第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数
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第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数
【知识要点】
1.任意角和弧度制.
(1) 角的概念:角的形成,角的顶点、始边、终边.
(2) 角的分类(以旋转方向为标准):正角;负角;零角.
(3) 终边相同的角:与α角终边相同的角的集合(连同α角在内),可以记为
},360|{Z k k ∈+︒⋅=αββ或},2|{Z k k ∈+=απββ.
(4) 象限角与轴线角(以终边位置为标准):顶点在原点,始边与x 轴非负半轴重合,则终边落在第几象限,就称这个角是第几象限的角. 终边落在坐标轴上则是轴线角.
(5) 度量:角度制与弧度制以及弧度与角度互换公式:
'︒=︒≈︒=185730.571801πrad ,rad
01745.01801≈=
︒π.
注:特殊角角度与弧度的互化要熟练
(6)弧长公式:r l ⋅=||α,扇形面积公式:211||22
s lr r α=
=⋅ 2任意角的三角函数.
(1)掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义.
(2)了解余切、正割、余割的定义
(3)掌握正弦、余弦、正切和余切函数的定义域和这四种函数值在各个象限的值的符号.
由于三角函数的定义采用了角的终边上任意一点的坐标以及它们之间的相应的比.所以不难推得以下的结论:
(4)终边相同的角的三角函数值相等
sin (α+k ·360°)=sin α cos (α+k ·360°)=cos α tan (α+k ·360°)=tan α
(5)单位圆中的三角函数线
1°有向线段;规定了方向的线段.
2°三角函数线:在单位圆中某些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值.记称它们为三角函数线.
【典型例题】
例1 已知︒=45α,
(1)写出与α终边相同的角的集合;(2)在区间]0,720[︒︒-内找出与α终边相同的角β
例2(1)︒600角的终边在第几象限;
(2)已知α为第二象限角,判断
2α的终边所在的位置;3
α呢?
例3、写出终边在下列阴影部分内的角的集合:
例4、一扇形的周长为20cm ,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?
例5、求三角函数的值35sin 4cos
tan 3sin cos522
πππππ++-
+
α
例6、已知α是第三象限角,试判定sin(cos )cos(sin )a a •的符号
【经典练习】 1、已知34sin ,cos 2525
αα==-,那么α的终边在( ) A 、第一象限 B 、第三或第四象限 C 、第三象限 D 、第四象限
2、设θ是第二象限角,且满足|sin θ2|= -sin θ2 ,则θ2
是第 象限的角 3、已知角α的终边经过点P (-3,4),则=αsin ;=αcos ;tan α=
4、在ABC ∆中,若cos tan sin 0A B C ••<,则这个三角形一定是 三角形
5、若sin 23()14a >,则角a 是第 象限角
6、已知角α是第二象限角,试确定2α、
2α所在的象限
8、判断下列各式的符号 19257cos sin()tan 6312
πππ•-• sin3cos4tan5•• 9、写出满足下列条件的角的集合:
(1)sin a >
(2)1cos 2
a ≤ (3)tan 1a >
【课后作业】
1、若sin 0α<且tan 0α>是,则α是( )
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角
2、已知角α的终边在直线340x y +=上,则tan α等于( )
A. 34
B. 34-
C. 34-或34
D. 43
- 3、已知角α的终边经过点P (5,-12),则sin α+cos α= .
4、若角α是第四象限角,且cos cos 22α
α
=-,则2α
是第 象限角
5、已知(0,)a π∈在sin ,cos ,tan ,tan
2
a a a a 中,有可能取负值的是 6、若角θ的终边与角67π的终边相同,求在[]0,2π内终边与角3θ的终边相同的角
7、函数cos sin tan sin cos tan x x x y x x x
=
++的值域。