互斥与相互独立

1.“互斥”的含义
设若事件A与B不可能同时发生，即A与B的交为不可能事件（空集），从而P(AB)=0，则称A与B互不相容或互斥。

进一步地，设若A与B同时满足必有一个事件发生的条件，即A与B的交为不可能事件，A与B的并为必然事件，从而P(A)+P(B)=1，P(AB)=0，则称A与B互相对立(互逆)事件。

上述所谓两个互斥事件A 、B 不可能同时发生，具体包括三种情景：一是仅事件A 发生；二是仅事件B 发生；三是事件A和B 都不发生。

当然，设若事件A、B 对立，则只须考虑前两种情况了。

因此，互斥的概念适用于描述多个事件之间的关系，而对立概念则只适用于描述两个事件之间的关系。

两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可能都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

2.“相互独立”的含义
设若事件A和B满足P(A/B)=P(A)，P(B/A)=P(B) ，从而满足P(AB)=P(A)P(B)，则称该事件A和B 相互独立。

可见，事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。

互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响。

因此，互斥属于纯粹用来刻画事件之间相互关系的概念；而相互独立则是用来刻画事件之间概率关系的概念。

在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。

故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。

而若A 与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 。

3. “相互独立”与“互斥”互不相容
设若A、B相互独立，则根据定义，必有P(AB)=P(A)P(B)。

设若A、B互斥，则根据定义，必有P(AB)=0。

设若再假设P(A)>0，P(B)>0，则显然，相互独立与互斥这两个结论不能同时成立。

实际上，设若两个随机事件A、B相互独立，则说明这两个事件可以同时发生（因为两个事件的发生互不影响），而互斥的两个事件却不能同时发生（亦即一个事件发生了，另个事件就绝对不可能发生），故此两个相互独立的事件通常不可能“互斥”。

反之，设若两个事件互斥，则一个事件的出现必导致另一个事件的不出现，这说明后者出现的概率受到了前者是否出现的影响，从而意味着这两个事件并不相互独立。

当然这只是一般情况，当有概率为零的事件时例外。

具体地，当A、B 中至少有一个是不可能事件时，设若事件A 和B 为互斥事件，则事件A 与B一定是相互独立事件；设若事件A 和B 为相互独立事件，则它们一定也是互斥事件。

下面我们具体分析两个例子，以加深对这两个概念的理解。

例1，假若甲的投篮命中率为0.8，乙的投篮命中率为0.7，现在每人投3次，请问两人恰好都命中2次的概率是多少？
设定“甲恰好投中2次”为事件A，“乙恰好投中2次”为事件B，则“两人都恰好投中2次”的事件就是两件相互独立事件的交。

应设定其为事件AB，故而有：
P(A)=3*0.8*0.8*0.2
P(B)=3*0.7*0.7*0.3
P（AB）=P（A）·P（B）= 0.169。

一些人将两人都恰好投中2次的事件理解为A+B，进而有：
P（A+B）=P（A）+P（B）=0.825 。

这实质上是把“两人都恰好投中2次的事件”理解为两件互斥事件的和，其含义是“甲恰好投中2次”或“乙恰好投中2次”。

显然是错误的。

例2，设想向某家庭打电话。

假定在其家中有人时，打进的电话铃响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，则在铃响的前四声内电话被接的概率是多少？
设定电话铃响第一声时被接的事件为A1，电话铃响第二声时被接的事件为A2，电话铃响第三声时被接的事件为A3，电话铃响第四声时被接的事件为A4，则“在电话铃响的前四声内被接”的事件是上述互斥事件的和。

故此有：
P=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9。

如果错误地将上述四个事件理解为相互独立，则可能会出现下列错误的计算方式：
P=P（A1）·P（A2）·P（A3）·P（A4）=0.0012 。

该式有“一次电话、被接了四次”的含义，显然错误。

例3. 设想一位猎人在距离100米处发现一只野兔并开枪射击。

其第一枪的命中率为0.5；如果第一枪没命中，则猎人进行第二次射击，但距离变为150米，其命中率为0.3；如果又没命中，还可以进行第三次射击，但距离变为200米，其命中率为0.2。

请问其三枪内命中野兔的概率是多少？
将该猎人在第i枪命中野兔的事件记为Bi，（i=1,2,3），则P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=0.2。

并将最终命中野兔的事件记为B。

B1、B2、B3不是互斥事件，而呈相互独立的关系。

这是因为虽然猎人在第i枪命中野兔事件的发生要受到前一次是否命中野兔事件的影响，但第i枪命中野兔事件的概率只与猎人和野兔之间的距离有关，与前一次是否命中野兔事件无关。

故此只要事件B1、B2、B3当中有一个发生，则命中野兔的事件B也就发生，即有：
P(B)=1-P[(B1并B2并B3）的逆]=1-P[（B1的逆）（B2的逆）（B3的逆）]
=1-P（B1的逆）P（B2的逆）P（B3的逆）=1-0.5*0.7*0.8=0.72
尽管B1、B2、B3不是互斥事件，所以不能用P（B）=P（B1+B2+B3）=P（B1）+P（B2）+P（B3）的公式来计算命中野兔的概率。

但B1、与"(B1的逆）交B2”及"(B1的逆）交(B2的逆）交B3”为互斥事件，因此也可以经由下式来计算三枪内命中野兔的概率：
P（B）= 0.5+0.5*0.3 + 0.5*0.7*0.2=0.72。

4.借鉴意义
我们学习数学知识的目的，绝对不是为了“脑筋急转弯”，而是为了完善自己的心智、增强自己的思维能力、提高自己的逻辑表达技巧。

写到这里，我的脑中油然而生这样一句话：
我们的人生目标可能互斥，但绝对不可能相互独立，所以我们要学会相互尊重，学会相互妥协，学会把他人的理性行动作为自己决策的既定前提。