高一数学必修二空间点直线平面之间的位置关系复习课件

·A
aB
已知：a ,A ,B ,B a
直线AB和a是异面直线
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第八页，共27页。
空间直线及直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
按公共点个数分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
有一个公共点: 相交直线
无公共点
平行直线 异面直线
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第九页，共27页。
平行公理
图形
符号语言 文字语言(读法)
a 直线 a 在平面 内
a 直线 a 与平面 无公共点
a A 直线与 a 平面 交于点 A
l 平面 与相交于直线 l
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平面几何中的“∥”“⊥”在空间中仍适用
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第三页，共27页。
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这
条直线在此平面内.
直线都没有公共点
A．0
B．1
C．2
D．3

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第十一页，共27页。
等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另一个
角的两边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补.
A
A1
B
D EC
B1
D1 E1 C1
推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分
别平行且方向相同，那么这两个角相等.
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第十二页，共27页。
等角定理
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO及BD所成的角
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o 所以FO与BD所成的夹角是30 o
第十八页，共27页。
H E
O
D
A
G F
C B 18
例3如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
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第二十五页，共27页。
规律总结 由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点O， 因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3，就是要寻
找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O是这两 个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的 问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题．
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第二十六页，共27页。
高一数学必修二空间点直线平面之间的 位置关系复习课件
第一页，共27页。
点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点 A 、线 a 、面
（2）集合关系： A a、A、a
图形
符号语言 文字语言(读法)
Aa
点在直线上
Aa
A
A
ab A
第二页，共27页。
点不在直线上
点在平面内 点不在平面内
直线 a 、 b 交于点2
b a′ ？ OP a
b′
平移
θ
O
a′
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a及b垂直也记作a⊥b.
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第十四页，共27页。
注1:异面直线a、b所成角，只及a、b的相互位置有关， 而
与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.
注2:异面直线所成角的取值范围： 0 90
注3:求异面直线所所成角的步骤：
(2) 公理法
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第十页，共27页。
类型一 直线与平面之间的位置关系
[例 1] 下列命题中正确的个数是( )
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α
②若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条
直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么
另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条
第四页，共27页。
异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
平行
异面
只有一个
没有 没有
第五页，共27页。
共面
共面
不共面
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异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
(2)
第六页，共27页。
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
H
G
解答：
(1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求.
E 2
2 3D
F C
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o
A
23
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 或互补。
问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？
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第十三页，共27页。
两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任任选选一点O，
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′,
则这两条线所成
的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
b
A
a
(1)
a
b
(3)
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思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a及b是异面直线
M
ab
a及b是相交直线
第七页，共27页。
a
b
a及b是平行直线
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异面直线的判定方法：
(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一 平面内.
(2)判定定理：过平面外一点及平面内一点的 直线，和平面内不经过该点的直线是异面直 线
是以PN、QM为腰的梯形． 求证：三直线BD、MQ、NP共点．
分析 先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上．
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第二十四页，共27页。
证明 ∵四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰，
∴直线MQ、NP必相交于某一点O. ∵O∈直线MQ，直线MQ⊂平面ABD，∴O∈平面ABD.
同理，O∈平面BCD， 又∵平面ABD∩平面BCD＝直线BD， ∴O∈直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点．
谢谢
第二十七页，共27页。
判断线面位置
A l,B l,且 A ,B l
A．
B．
α
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
“不共线的三点确定一个平面”
确定平面依据
B．
．A ．C
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ,且 P l,且 P l P 判断面面位置（相交或平行） 4
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第十九页，共27页。
例4如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,
AB= 3 a，求AB1及BC1所成的角的余弦值.
D1
A1
D
A
3a
第二十页，共27页。
C1 B1
a
C
a
B
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三点共线的证明
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第二十二页，共27页。
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共点、共线和共面问题
如图所示，平面ABD∩平面BCD＝直线BD，M、N、P 、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ
b
一作、二证、三求解
O
a’
a
α
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第十五页，共27页。
分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角
a α
b
b1 a1
θ Oa
O
α
为了简便，在求作异面直线所成的角时,O
点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,
线段的中点等)
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第十六页，共27页。
例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE及CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角， 又 BEF中∠EBF =45 o， 所以BE与CG所成的角是45 o
(2)连接FH，
∵HD ∥=EA，EA ∥=FB ∴HD ∥=FB
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
注：即 :a、 b、 c为 直 线 ， 则 a c////b b a//c
1.直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c .
2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直 线没有公共点(反证法)