2019届天津市河西区高三下学期一模考试数学试卷(理工类)附解析

2019届天津市河西区高三下学期一模考试数学试卷（理工类）附解析
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
·如果事件
A ，
B 互斥，那么
()()()P A B P A P B =+
·如果事件
A ，
B 相互独立，那么 )()()(B P A P AB P ⋅=
·柱体的体积公式Sh V
=
·锥体的体积公式Sh V
3
1=
其中S 表示柱（锥）体的底面面积 h 表示柱（锥）体的高
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合}043|{},2|{2
≤-+=->=x x x T x x S ,则()
R C S T =
（A ）(2,1]- （B ）]4,(--∞ （C ）]1,(-∞
（D ）),1[+∞
（2）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,则2x y +的最大值是
（A ）5-
2
（B ）0
（C ）
53
（D ）
52
（3）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
（A ）
5
9 （B ）
116 （C ）
137
（D ）
158
（4）设x ∈R ，则“|1|1x +<”是“11
2
x -<
”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条
件
（5）设3log a e =, 1.5b e =，1
3
1
log 4
c =，则 （A ）c a b << （B ）b a c <<
（C ）a b c << （D ）b c a <<
（6）以下关于()x x x f 2cos 2sin -=的命题，正确的是
（A ）函数()x f 在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛3
2,
0π上单调递增 （B ）直线8
π
=x 是函数()x f y =图象的一条对称轴
（C ）点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,4π是函数()x f y =图象的的一个对称中心 （D ）将函数()x f y =图象向左平移
8
π
个单位，可得到x y 2sin 2=的图
（第3题图）
象
（7）已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2
21x y a
-=的
左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是
（A ）
19
（B ）
125
（C ）
15
（D ）
13
（8）如图梯形ABCD ，CD AB //且
5AB =,24AD DC ==，E 在线段 BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的
最小值为
（A ）
13
15 （B ）
13
95 （C ）15 （D ）13
15-
（第8题图)
河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数 学 试 卷（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）i 是虚数单位，若复数z 满足(34)5i z -=,则z = .
（10）在二项式5
3)1(x
x -的展开式中常数项为 .
（11）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，
cm AD AB 3==，cm AA 21=，则四棱锥
D D BB A 11-的体积为 3cm .
（12）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C ,点P 的极坐标为2(2,
)3
π
, 则CP 的长度为 .
（13）已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，则xy 的最小值为 .
（14）已知定义在R 上的函数()x f 满足()[)[)
⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈+=0,1,21,0,222x x x x x f ，且()()x f x f =+2，()2
5
2++=
x x x g ，则方程()()x g x f =在区间[]1,5-上的所有实根之和为 . （第11题图)
我市空气质量
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
在ABC ∆中，C B A ,,对应的边为c b a ,,.已知b c C a =+2
1
cos . （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若4b =，6c =，求B cos 和()cos 2A B +的值.
（16）（本小题满分13分）
5.2PM 是指大气中直径小于或等于5.2微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 虽然5.2PM 只是地
球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国5.2PM 标准如下表所
示.我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的5.2PM 监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示.
（Ⅰ）求这15天数据的平均值；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ的分布列
和数学期望；
（Ⅲ）以这15天的5.2PM 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级. （17）（本小题满分13分）
如图,已知四边形ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AD DC ⊥,4AD =,DC =
2BC =,G 为线段AD 的中点,PG ⊥平面ABCD ,2PG =,M 为线段AP 上
一点(M 不与端点重合). （Ⅰ）若AM MP =. (ⅰ)求证:PC ∥平面BMG ；
(ⅱ)求直线PB 与平面BMG 所成的角的大小；
（Ⅱ）否存在实数λ满足AM AP λ=,使得平面BMD 与平面ADP 所成的锐角为
3
π
,若存在,确定λ的值,若不存在,请说明理由.
（18）（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1)(2)
n n n n
n a c b ++=+ ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
A
D
（19）（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆122
22=+b
y a x ()0>>b a 的左、右焦点，顶点B
的坐标为()b ,0，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接C F 1.
（Ⅰ）若点C 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛31,34，且22BF =，
求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若AB C F ⊥1，求椭圆离心率e 的值.
（20）（本小题满分14分）
已知函数()x x e x f x -+=2，()R b a b ax x x g ∈++=,,
2．
（Ⅰ）当1=a 时，求函数()()()x g x f x F -=的单调区间；
（Ⅱ）若曲线()x f y =在点()10，
处的切线l 与曲线()x g y =切于点()c ，1，求c b a ,,的值； （Ⅲ）若()()x g x f ≥恒成立，求b a +的最大值．
天津市河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数学试题（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
（1）C
（2）C
（3）A
（4）A
（5）D （6）D （7）A （8）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
（9）
3455
i + （10） 10- （11） 6
（12）（13） 64 （14）7-
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、诱导公式、和角的正余弦公式以及正余弦定理等基础知识. 考查运算求解能力.满分13分
（Ⅰ）解：由条件b c C a =+
21cos ，得B C C A sin sin 2
1
cos sin =+， 又由()C A B +=sin sin ，得C A C A C C A sin cos cos sin sin 2
1
cos sin +=+
. 由0sin ≠C ，得21cos =
A ，故3
π
=A . ………………………6分
（Ⅱ）解：在ABC 中，由余弦定理及4b =，6c =，3
π
=
A ,
有2222cos a b c bc A =+-
，故a =由sin sin b A a B =
得sin B =
b a <
，故cos B =.
因此sin 22sin cos B B B
==
,2cos 22cos 1B B =-1
7
=. 所以cos(2)A B +11
cos cos 2sin sin 214
A B A B =-=-
.…………………13分 （16）本小题主要考查茎叶图、平均数的概念、超几何分布、离散型随机变量的分布列与数学期望以及二项分布等基础知识. 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：随机抽取15天的数据的平均数为：
()559231282515
1
=++++=
x ……………………6分 （Ⅱ）依据条件，的可能值为
，
当0ξ=时，035103
1524
(0)91C C P C ξ===， 当1ξ=时，125103
1545
(1)91C C P C ξ=== , 当2ξ=时，215103
1520
(2)91C C P C ξ=== ， 当3ξ=时，305103
152
(0)91
C C P C ξ=== ,
所以其分布列为： 10分 （Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51
153
P =
=， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1(360,)3
B η
，
∴1
3601203
E η=⨯
=（天） 所以一年中平均有
天的空气质量达到一级. ………………………13分
（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、直线与平面所成角、二面角等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 满分13分
（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接AC 交BG 于点O ,连接OM ,CG ,依题意易证四边形ABCG 为平行四边形.
AO OC ∴= 又PM MA =，
MO ∴∥PC 又MO ⊂平面BMG ,PC ⊄平面BMG ，
∴PC ∥平面BMG . ………………………3分
(ⅱ)解：如图,在平面四边形BCDG 中
BG ∥CD ，
CD GD ⊥，BG GD ∴⊥
以G 为原点建立空间直角坐标系O xyz - 则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)G P D ，
(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0)A B C -(0,1,1)M - (2,0,2)PB ∴=-，(2,0,0),(0,1,1)GB GM ==-
设(,,)x y z =n 为平面BMG 的法向量
1
A
y
则00
GB GM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得200x y z =⎧⎨-+=⎩，不妨设(0,1,1)=n
21
sin cos ,42
PB θ∴==
=
=n 又[0,],2
6
ππ
θθ∈∴=
即直线PB 与平面BMG 所成的角的大小为
6
π
. ………………………9分 （Ⅱ）设(0,2,2)(0,2,2),(0,1)AM AP λλλλλ===∈
∴(0,22,2)M λλ-
(2,22,2),(2,2,0)BM DB λλ∴=--=-,
设(,,)x y z =m 为平面BMD 的法向量,
则00
DB BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得，220(24)20x y y z λλ-=⎧⎨-+=⎩，不妨设
λ=m 又平面ADP 的法向量为(1,0,0)=n ,
|cos ,|∴m n 1
2
=
=. 2440λλ∴+-=2λ∴=-±(0,1)λ∈，λ∴=.……………………13分
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式、由前n 项和公式求通项公式的及用错位相减法求数列前项和.考查运算求解能力.满分13分.
（Ⅰ）解：根据题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n . 设数列{}n b 的公差为d ，
⎩⎨
⎧+=+=3
22211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721121，可解得⎩⎨⎧==34
1d b ，所以13+=n b n . ………6分 A
y
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，11
(66)3(1)2(33)
n n n n
n c n n +++==+⋅+， 又123n n T c c c c =+++
+，
得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+
++⨯ 345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+
++⨯，
两式作差，得
234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++
+-+⨯
22
4(21)
3[4(1)2]
21
32n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以232n n T n +=⋅ . ……………………13分
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分
（Ⅰ）解：由题意知2
2222
2BF b c a =+== ，
因为点⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,34C 在椭圆上，所以1313422
22
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ，解得12=b ，
所以椭圆方程为12
22
=+y x . ……………………5分 （Ⅱ）解：易知()b c BF -=,2，因为点()()0,,,02c F b B 在直线AB 上，
所以直线AB 的方程为1=+b
y
c x .设()()2211,,,y x B y x A ，
联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1122
22b y a x b
y c x ，得()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=22221222
12c a a c b y c a c a x ，⎩⎨⎧==b y x 2
20
所以点A (
)⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-+2
22
2222,2c a a c b c a c a ，又x AC ⊥轴，所以椭圆对称性，可得点
()22222222,b a c a c C a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭
，所以⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++=22322321,3c a b c a c c a C F , 又因为AB C F ⊥1，所以()2224
1222
2230c a c b FC BF a c a c
+⋅=-=++， 即()()
03222222=--+c a c a c ，化简得5
5,52
2==e a c . ……………14分
（20）本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的性质、不等式的性质等基础知识和方法.考查分类讨论思想和化归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分 （Ⅰ）解：()()()b x e x g x f x F x --=-=2，则()2-='x e x F . 令()02>-='x e x F ，得2ln >x ，所以()x F 在()+∞,2ln 上单调递增.
令()02<-='x e x F ，得2ln <x ，所以()x F 在(),ln 2-∞上单调递减. ………5分 （Ⅱ）解：因为()12-+='x e x f x ，所以()00='f ，所以l 的方程为1=y .
依题意，1,12
-
==c a
.于是l 与抛物线()b x x x g +-=22切于点()11，
， 由1212=+-b 得2=b ，所以1,2,-2===c b a …………8分 （Ⅲ）解：设()()()()b x a e x g x f x h x -+-=-=1，则()0≥x h 恒成立. 易得()()1+-='a e x h x . （1）当01≤+a 时，
因为()0>'x h ，所以此时()x h 在()∞+∞，
-上单调递增． ①若01=+a ，则当0≤b 时满足条件，此时1-≤+b a ；
②若01<+a ，取00<x 且1
10+-<
a b x ， 此时()()()
01
1111000=-+-+-<-+-=b a b
a b x a e x h x ，
所以()0≥x h 不恒成立．不满足条件； （2）当01>+a 时，
令()0='x h ，得()1ln +=a x .由()0>'x h ，得()1ln +>a x ； 由()0<'x h ，得()1ln +<a x .
所以()x h 在()()1ln -+∞a ，
上单调递减，在()()+∞+,1ln a 上单调递增. 要使得“()()01≥-+-=b x a e x h x 恒成立”，
必须有“当()1ln +=a x 时，()()()011min ≥-+-+=b x a a x h ”成立． 所以≤b ()()11a a x +-+，则()()()11ln 112-++-+≤+a a a b a ． 令()0,1ln 2>--=x x x x x G ，则()x x G ln -1='. 令()0='x G ，得e x =．由()0>'x G ，得e x <<0；
由()0<'x G ，得e x >．所以()x G 在()e ,0上单调递增，在()∞+，
e 上单调递减， 所以，当e x =时，()1max -=e x G ．
从而，当0,1=-=b e a 时，b a +的最大值为1-e ．
综上，b a +的最大值为1-e ． ……………14分。