第一章有理数

第一章：有理数
考点一：正负数表示的意义（具有表示相反的意义的量）
注意：0既不是正数也不是负数
例：1.下列选项中含有相反意义的两个量是（）
A．盈利1千元和收入2千元 B.上升8米和后退8米
C.存入一千元和取出两千元过2厘米和上涨2厘米
2.如果零上6℃记作+3,则这个问题中,基准是( )
A.零上3℃
B.零下3℃
C.0
D.以上都不是
3.上升9记作+9,那么上升6又下降8后记作
2.判断题:
(1)不带"-"号的数都是正数
(2)带"+"号的都是正数
(3)如果a是正数，那么-a一定是负数
(4)不存在既不是整数，也不是负数的数
（5）一个有理数不是正数就是负数
（6）0℃表示没有温度
考点二:有理数的分类
正整数正整数整数0 正有理数
负整数正分数
正分数0
分数负整数负分数负有理数
负分数注意：有限小数和无限小数都是分数
非负数：正数和0的统称
非正数: 负数和0的统称
例：把下列各数填在相应的大括号内：
，1
-0.1，-789，25，2，0，-20，-3.14，200％，6
7
正整数集{ }
负整数集{ }
正分数集{ }
负分数集{ }
正有理数集{ }
负有理数集{ }
自然数集{ }
有理数集{ }
非负整数集{ }
判断：
（1）整数一定是自然数
（2）自然数一定是整数
填空：
（1）最小的自然数是
（2）最大的负整数是
（3）最小的正整数是
（4）最大的非正数是
考点三：数轴，相反数，倒数, 绝对值
数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

注意：1）数轴是直线但直线不一定是数轴
2）在数轴表示的数，右边的数总比左边的数大
3）正数都大于0，负数都小于0；
正数大于一切负数
4）所有有理数都可以用数轴上的点来表示
巩固练习：
1. 判断与填空
(1) 两个有理数表示较大的数的点离原点距离较近（）
(2) 与原点的距离为三个单位的点有个，它们分别是和
(3) 与+3表示的点有距离20000个单位的点有个，它们分别是和
(4) +3表示的点与-2表示的点距离是个单位。

2.选择题
(1)在数轴上，原点及原点左边所表示的数（）
A.整数
B.负数
C.非负数
D.非正数
(2)下列语句中正确的是（）
A.数轴上的点只能表示整数
B.数轴上的点只能表示分数
C.数轴上的点只能表示有理数
D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来
(3)若两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧,则这两个数相除所得的商( )
A.一定是正数
B.一定是负数
C.等于零
D.正.负数不确定
相反数:只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数.
位于原点两侧且到原点的距离相等的两个数叫做互为相反数.
1)数a的相反数是-a
2)0的相反数是0
3)若a,b互为相反数，则a+b=0
4)相反数等于本身的数有0
（1）一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（ ） A.-1 B.1 C.±1 D.0
(2)互为相反数的两个数在数轴上位于原点两旁( ) (3)位于原点两旁的数是互为相反数( ) (4)只要符号不同,这两个数就是相反数( ) (5)表示相反意义的量的两个互为相反数( ) (6)若-a=8，则-a 的相反数是 -(-4)的相反数是
倒数 ：乘积是1的两个数互为倒数 1) a 的倒数是1
a (a ≠0)
2) 0没有倒数
3) 若a 与b 互为倒数，则ab=1 4）倒数等于本身的数有1，-1
例：1.下列各数，那两个数互为倒数？ 8， -1
8， -1， +（-8）， 1， -（-1
8）
2.a.b 互为相反数且都不为0，则（a+b-1)(a
b +1)的值（ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.如果两个有理数的和除以它们的积,所得的商事另,那么两个有理数是( ) A.互为相反数，但不等于0 B.互为倒数 C.有一个等于零 D.都等于0
4.下列各式中,互为倒数的是( )
A.a-b 和b-a
B.(-1)X(-1)和-（1÷1）
C.1÷m 和m ÷1
D.2÷6和2
6
绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离 1）数a 的绝对值记作|a|
若a>0,则|a|=a
2） 若a<0,则|a|=-a
若a=0,则|a|=0
3) 对任何有理数a ，总有|a|≥ 0 4)互为相反数的两个数的绝对值相等 5)绝对值等于本身的数有正数和0
巩固练习 求数的绝对值 1.化简:
（1）-|-2/3|＝___； （2）|-3.3|-|+4.3|＝___； （3）1-|-1/2|=___； （4）-1-|1-1/2|=______。

(1) 当a＞0时，|2a|＝______
(2) 当a＞1时，|a－1|＝______
(3) 当a＜－2时，|a＋2|＝_____
由绝对值求数
3. 填空:
若|a|＝3，则a＝____；|a+1|＝0，则a＝____。

若|a+1|＝3，则a＝____ .
4、已知a>0，ab<0，化简|a－b+4|－|b－a－3|=_____。

5. 判断：
(1) |5|＝|－5|
(2) |－0.3|＝|0.3|
(3) |3|＞0
(4) |－1.4|＞0
(5) 有理数的绝对值一定是正数
(6) 若a＝b，则|a|＝|b|
(7) 若|a|＝|b|，则a＝b
(8) 若|a|＝－a，则a必为负数
1）一个正数的绝对值一定是正数(它本身)( ) 绝对值等于它本身的数是正数或0
2）一个负数的绝对值一定是它的相反数( ) 绝对值等于它的相反数的数是负数或0
3) 正数的绝对值大于负数的绝对值( )
4 ) 绝对值较大的数较大（）
5）任何数的绝对值都不是负数（）
6)若|a|
a =1，则a____0，若|a|
a
=－1，则a____0
例: 在数轴上表示绝对值不少于2而又不大于5.1的所有整数, 并求出绝对值少于4的所有整数的和与积
练习:
1. 若（x-1)2+|y+4|=0,则3x+5y=______
∵X-1=0,y+4=0, ∴x=1 ,y=-4 ∴3x+5y=3×1+5×(-4)=3-20=-17
2. 若|a-3|+ |3a-4b|=0,则-2a+8b=____
3. |7 |=（），|-7 |=（）
4. 绝对值是7的数是（）
5. |3-π|+|4- π|=_______
6. 已知|x|=3,|y|=2,且x<y,则x+y=____
7.计算:
8. 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c|
考点4.科学记数法,近似值与有效数字
科学记数法:把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数， 这种计数法叫做科学记数法.
10191........514141313121211-++-+-+-+-
的值求、已知32)(b)-(a 4,|b -a |2a b --=
练习: 一只苍蝇的腹内细菌多达2800万个，你能用科学记数法表示吗?
近似值：注意通常情况下用四舍五入，但要注意实际情况时的进一法和去尾法例：一个麻袋能装小麦100千克，现有830千克小麦，需要多少个麻袋？
有效数字: 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

练习:1.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有几位有效数字？
（1）43.8 （2）0.03086 （3）2.4万（4）6×104（5）6.0×104
2.（1）将数13445000000000用科学记数法表示（保留三个有效数字）
（2）请你说出1.6与1.60这两个近似数有什么不同
有理数的加法和减法
加法法则:1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
2.绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去 较小的绝对值.
互为相反数的两数相加得0 3.一个数同0相加仍得这个数
加法运算律：交换律 ：a+b=b+a
结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
减法法则: 1.减去一个数等于加上这个数的相反数
减法与加法的关系: 减法运算变加法运算,减数变成它的相反数做加数,被减数不变
运用相关法则计算下列各题
(1)
1
2 - 23
(2) (－72) －(－37) －(－22) －17
(3)（－2.48）+4.33－（＋7.52）－（＋4.33） (4) －（－ 34
）－（ ＋13
）+0.25－2
3
解题技能:
1. 凑整结合法
2. 同号相加法
3. 两个相反数结合法
4. 同分母或易通分的分数结合法 练习:
A 、5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1) B.(-42
3)+(61
2)+(-31
3)+(-21
4)
C 、(+7)-(-15)+(-12)-(+7)
D 、1-4+7-10+13-16+19-22
有理数的乘除和乘方
乘法法则：(1)两数相乘，同号为正异号为负，并把绝对值相乘
(2)任何数和0相乘都得0
(3)几个不等于0的数相乘时，积的符号有负因数的个数决定， 当负因数的个数为奇数时，为“-”号，若为偶数个则为“+”
乘法运算律：
除法法则: 1.除以一个不为0的数,等于乘于这个数的倒数 2.两数相除,同号为正,异号为负,并把绝对值相除 3.0除以任何不为0的数,都得0 (0不能做除数)
除法和乘法的关系: 除以一个不为0的数,等于乘于这个数的倒数
乘方
概念：求n 个相同因数的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

a n
其中a 叫做底数，n 叫做指数，读作“a 的n 次方/幂”
注意：一个数可以这个本身数的一次方，指数一通常不写
口答练习
1.在 1210中，12是 数，10是 数，读作 ；
2.(2
7
)7 的底数是 ，指数是 ，读作 ； 3. -３的平方是（ ） 平方是９的数是（ ） 4. 2×32和（2×3)2有什么区别？各等于什么？ 5. 32和23有什么区别？各等于什么？ 6. -34和（-3)4有什么区别？各等于什么？
用相关的法则计算下列各题 （－1）×（－2）＝ 4÷（－0.25）＝ 0×（－2）2009＝ （－1）2009＝ 02009＝
解题技巧：乘法三结合
1. 积为整数结合
2. 两个倒数结合
3. 能约分的结合
练习:
A.(-4)×(-0.007)×(-25)
B.50×14×(−15)×4
7
有理数混合运算的法则
规律: 先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里的
计算下列各题
分配律:
分配律反着用
()()()2
2462132)3(51711)35(171141711)2(631(1)--⨯⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯+-⨯+-⨯-⨯-()352241863⎛⎫
-⨯-+ ⎪
⎝⎭()11112446812⎛⎫
-+-+⨯- ⎪⎝⎭
()()0.32 4.580.68 4.58-⨯--⨯-535412
17717717
⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
挑战一
下列计算错在哪里？应如何改正？
挑战二
计算下列各题
(4)“三角形”
表示运算a-b+c,“方框”
6)31
21(
10⨯-÷2
2
2
31)6()3(27⎪
⎭⎫
⎝⎛-÷-+-⨯+-()()()()
56324432-⨯-+-⨯+;1707070274 )1(2=÷=÷-;
4
3464112)21(-1 )2(32-=-=-;
016631362 )3(3=÷-=⨯÷-;
03032
1
21 )4(=⨯=⨯-;189)2(3- )5(32=-=--.
451)94()15(15)
3
2
23(6)3(515 )6(=+-=---÷=-÷--⨯÷()()._____________, , 021(3)200820072
=++=+=-++a b a b a b a 那么如果：
表示运算X-y+z-w,则
× =_____
应用题
股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）
（1） 星期四收盘时，每股是多少元？
（2） 本周内最高价是每股多少元，最低价是每股多少元？
（3）已知买进股票时需付成交额的1.5‰的手续费和1‰的交易税。

如果小王在星期五收 盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
限时训练 1、一个数的绝对值是6.5，这个数是＿＿＿＿。

2、绝对值小于3的非负整数是＿＿＿＿＿＿＿。

3、 的相反数的倒数是＿＿＿＿＿。

4、
＿＿＿＿＿。

5、如果 ，那么。

6.若|a|=3，|b|=5,则|a+b|=
7.计算：- 12 -（-213）+ 234 - 78 - 323=1
24 8.在数轴上表示数-3，0， 3
2 ，√
3 ，4
并比较这些数的大小，用“<”号连接起来。

9、a,b,c 是有理数，试 探究 |a|a +|b|b + |c|c 的值是多少？
1o,挑战自我（找规律）
100991431321211)1(⨯++⨯+⨯+⨯ 101
991751531311)2(⨯++⨯+⨯+⨯
有理数的应用
1、某公交车上原有乘客22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正、下车为负）（－ 6,+3），（－5,+4），（－3,+1），（－4,+1），问此时车上还有多少乘客
2、市话费在3分钟内一次计费0.22元，超过3分钟的每分钟0.11元，小华一次打了12分钟，问这次通话费多少元？
9491110
71741411)3(⨯++⨯+⨯+⨯。