
121214A C C C D 。

1214C 4
12C 48C 33A 答案： A 解析:由题意，不同的排班种数为
C 1014C 46610C =
!
256!478910!411121314⨯•
⨯⨯⨯•⨯⨯⨯=C 4
84121214C C 。

3。

五人排成一排，甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同排法有
A.60种 B 。

48种 C.36种 D 。

24种 答案：C 解析:甲排第一位时，乙、丙不排第二位，有C 12A 33种排法;甲排第二位时,乙、丙只能
排四、五位，有A 22A 22种排法；甲排第三位时，只乙、丙能排首尾，有A 22A 2
2种排法；甲排第四位，乙、丙只能排第一、二位，有A 22A 22种排法；甲排第五位时，乙、丙只能排第一、二、三
位，有C 12A 33种排法，共有(12+4+4+4+12)=36种排法。

4.(2007山东潍坊一模)为迎接2008年北京奥运会,某校举行奥运知识竞赛,有6支代表队参赛,每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖,且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖
情况种数共有
A 。

4
12C B.1312121236C C C C C C.36C 13C 12C 12C D 。

36C 12
C 12C 1
2C 13C 22A 答案:C 解析：先从6个代表队中任选3个队有C 36种选法;再从中任选一个（两人都获奖)有C 13
种选法，再从余下的两个代表队中每队选1人有C 12·C 12种，所以共有C 36·C 13·C 12·C 1
2种选法。

5.某科技小组有四名男生两名女生,现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为
A.36C
B.12C 25C C 。

12C 2
4C +22C 14C D 。

36A
答案：C
6。

三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有
A 。

6种
B 。

8种 C.10种 D 。

16种
答案:C 解析：如图,同理，甲传给丙也可以推出5种情况,综上有10种传法。

7.某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一个参加活动，女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有
A.56种
B.49种
C.42种 D 。

14种
答案：B 解析：（1）男生甲、乙有一人参加，女生丙参加,再从另外7人中任选2人，共有C 12C 2
7=42
种;(2)男生甲、乙都参加，女生丙也参加，再从另7人中任选1人，有C 1
7=7种。

综合（1）（2)
得不同的选人方式有C 12C 27+C 17=49种.
8.(2007广东珠海模拟）用四种不同的颜色给正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个面染色,要求相邻两
个面涂不同的颜色，且四种颜色均用完,则所有不同的涂色方法共有
A.24种 B 。

96种 C 。

72种 D.48种
答案:C 解析：从四种颜色中任选一种有1
4C 种选法,涂前后两面，第二步从余下的三种颜色中任
选取一种有C 13种选法涂上面，第三步再从刚才的三种颜色中任选一种涂下面，此时还剩下左右两面，其中一面有两种涂法，另一面只有一种涂法.由分步乘法原理，得共有
14C ·C 13·C 13·C 12·1=72种涂法。

9。

8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有
A.38C
B.38C 22A C 。

38C 38A D.338C
答案:B 解析：第一步从8个人中选3个人，共有C 38种方法，第二步3个人交换位置,由于每个人都要交换位置,故只有两种交换方法，所以共有C 38A 22种交换方法.
10.(2007山东威海模拟）已知（
p x x
2
2）6的展开式中，不含x 的项是2720
，那么正数p 的值是 A.1 B.2 C 。

3 D 。

4
答案:C 解析:由题意知：C 4
6·
41p ·22=27
20
,求得p=3. 11.一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有
A 。

6种
B 。

8种
C 。

36种 D.48种
答案：D 解析：走到中心位置时，从6条路线中选1条有C 1
6种选法。

回到中心位置后,再从剩
余的4条路线中选1条有1
4C 种选法,再回到中心位置后，再从剩余的2条路线中选1条有C 12种
选法，故共有C 16C 14C 1248种。

12.（2007广东广州模拟)（
22x 2
y
）5
的展开式中系数大于-1的项共有 A.5项 B 。

4项 C 。

3项 D.2项
答案:B 解析：（2x —
2
y ）5
的展开式共有6项，其中第一、三、五项的系数为正，而第二项的系数为C 1524（-21）〈—1,第四项的系数为C 3522（—21）3〈—1，第六项的系数为C 5
5
（-21)5=-32
1>-1。

二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分）
13.如右图所示，画中的一朵花，有五片花瓣。

现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为___________（用数字作答）.
解析：由题意得C 14·C 35·A 2
3=240种.
答案：240种
14.（1-2x ）6
展开式中所有项的系数之和为___________；（1+x 3
)（1—2x)6
展开式中x 5
的系数为___________。

解析：令x=1,得（1-2x ）6
展开式中所有项的系数和为（1—2）6
=1；（1+x 3
)(1—2x)6
展开式中
x 5
的系数为：C 56(—2）5
+C 26·（-2）2
=—192+60=-132.
答案：1 —132
15。

有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个,其中恰好有一个红球和一个黑球编号相同的取法种数为___________.
解析：任取一个红球，有1
5C 种取法，接着取与红球编号相同的一个黑球；再在剩下的8个球中
取编号互不相同的两球，种数为C 14C 13+C 12C 24。

所以满足题意的取法种数为C 15（C 14C 13+C 12C 24）
=120。

答案：120种
16.在由数字0，1，2，3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有___________个。

解析：个位数有A 14种取法；千位数有A 14种取法；中间两位有A 24种排法，故由乘法原理得A 14A 14A 24=192。

答案:192
三、解答题(本大题共4小题，共36分)
17.(本小题满分8分）有11名外语翻译人员,其中5名英语翻译员,4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出多少张?
答案:分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.
解：按“多面手”的参与情况分成三类： 第一类：多面手不参加，这时有45C 44C 种;
第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英或日文翻译两种可能，因此有
C 12C 35C 44+C 44C 12C 34种;
第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译
一个语种，因此有C 2225C 4
4
C +45C C 22C 24+C 1235C C 11C 34种. 综上分析,共可开出C 45C 44+C 12C 35C 44+C 45C 12C 34+C 22C 25C 44+C 45C 22C 24+C 1
2C 35C 11C 34=185种不同的分配名
单.
18.（2007海南三亚一模)（本小题满分9分）有6本不同的书：（1）全部借给5人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？（2)全部借给3人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？ 答案:分析：（1）利用“捆绑法”求解；(2）先分堆再让三人取书.
解：（1）将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5个人，共有C 2
6A 5
5=1 800种借法. （2）将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本,一人1本;第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3个人，有
（22111246A C C C +C 36C 23+3
3
2
22426A C C C )·A 33=540种借法. 19。

(本小题满分9分)求（32
1x x -
）10
的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项. 答案：分析：在所有项的系数绝对值中,最大的一个必须满足“比它相邻的项都不小”这一必要条件，据此排列不等式组.而在讨论系数最大的项时，只需讨论奇数项即可.
解：展开式的通项是T r+1=C r
10·(—1)r
·2—r
·x
6
530r -.系数的绝对值是C r
10·2—r ，若它最大，则 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•----+-+-)
1(11010)1(110102
22
2r r r r r r r r C C C C ,311382
112
1
101≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥-≥-+r r
r r r ∵r∈N ，∴r=3.
∴系数绝对值最大的项是第4项,即—C 3
10
·23
·x 25=—15x 2
5。

系数最大的项应在项数为奇数的
项之内，即r 取偶数0，2,4，6，8时，各项系数分别为C 010=1，C 210·2-2
=
445,C 410·2—4=8
105,6
10C ·2 -6
=32
105，8
10C ·2-8=25645。

因此系数最大的项是第5项，即35
8105x 。

提示：由于这个二项式的第二项分母中有数字2，所以展开式中的系数不是二项式系数，因此不能死背书上结论,以为中间项系数最大.
20.（本小题满分10分）已知i ，m ，n 是正整数，且1〈i≤m〈n.
（1）证明：n i
i
m A <m i
i n A ;
（2）证明:（1+m ）n 〉（1+n)m
.
答案：分析:对于(1)利用排列数公式和真分数的性质证明；对于（2）联想二项式定理，结合组合数与排列数的关系证明。

证明：（1）对于1〈i≤m，有
i m A =m·…·(m -i+1），
m m m A i
i m =·m m 1-·…·m i m 1+-, 同理n n n A i u n =·n n 1-·…·m
i n 1+-，
由于m<n ，对整数k=1，2, …,i —1，有
n k n ->m
k m -， 所以i i n n A 〉i i
m m
A ，即n i i
m A <m i i n A .
由二项式定理，得
（1+m)n
=i
n
n
i i
C m ∑=0,（1+n)m
=∑=m
i i n 0
i
m C ,
由（1)知m i i
n A >n i
i m A （1〈i≤m<n），
而i
m
C =!
i A i
m ，i
n C =!i A i n ，
所以，m i i n C 〉n i i
m C （1<i≤m〈n ）,
因此，∑=n
i i
m 2i
n
C >∑=n
i i n 2
i m C 。

又m 0
n C =n 00m C =1,m 1n C =n 1m C =mn,
m i
i n C >0(m 〈i≤n）。

∴i
n
n
i i
C m ∑=0>∑=m
i i n 0
i
m C ,即（1+m)n >(1+n ）m。

提示：本例是2001年全国高考题，是道难题，也是道难得的好题。

综合性强、解法灵活是其显著的特点。

命题者意图是借（1）证(2），但我们却能找到好多不用（1）的证法。

如数学归纳法，n 元均值不等式法等.。