2013年“深圳杯”数学建模夏令营

如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么
()()()P A B P A P B +=+
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么
(.)().()P A B P A P B =
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是
()(1)k k n k
n n P k C P P -=-
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一：选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

）
1、已知集合{}b P ,0=，{}
Z x x x x Q ∈<-=,032
，若φ≠⋂Q P ，则b 等于（ ）
A 、1
B 、2
C 、1或2
D 、8
2、 3、
4、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （A ）
27 （B ）38 （C ）37 （D ）928
5、.已知二面角βα--l 的大小为0
30,
m n 、为异面直线，m n αβ⊥⊥且，，
m n 则、所成的角为 ( ) （A ）0
30 （B ）0
60 （C ）0
90 （D ）0
120
6、设q p ,是简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 （ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
7、
8、
9、 10、 11、
12、
二：填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上）
13）不等式
01>-x
x
的解集为 14）已知⎩
⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则2
2-+y x 的最大值是
15）设常数0a >，4
2ax
⎛ ⎝
展开式中3
x 的系数为32，则2l i m ()n
n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____。

16、
三：解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、
18、
19、(12分)
20、(12分)
21、
[参考答案]
一：选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
二：填空题
13、 (0,1) 14、 2 15、 1 16、 93
31⎪⎭
⎫
⎝⎛
三：解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18、解：（1）证明 点1B 在地面的射影D 落在BC 边上，即D B 1垂直底面， ∴ 面111C C BB ⊥面ABC ，
又 ⊥AC BC 且 面111C C BB ⋂面ABC =BC ，
∴⊥AC 平面C C BB 11 （2） ⊥D B 1面ABC
∴BC B 1∠为侧棱与底面所成角α
连结1CB ⊥AC 平面C C BB 11且11CB AB ⊥
根据三垂线定理逆定理有11BC CB ⊥
∴四边形C C BB 11为菱形 即1BB BC =
又 D 为BC 中且点D B 1垂直BC ∴B B C B 11= 即0
160==∠αD BB
（3）过点C 作11C B CM ⊥，连结AM, ⊥AC 平面C C BB 11 ∴AMC ∠为二面角
C C B A --11的平面角 由四棱锥C C BB A 11-体积=
3
32=C C BB S AC 1131
∙解的1=AC ，在ACM ∆中，3
3tan =
∠AMC ，则二面角C C B A --11等于0
30.
19、
20。