2013年高考数学总复习 高效课时作业7-5 理 新人教版

2013年高考数学总复习高效课时作业7-5 理新人教版1．(2011某某)下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项易知均是正确的．
答案：D
2．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB ＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )
A.
2
3
B.
3
3
C.
6
3
D．1
解析：如图，在直二面角α­l­β中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴平面ABC⊥平面BCD.
过D作DH⊥BC，垂足为H，则DH⊥平
面ABC，即DH为D到平面ABC的距离．
∵AC⊥β，BC⊂β，∴AC⊥BC.
在Rt△ACB中，∵AC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝22－12＝ 3.
在Rt△BCD中，BC＝3，BD＝1，
∴CD＝BC2－BD2＝3－1＝ 2.
由1
2
BD·CD＝
1
2
BC·DH得
1
2
×1×2＝
1
2
×3·DH，
∴DH＝
6
3
.
答案：C
3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，
且A1C与底面成45°角，AB＝BC＝2，则该棱柱
体积的最小值为( )
A．4 3 B．3 3 C．4 D．3
解析：由已知得BC⊥AB，面A1B⊥面ABC且交线
为AB，故A1在面ABC上的射影D在AB上．由A1C
与底面成45°角得A 1D ＝DC ，当CD 最小即CD ＝BC 时A 1D 最小，此时V min ＝12
×AB ×BC ×A 1D ＝12
×2×2×2＝4.故选C. 答案：C
4．a ，b ，c 是三条不同直线，α，β是两个不同平面，b ⊂α，c ⊄α，
则下列命题不成立的是( )
A ．若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β
B ．“若b ⊥β，则α⊥β”的逆命题
C ．若a 是c 在α内的射影，b ⊥a ，则c ⊥b
D ．“若b ∥c ，则c ∥α”的逆否命题．
解析： ⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥βc ⊥α⇒c ⊥β，选项A 的命题成立． “若b ⊥β，则α⊥β”的逆命题为“若α⊥β，则b ⊥β”．
∵b ⊂α，∴b 还可能与β平行或斜交，
故选项B 的命题不成立．
验证至此可选B.
答案：B
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④
解析：①只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，这两个平面才相互平行，所以①错；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②正确；③垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③错；④根据两个平面垂直的性质定理易知④正确．故选D.
答案：D
二、填空题
6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为
______．
解析：取A 1B 1的中点F ，连接EF ，AF .
∵在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，
EF ∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，
∴EF ∥BC ，∴∠AEF 即为异面直线AE 与BC 所成的角．
设正方体的棱长为a ，
则AF ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2
＝52a ，EF ＝a . ∵EF ⊥平面ABB 1A 1，∴EF ⊥AF ，
∴AE ＝AF 2＋EF 2＝32
a . ∴cos ∠AEF ＝EF AE ＝a 32
a ＝23. 答案：23
7．正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________．
解析：依题意知，动点P 的轨迹为如图所示的三角形
EFG ，容易求得，EF ＝12BD ＝2，GE ＝GF ＝12SB ＝
12
6， 所以轨迹的周长为2＋ 6.
答案：2＋ 6 8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值X 围是________．
解析：如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连结GK ，
∵平面ABD ⊥平面ABC ，
又DK ⊥AB ，
∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF .
∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .
容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点，
∴t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 9．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，
D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C
所成的角为α，则sin α＝________．
解析：如图，取AC ，A 1C 1的中点E ，F ，连接EF 、
B 1F 、BE ，过点D 作DH ⊥EF ，连结AD 、AH ，则
DH ⊥面AA 1C 1C ，所以∠DAH 为所求．
在Rt △ADH 中，AD ＝2，DH ＝
32， sin α＝DH AD ＝
3
22＝64. 答案：
64 三、解答题
10．(2012年某某高考)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1
中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点
(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．
求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；
(2)直线A 1F ∥平面ADE .
证明：(1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥
平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .
又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，
所以AD ⊥平面BCC 1B 1，又AD ⊂平面ADE ，
所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.
(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.
因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F .
又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥
平面BCC 1B 1.
由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .
又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .
11．(2012年某某二模)如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝23，AC＝BC，AF
＝1
3
AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上．
(1)求证：平面ACD⊥平面BCD；
(2)求证：AD∥平面CEF.
证明：(1)依题意：AD⊥BD
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD
∵BD∩CE＝E，∴AD⊥平面BCE.
又AD⊂平面CAD，∴平面ACD⊥平面BCD.
(2)Rt△ABD中，AB＝23，AD＝ 3
∴BD＝3，连接AE在Rt△ACE和
Rt△BCE中AC＝BC，CE＝CE，
∴Rt△ACE≌Rt△BCE，∴AE＝BE，
设DE＝x，则AE＝BE＝3－x，
在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，
∴3＋x2＝(3－x)2，解得x＝1∴BE＝2，
∴BF
BA ＝
BE
BD
＝
2
3
∴AD∥EF.
∵AD在平面CEF外，∴AD∥平面CEF. 12．(2011某某)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，
AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明PB∥平面ACM；
(2)证明AD ⊥平面PAC ；
(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
解析：(1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，
因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又
M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .
(2)因为∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，
即AD ⊥AC .
又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
所以PO ⊥AD .
而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .
(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12
PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO
中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54
. 在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154
＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455
.。