江西省九江七校2013-高二下学期期中联考 理科数学试卷A3

A ．1
B ． -1
C ．i
D ．－i
2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法
B ．分析法
C .反证法
D ．归纳法
3. 设函数()y f x =在R 上可导，则x
f x f x ∆-∆+→∆3)
1()1(lim
等于（ ）
A ．'(1)f
B ．3'(1)f C. 1
'(1)3
f D ．以上都不对
( )
A ．a ，b ，c 都是偶数
B ．a ，b ，c 都是奇数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 5.设
[][]
{
1,0,2,1,22)(∈∈-=
x x x x x f ，则
⎰
2
)(dx x f 等于( )
A.3
4
B.4
5 C.56
D ．不存在
6.设*211111
()()123S n n n n n n n
=+++++
∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）
A ．
12
B ．1123+
C ．111234++
D ．11112345+++
7.已知函数f (x )＝－1
2
x 2＋4x －3ln x 在上不单调，则t 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)∪(2,3)
B ．(0,2)
C ．(0,3)
D ．(0,12,3)
8.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 都成立，
则（ ） A ．－1<a<1 B ．0<a<2 C ．－12<a<32
D ．－32<a<1
2
9.若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1，x 2，且f （x 1）=x 1，则关于x 的方程
3(f (x ))2+2a f (x )+b =0的不同实根个数是 A.3 B.4 C.5 D.6
10.如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC 中边长为1的正三角形，曲线CA 1，21A A 、32A A 是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、1BA 、2CA 为半径画的圆弧，曲线321A A CA 记为螺旋线的第一圈。

然后又以A 为圆心，3AA 为半径画圆弧......这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度n l 为（ ） A. )3(2n n +π B.π)13(2+-n n
C.2)3(2πn n +
D.2
)13(2π
+-n n
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.已知复数z ＝2－i
1－i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝______.
12.函数f （x ）=x-ln （x+1）的减区间是 .
13.函数()()20f x ax c a =+≠，若()()1
00f x dx f x =⎰，其中010x -<<，则0x 等
于 .
14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2
4.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方
体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的
体积恒为______
15.定义在区间上的连续函数y=f （x ），如果∃ξ∈，使得
f （b ）-f （a ）=f'（ξ）（b-a ），则称ξ为区间上的“中值点”．下列函数：①f
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）已知曲线b ax x f +=3)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是13-=x y ，（1）求)(x f y =的解析式； （2）求曲线过点()0,1-的切线的方程.
17．（12分）若,x y 都是正实数，且2,x y +>求证：12x y +<与12y x
+<中至少有一个成立.
18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足21211
n n n n
S S n n -=+-+，且*11
,2
a n N =∈
(1)试求出123,,S S S 的值；
(2)根据123,,S S S 的值猜想出n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
19.（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （Ⅰ）将V 表示成r 的函数V （r ），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V （r ）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
20．（本小题满分13分） 已知函数()(0)a
f x x b x x
=+
+≠，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))P f ，处的切线方程为31y x =+，求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
，不等式()10f x ≤在114⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求b 的取值范围．
21.（14分）如图，已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，过点（0，0），（1，0）和（2，6）.直线l 1：x=2，直线l 2：y=3tx （其中-1＜t ＜1，t 为常数）；若直线l 2与函数f （x ）的图象以及直线l 1，l 2与函数f （x ）以及的图象所围成的封闭图形如阴影所示． （1）求y=f （x ）；
（2）求阴影面积s 关于t 的函数y=s （t ）的解析式； （3）若过点A （1，m ）)4(≠m 可做曲线))((R t t s ∈
的三条切线，求实数m 的取值范围.
高二数学（理科）参考答案
11.10
2 12.（-1，0） 13. 14.a 38 15.①④
三.解
答
题
(12+
12+12+12+13+14=75)
16.（1）解：因为2
/
3)(ax x f =
所以a f 3)1(/
=，又因为函数在1x =处的切线方程是13-=x y 所以133=⇒=a a
又因为b ax x f +=3
)(的图像过（0，1） 所以1=b
所以1)(3
+=x x f ...........6分
（2）解：设函数在切点（—1,0）处的斜率为k
所以3)1(/
=-=f k 由点斜式可得切线方程为 33+=x y .......12分
17.证明：假设
12x y +<和12y
x +<都不成立，则有
21≥+y x 和21≥+x
y 同时成立， 因为0x >且0y >， 所以y x 21≥+且x y 21≥+ 两式相加，得y x y x 222+≥++.
所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾. 因此
12x y +<和12y x
+<中至少有一个成立。

..........12分 18.解：(1)2
111=
=a s ,342=s ,49
3=s .......3分
（2）由（1）猜想1
2
+=n n s n ..........5分
（i ）当n=1时，左边=2
1
11==a s ，右边=1112+=21，所以等式成立。

.......7分
（ii ）假设n=k 时成立，即1
2
+=k k s k .........8分
则当n=k+1时，左边
==++=++++-++=+++-++=+2
)1(211.1)1()1(211)1()1(2
22
2221k k k k k k k k k k s k k s k k 右边。

∴当n=k+1时，等式成立。

............11分 由（i ）（ii ）可知，对*
N n ∈，等式成立....12分
19.（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh 元， 底面积成本为160πr 2元，
∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr 2元, 即200•πrh+160πr 2=12000π
∴当r ∈（0，5）时，V ′（r ）＞0，函数V （r ）为增函数
且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大......12分 20．（Ⅰ）解：2()1a
f x x
'=-
，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． 由切点(2(2))P f ，在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =． 所以函数()f x 的解析式为8
()9f x x x
=-+．.........3分 （Ⅱ）解：2
()1a f x x '=-
． 当0a ≤时，显然()0(0)f x x '>≠，这时()f x 在(0)-∞，，(0)+，∞内是增函数．
当0a >时，令()0f x '=，解得x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在-∞，，+∞内是增函数，在(，(0内是减函数．
.......7分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在114⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
上的最大值为14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
与(1)f 中的较大者，对于任意的1
22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
，不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，当且仅当
1104(1)10f f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩
≤，≤， 即39449b a b a ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，≤对任意的122a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，成立． 从而得74b ≤
，所以满足条件的b 的取值范围是74⎛
⎤- ⎥⎝
⎦∞，．.................13分
21.（1）由二次函数过点（0,0），（1，0)和（2,6），
得
{
624==++=++c c b a c b a ，解得
{
33
=-==a b c
∴函数f （x ）的解析式为f （x ）=3x 2-3x...........3分
（2）{
x
x y tx y 3332-==得x 2-（1+t ）x=0，
∴x 1=0，x 2=1+t ，∵-1＜t ＜1，
∴直线l 2与f （x ）的图象的交点横坐标分别为0，1+t ，且0<t+1<2,....5分 由定积分的几何意义知：
=（1+t ）3+2-6t ，
即s （t)的解析式s （t)=（1+t ）3+2-6t ，（-1<t<1）......7分 （3）∵曲线方程为s （t)=（1+t ）3+2-6t ，∴6)1(3)(2
'-+=t t s ，
又点A （1，m),m ≠4不在曲线上，设切点M 为（x 0，y 0），
则点M 的坐标满足03
0062)1(x x y -
++=， ∵6)1(3)(2
00'-+=x x s ，
整理得2x 03−6x 0+m ＝0，∵过点A （1，m)可作曲线三条， ∴有三个不等实根.
设g （x 0）=2x 03−6x 0+m ，则g ′
(x 0)＝6x 02−6，
由g ′（x 0）＞0，得x 0＞1或x 0＜-1；由g ′
（x 0）＜0得-1＜x 0＜1，
∴g（x0）在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，∴当x0=-1时，函数g（x0）取极大值，当x0=1时，函数g（x0）取极小值，
因此，关于x0的方程2x03−6x0+m＝0有三个不等实根的充要条件是{0)1(
)1(
>
-
<
g
g，
解得-4<m<4,故实数m的取值范围是（-4，4）...........14分。