陕西省黄陵中学2017-2018学年高一重点班下学期开学考

高一重点班开学考试数学试题
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．设集合{|01}M x x =≤≤， 2{|1}N x x =≥，则()R M C N ⋃=（） A. []0,1 B. ()1,1- C. (]1,1- D. ()0,1
2．若直线:l y kx =30x y +-=相11交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）
A. ()
000,60 B. ()0030,60 C. ()0030,90 D. ()
0060,90 3．若()()0.2
422,log 3.2,log 0.5a b c ===，则( )
A. b c a >>
B. b a c >>
C. c a b >>
D. a b c >>
4．下列函数中,既是偶函数又在区间()0,∞+上递增的函数为 A. 3y x = B. 2log y x = C. y x = D. 2y x =- 5. 函数y =1－
1
1
-x , 则下列说法正确的是 A.y 在(－1,+∞)内单调递增 B.y 在(－1,+∞)内单调递减 C.y 在(1,+∞)内单调递增
D. y 在(1,+∞)内单调递减
6. 正方体的内切球与外接球的半径之比为
A ．3∶1
B ．3∶2
C ．1∶3
D ．2∶3
7. 已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直,则实数a 的
值为
A ．-1或2
B ．-1或-2
C ．1或2
D ．1或-2
8. 下列命题中错误的是
A 若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥
B 若α//β，//γβ 则//αγ
C 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ= ，则l ⊥γ
D 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β
9、定义22⨯矩阵12142334=a a a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎦⎣
，若cos sin ()cos(2)cos sin 2x x f x x x x π⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
，则()f x （ ）
A. 图象关于(),0π中心对称
B. 图象关于直线2
x π
=对称
C.在区间[,0]6
π
-
上的最大值为1 D. 周期为π的奇函数
10、下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量与是共线向量，则A,B,C,D 四点共线
B. 若O 为∆ABC 所在平面内一点，且0=++OC OB OA ，则点O 是∆ABC 的外心。

C. 已知点P 为∆ABC 所在平面内一点，且PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是∆ABC 的垂心。

D. ),,1(),3,2(,k AC AB ABC ==∆中若三角形ABC 为直角三角形，则3
2
-
=k 。

11、设函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0），且函数f （x ）的部分图象如图所示，则有（ ）
A ．)67()35()43(πππf f f <<-
B ．)35()67()43(π
ππf f f <<- C ．)43()67(
)35(πππ-<<f f f D ．)6
7()43()35(π
ππf f f <-< 12、已知在ABC ∆中，角B A ,都是锐角，且0cos )sin(3)sin(=+++C C A C B ，则A ta n 的最大值为（ ） A.
43 B ．3 C ．2
1
D ．2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填写在答题卡相应位置上）。

13．求过(2,3)点，且与(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为
14．若
12
1
()log (21)
f x x =
+，则()f x 的定义域为
15．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
16．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）
已知函数()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-．
（1）求函数()h x 的定义域；
（2）判断()h x 的奇偶性，并说明理由；
（3）若()32f =，求使()0h x <成立的x 的集合．
18．（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P 和Q （万元），它们与投入资金m （万元）
的关系有经验公式1
653P m =+
，76Q =+150万元资金投入生产甲、乙两种
产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．
（1）设对乙产品投入资金x 万元，求总利润y （万元）关于x 的函数关系式及其定义域； （2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？
19.(本小题满分12分）如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得
00(1)()(1)f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”.
（1）试判断函数1
()f x x
=
是否为“可拆分函数”？并说明你的理由；
（2）证明：函数2()2x f x x =+为“可拆分函数”； （3）设函数()lg 21
x
a
f x =+为“可拆分函数”，求实数a 的取值范围.
20（本小题满分12分）已知函数π
()sin(2)(0,||)
2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为（π
6
，0）
(1)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝1
3
在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．
21.已知圆()2222224004x y ax ay a a a ++-+-=<≤的圆心为C ，直线:l y x m =+. (1)求圆心C 的轨迹方程；
(2)若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；
(3)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(]0,4上变化时，求m 的取值范围.
22.如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A =∠°，6BC =，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，
CD BE =，O 为BC 的中点，将ADE △沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥'A BCDE -，
其中'A O =
(1)证明：'A O ⊥平面BCDE ；
(2)求二面角'A CD B --的平面角的余弦值； (3)求直线CB 与平面'A BE 所成角的正弦值.
CCDC CCBD CCDA
13． 2x =或43170x y +-= 14．1|,02
x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎭
⎩
1 16.
34
π
17．【解】（1）要使函数有意义，则10
10
x x +>⎧⎨->⎩，计算得出11x -<<，
故h (x )的定义域为()1,1-； （2）()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a h x x x x x h x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦ …
故h (x )为奇函数． （3）若f (3)=2， ()log 13log 42a a ∴+==，得a =2，
此时()()()22log 1log 1h x x x =+--，若()0h x <，则()()22log 1log 1x x +<-， 011x x ∴<+<-，得10x -<<， …… 所以不等式的解集为()1,0-．
18．【解】（1）根据题意，对乙种商品投资x （万元），对甲种商品投资（150﹣x ）（万元）
（25≤x ≤125）．所以()11
150657619133
y x x =
-+++=-+ …4分 其定义域为[25，125]
（2）令t =x ∈[25，125]，所以t ∈[5，5 5 ]，
有()2
162033
y t =-
-+ …
当[]5,6t ∈时函数单调递增，当t ⎡∈⎣时函数单调递减，
所以当t =6时，即x =36时，y max =203
答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万 元．
19.解:(1)假设f(x)是“可分拆函数”,则 存在x0,使得 即 ,而此方程的判别式△=1-4=-3<0, 方程无实数解,所以,f(x)不是“可分拆函数”
(2)证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1), 则h(x)=2x+1+(x+1)2-2x-x2-2-1=2(2x-1+x-1) 又h(0)=-1,h(1)=2,故h(0)h(1)<0. 所以h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=0
在上有实数解x0,也即存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立, 所以,f(x)=2x+x2是“可分拆函数”
(3)因为函数f(x)= 为“可分拆函数” 所以存在实数x0,使得 且a>0所以, 令 ,则t>0,所以, 由t>0得 ,即a 的取值范围是
20.(1)f(x)＝sin(2x －π3)．
令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z)，即函数y ＝f(x)图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z)．
(2)由条件知sin(2x1－π3)＝sin(2x2－π3)＝13>0，设x1<x2，则0<x1<5π12<x2<2π3，易知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于直线x ＝5π12对称，则x1＋x2＝5π6，∴cos(x1－x2)＝cos[x1－(5π6－x1)]＝cos(2x1－5π6)＝cos[(2x1－π3)－π2]＝sin(2x1－π3)＝13.
21.(1圆的圆心坐标为()(),04a a a -<≤. 所以圆心的轨迹方程为()040x y x +=-≤<.
(2)已知圆的标准方程是()()()2
2
404x a y a a a ++-=<≤.
则圆心C 的坐标是(),a a -，半径为.
直线l 的方程化为：40x y -+=，则圆心C 到直线l a =-，
设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
L ===
∵04a <≤，∴当3a =时，L 的最大值为
(3)因为直线l 与圆C =
即2m a -=又点C 在直线l 上方，∴a a m >-+，即2a m >，
∴2a m -=)
2
11m =
-.
∵04a <≤，∴0≤
∴1,8m ⎡∈--⎣.
22.(1)在图1、2中，连接OD ，OE ，易得3OC =，AC =AD =，OD OE =
因为''A D A E ==
222''A D A O OD =+,222''A E A O OE =+，
即'A O OD ⊥，'A O OE ⊥， 所以'A O ⊥平面BCDE .
(2)在图2中设CD ，BE 交于R 点，取CR 中点M ，连接OM ，'A M ，则 OM CR ⊥，'A M CR ⊥，
则'A MO ∠就是二面角'A CD B --的平面角，
其中OM =
，'A M =，
cos ''OM A MO A M =
=∠(3)取BR 中点N ，连接'A N 和ON ，作'OQ A N ⊥，则OQ ⊥平面'A BE ， 所以OBQ ∠就是直线BC 与平面'A BE 所成的角，
易得OQ =
，3OB =，
所以sin OQ OBQ OB ==∠.。