广西钦州市高三数学上学期第一次质量检测试题理(2021学年)

广西钦州市2０１8届高三数学上学期第一次质量检测试题理
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钦州市2018届高三第一次质量检测
理科数学
第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1234A =，，，，集合{}3,456B =，，，集合C A B =，则集合C 的子集的个数为（ ） A ．１ B ．2 C.３ Ｄ．4
2.已知复数1i z =+，则下列命题中正确的个数为( )
①z =②1i z =-;③z 的虚部为i ;④z 在复平面上对应点在第一象限. A ．1 B ．2 C.3 D.4 ３.命题[]1,2m ∀∈,则1
2m x x
+≥的否定是（ ) A.[]1,2m ∀∈，则1
2m x x +
< Ｂ．[]1,2m ∃∈,则1
2m x x
+≥
C ．()
(),12,m ∃∈-∞+∞,则1
2m x x +≥
D.[]1,2m ∃∈,则1
2m x x
+
< 4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列,则41a =( ) Ａ.2 B.0 Ｃ.2- D.4-
５.若“m a >”是“函数()1133x
f x m ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数
a 的取值范围是( )
Ａ.2
3a ≥- B ．23a >- C ．23a ≤- D ．23
a <- 6.执行如图所示的程序框图(*N ∈N ),那么输出的p 是( ）
Ａ.33N N A ++ B.22N N A ++ C.11N N A ++ Ｄ.N
N A
7.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数,当01x ≤≤时，()22f x x x =-，则52f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．14- B.12- Ｃ．０ D ．12
８．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积为( )
A ．()362cm +π Ｂ．()363cm +π C.336cm 2⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭π
D.()3124cm +π
9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名）生一日,长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长１日，长为1尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为( )（结果保留一位小数．参考数据:lg 20.30≈，
lg30.48≈）( ）
A ．1。

3日 B.1。

5日 C ．２。

６日 Ｄ．2。

8日
10．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且20PB PC PA ++=,现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ）
A ．14
Ｂ．13
Ｃ．12
Ｄ.23
11.抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点,则
PF PA
的最小值是（ ）
A.12
B.
Ｃ
D
12.已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()f x ',当(],0x ∈-∞时，恒有()()xf x f x '<-，令()()F x xf x =，则满足()()21F F x >-的实数x 的取值范围是（ ) A.()1,3 B ．()1,2- Ｃ.()1,3- D ．()2,2-
第Ⅱ卷(共９0分)
二、填空题(每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上) 13.已知41a b +=（a ,b 为正实数）,则1
2
a
b
+
的最小值为 . １4.若x ,y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则z x y =-的最大值是 ．
15．现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 ． 1６.在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.已知函数()2sin
sin cos sin
sin 3
6
f x x x x =-π
π
.
(１)求函数()f x 的单调增区间；
（2）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ,若()1
4
f C =
,2a =,且ABC ∆
求c的值。

１8.ＰM2。

５是指大气中直径小于或等于2。

5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物,我国PM ２．5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2。

5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在3５微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区２０17年上半年每天的PＭ2.５监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示（十位为茎,个位为叶）
(１)从这1５天的数据中任取一天,求这天空气质量达到一级的概率;
(2)从这15天的数据中任取3天的数据,记ξ表示其中空气质量达到一级的天数,求ξ的分布列;（3）以这1５天的PＭ２。

5的日均值来估计一年的空气质量情况,(一年按36０天来计算）,则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．
19．如图,四棱锥P ABCD
=，点M、N分别为-底面为正方形,已知PD⊥平面ABCD，PD AD
线段PA、BD的中点.
(1)求证:直线MN∥平面PCD；
（２）求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值.
20.已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的长轴长是短轴长的2倍,过椭圆C 的右焦点且垂直于x
轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且2AB = (１）求椭圆C 的标准方程;
(２）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于E ,F 两点，若存在点()01,G y -使EFG ∆为等边三角形，求直线l 的方程。

２１.已知函数()ln f x x x =。

（１)求函数()f x 的单调区间；
(２）当12x x <,且()()12g x g x =时，证明：122x x +>.
请考生在２2、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22.选修４-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l 的极坐标方
2cos 204⎛
⎫--= ⎪⎝
⎭πρθ，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos =ρθθ，将曲线C 上所有点的横
坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线1C 。

（１)求曲线1C 的直角坐标方程；
（2）已知直线l 与曲线1C 交于A ,B 两点,点()2,0P ,求PA PB +的值。

23．选修4—5:不等式选讲
已知()31f x x x =-++，()1g x x x a a =+-+-.
（1)解不等式()6f x ≥;
(2)若不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围。

钦州市201８届高三第一次质量检测
理科数学参考答案
一、选择题
1-5:DC ＤＣD ６-10：CCC ＣＣ 11、12：BC 二、填空题
13.9+ １4．0 15．189 1６．[)8,+∞ 三、解答题
17．解：化简可得:()21cos sin 22f x x x x =-=11112cos 2sin 244264
x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭π。

(1）由2222
6
2
k x k -+≤+
≤
+π
π
π
ππ，k ∈Z .
得:3
6
k x k -
+≤≤
+π
π
ππ.
∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
ππππ，k ∈Z .
（2)∵()14f C =
，即111sin 2264
4
C ⎛
⎫+-= ⎪⎝⎭π. ∴sin 216C ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭π.
可得226
2
C k +
=
+π
π
π,k ∈Z .
∵0C <<π， ∴6
C =
π。

由2a =,且ABC ∆的面积为3,即1
sin 32
S ab C ==。

∴23b =。

由余弦定理可得：23
4124234c ++-⨯⨯=. ∴2c =。

18．解：(１）记“从这15天的数据中任取一天,这天空气质量达到一级”为事件A ， 则()51153
P A =
=; (2)依据条件，ξ服从超几何分布,其中15N =,5M =,3n =, ξ的可能值为０,1，2,3,其分布列为：
()3510
15
k k
k
C C P k C -⋅==ξ，其中0,1,2,3k =;
(３)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153
P ==。

一年中空气质量达到一级的天数为η,则1360,3B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭η;
∴1
3601203
E =⨯=η（天).
∴一年中平均１２0天的空气质量达到一级。

１9．解：(1）证明：由底面ABCD为正方形，连接AC,且AC与BD交于点N
因为M、N分别为线段PA、BD的中点，可得MN PC
∥,MN⊄平面PCD，PC⊂平面PCD,则直线MN∥平面PCD。

（2)由于DA DC DP
⊥⊥，以DA，DC，DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设()
1,0,0
A，则()
1,1,0
B，()
0,1,0
C,()
0,0,1
P，
11
,0,
22
M
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
11
,,0
22
N
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
则()
1,1,1
PB=-.
设平面AMN的法向量为()
,,
m x y z
=。

所以
11
22
11
22
x z
x y
⎧
-+=
⎪⎪
⎨
⎪-+=
⎪⎩
．
令1
x=，所以1
y z
==。

所以平面AMN的法向量为()
1,1,1
m =。

则向量PB与m的夹角为θ,则
1 cos
3
=
θ。

则PB与平面AMN夹角的余弦值为
2
3。

2０.解:(1)由椭圆的长轴长是短轴长的2倍,所以24
a b
=,①
由椭圆的通径
2
2
2
b
AB
a
==，②
解得：22
a=2
b=
∴椭圆的标准方程：22
182
x y +=。

（
2）设直线l :1x ty =+，()11,E x y ，()22,F x y 。

易知：0t =时，不满足，故0t ≠,
则221
18
2x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，整理得:()224270t y ty ++-=，
显然()2242840t t ∆=++>,
∴12224t y y t +=-
+,12
27
4
y y t =-+， 于是()121228
24
x x t y y t +=++=+．
故EF 的中点224
,44t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭。

由EFG ∆为等边三角形, 则GE GF =.
连接GD 则1GD EF k k ⋅=-,
即022
41414t
y t t +
+=---+，整理得0
234t y t t =++, 则231,4t G t t ⎛
⎫-+ ⎪+⎝⎭
,
由EFG ∆为等边三角形，则32
GD =
，22
34GD EF =。

∴()22
2
2244311444t t t t t ⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2
2227444t t t ⎡⎤
⎛
⎫
⎛⎫--⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

整理得：()2
2
22242484
144t t t +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭+, 即()2
2222282484
44t t t t ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭+,解得：210t =
，则t =
∴直线l
的方程1x =+,
即)110y x =±-。

21．解:(1）()f x 的定义域为()0,+∞,
令()1ln 0f x x '=+=，得1
x e =. 当1x e >时,()0f x '>,()f x 在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当10x e <<时,()0f x '<，()f x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减。

∴()f x 单调递减区间为10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭。

（2)证明：因为()ln f x x x =，
故()()1
1
ln f x g x x x x +==+，(0x >）.
由()()12g x g x =(12x x <)， 得121211ln ln x x x x +=+,即212
121
ln 0x x x x x x -=>。

要证122x x +>,需证()21
212121
2ln x x x x x x x x -+⋅>， 即证212121
2ln x x x
x x x ->。

设2
1x t x =(1t >），则要证12ln t t t
->(1t >）。

令()1
2ln h t t t t =--.
则()2
2121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭。

∴()h t 在()1,+∞上单调递增,则()()10h t h >=。

即12ln t t t
->。

故122x x +>.
２2.解:(1）曲线C 的极坐标方程为：2sin cos =ρθθ，
即22sin cos =ρθρθ,
化为直角坐标方程：2y x =．
将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C ：()221y x =-。

(２)直线l
cos 204⎛⎫--= ⎪⎝
⎭πθ,
()cos sin 202
+-=ρθθ. 可得直角坐标方程：20x y +-=.
可得参数方程
:22
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）.
代入曲线1C 的直角坐标方程可得
:240t +-=。

解得12t t +=-124t t ⋅=-。

∴12PA PB t t +=-
=
== ２3．解:（１)当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥.
当13x -<<时,46≥无解，
当1x ≤-时,226x -+≥解得2x ≤-.
∴()6f x ≥的解集为{2x x ≤-或}4x ≥。

（2)由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立。

∴3x x a a -++≥-恒成立。

又33x x a x x a -++≥---=33a a --=+。

∴3a a +≥-，解得32a ≥-. ∴32
a ≥-时,不等式()()f x g x ≥恒成立.
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高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富,科学技术飞速发展，这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了,但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步,当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来,回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰,从而保有我们纯粹的精神世界，抵御外部世界的袭扰。

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cｏmｐleｘ woｒlｄｌeaｄs us to chase oｕt, reａdｉng an ａrticlｅｏr dｏing a ｐroblｅm ｍakes uｓ caｌｍdown and retｕｒn ｔo oursｅlvｅs. With leａrnｉnｇ, ｗe ｃan aｃtｉｖａte our iｍａginatiｏn ａnd ｔhｉnkiｎg, ｅstａblish ouｒ beliｅf, ｋeep our ｐure spirｉtual wｏｒｌd an ｄｒesiｓt tｈe aｔtaｃk oｆtｈe eｘterｎal world．。