2020版高考数学大二轮复习第二部分专题6函数与导数增分强化练(三十六)(理)
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增分强化练(三十六)
一、选择题
1.函数f (x )=log 2(x 2
+2x -3)的定义域是( ) A .[-3,1] B .(-3,1)
C .(-∞,-3]∪[1,+∞)
D .(-∞,-3)∪(1,+∞)
解析:因为函数f (x )=log 2(x 2
+2x -3),所以x 2
+2x -3>0,即(x +3)(x -1)>0,解得x <-3或x >1,所以函数f (x )的定义域为{x |x <-3或x >1},故选D. 答案:D
2.(2019·乌鲁木齐质检)在下列区间中,函数f (x )=e x
+3x -4的零点所在的区间为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14,12
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,1 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1,32 解析:f ′(x )=e x
+3>0,f (x )为R 上的增函数,
因为e<25
4
,所以
<52,所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<0,但f (1)=e +3-4>0, 所以f (x )的零点在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,1上,故选C. 答案:C
3.设a >0且a ≠1,则“函数f (x )=a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3
在R 上是增函数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析:由函数f (x )=a x 在R 上是减函数,知0<a <1,此时2-a >0,所以函数g (x )=(2-a )x
3
在R 上是增函数,反之由g (x )=(2-a )x 3
在R 上是增函数,则2-a >0,所以a <2,此时函数f (x )=a x 在R 上可能是减函数,也可能是增函数,故“函数f (x )=a x
在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3
在R 上是增函数”的充分不必要条件.故选A. 答案:A
4.(2019·中卫模拟)下列函数中,既是偶函数,又在区间[0,1]上单调递增的是( ) A .y =cos x
B .y =-x 3
C .y =⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
D .y =|sin x |
解析:根据题意,依次分析选项:
对于A ,y =cos x 为余弦函数,是偶函数,在区间[0,1]上单调递减,不符合题意;对于B ,y
=-x 3
,为奇函数,不符合题意;对于C ,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |,是偶函数,在(0,+∞)上,y =⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ,为
减函数,不符合题意;对于D ,y =|sin x |,是偶函数,在(0,1)上,y =sin x ,为增函数,符合题意.故选D. 答案:D
5.则a ,b ,c 的大小关系为( )
A .a <b <c
B .b <a <c
C .c <a <b
D .b <c <a
解析:很明显a >0,b >0,c >0,且a 6
=23
=8,b 6
=32
=9,∴b >a ;a 10
=25
=32,c 10
=52
=25,∴a >c ,综上可得c <a <b .故选C. 答案:C
6.已知方程x 2
+(m +2)x +m +5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( ) A .m <-2 B .m ≤-4 C .m >-5
D .-5<m ≤-4
解析:因为方程x 2+(m +2)x +m +5=0有两个正根, 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
(m +2)2
-4(m +5)≥0-(m +2)>0
m +5>0
,
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≤-4或m ≥4m <-2m >-5
,∴-5<m ≤-4,故选D.
答案:D
7.已知函数f (x )=log a (x 2
+x -1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2,则a 的值为( ) A .2 B. 5 C.55
D.5或
55
解析:因为y =x 2
+x -1在[1,2]上单调递增,
所以函数f (x )=log a (x 2
+x -1)在区间[1,2]上的最大值与最小值是f (1)或f (2),
因为函数f (x )=log a (x 2
+x -1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2, 所以|f (1)-f (2)|=2,即|log a 5|=2, 得a =5或5
5
,故选D. 答案:D
8.(2019·青岛模拟)已知函数f (x )=⎩
⎪⎨
⎪⎧
log a x ,x >3
mx +8,x ≤3,若f (2)=4,且函数f (x )存在最小
值,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,3] B .(1,2] C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0,
33 D .[3,+∞)
解析:f (2)=4代入2m +8=4,m =-2,则直线单调递减,又函数f (x )存在最小值,则a >1且log a 3≥2,解得1<a ≤3,故选A. 答案:A
9.已知函数f (x )=log 2(x +1)且a >b >c >0, 则f (a )a ,f (b )b ,f (c )
c
的大小关系是( ) A.f (a )a >f (b )b >f (c )
c B.f (c )c >f (b )b >f (a )a C.f (b )b >f (a )a >f (c )c D.
f (a )a >f (c )c >f (b )b
解析: 由题意可得,
f (a )a ,f (b )b ,f (c )
c
分别看作函数f (x )=log 2(x +1)图象上的点(a ,f (a )),(b ,f (b )),(c ,f (b ))与原点连线的斜率,结合图象(图略)可知当a >b >c >0时,f (c )c
>f (b )b
>f (a )
a
.
故选B. 答案:B
10.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
e x
,x >0|2x +x 2
|,x ≤0
,若函数g (x )=f (x )-mx 有三个不同零点,则实数m 的
取值范围为( ) A .-2<m <0 B .-2≤m ≤0或m >e C .-2<m <0或e≤m <e 2
D .-2<m <0或m >e
解析:由函数g (x )=f (x )-mx 有三个不同零点得y =f (x )与h (x )=mx 有三个不同交点,如图所示为f (x )的大致图象,
当x >0时,f (x )=e x
,设y =f (x )与h (x )=mx 相切的切点坐标为(x 0,mx 0),
由⎩⎨
⎧
mx 0=e x
0f ′(x 0)=m
,即e x
x 0
=e x 0,解得x 0=1,此时m =e ;
由y =-x 2
-2x ,得y ′=-2x -2,
x =0时,y ′=-2,
因此当m >e 或-2<m <0时,函数g (x )=f (x )-mx 有三个不同零点,故选D. 答案:D
11.(2019·宜春模拟)已知函数f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x >0时,f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
2|x -1|
,0<x ≤21
2f (x -2),x >2,则函数g (x )=4f (x )-1的零点个数为( )
A .2
B .4
C .6
D .8
解析:函数g (x )=4f (x )-1有零点即4f (x )-1=0有解,即f (x )=1
4,由题意可知,当0<x ≤2
时,f (x )=2
|x -1|
,当x >2时,f (x )=12f (x -2),所以当2<x ≤4时,f (x )=12
×2|x -3|
,此时f (x )
的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1;当4<x ≤6时,f (x )=14×2|x -5|
,此时f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,12,x =5
时,f (5)=14;当6<x ≤8时,f (x )=18×2|x -7|
,此时f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18,14,x =8时,f (8)
=14;当8<x ≤10时,f (x )=116×2|x -9|
,此时f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤116,18,所以当x >0时,f (x )=1
4有两解,即当x >0时函数g (x )=4f (x )-1有两个零点,因为函数f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,所以当x <0时,f (x )=1
4也有两解,所以函数g (x )=4f (x )-1共有
四个零点,故选B.
答案:B
12.对于函数y =f (x ),如果其图象上的任意一点都在平面区域{(x ,y )|(y +x )(y -x )≤0}内,则称函数f (x )为“蝶型函数”,已知函数:①y =sin x ;②y =x 2
-1,下列结论正确的是( )
A .①、②均不是“蝶型函数”
B .①、②均是“蝶型函数”
C .①是“蝶型函数”;②不是“蝶型函数”
D .①不是“蝶型函数”;②是“蝶型函数”
解析:由y =sin x ,设g (x )=sin x +x ,导数为cos x +1≥0,即有x >0,g (x )>0;x <0时,
g (x )<0;设h (x )=sin x -x ,其导数为cos x -1≤0,x >0时,h (x )<0,x <0时,h (x )>0,可
得(y +x )(y -x )≤0恒成立,即有y =sin x 为“蝶型函数”;由(x 2
-1+x )(x 2
-1-x )=
x 2-1-x 2=-1<0,可得y =x 2-1为“蝶型函数”.故选B.
答案:B 二、填空题
13.(2019·大连模拟)若4m =9n
=6,则1m +1n
=________.
解析:由题意得:m =log 46,n =log 96,
则1m +1n =1log 46+1log 96=log 64+log 69=log 636=2. 答案:2
14.(2019·滨州模拟)若函数f (x )=x 2
-(a -2)x +1(x ∈R)为偶函数,则
=________.
解析:函数为偶函数,则:f (x )=f (-x ),即:x 2
-(a -2)x +1=x 2
+(a -2)x +1恒成立,∴
a -2=0,a =2.则
=log 227+log 278=log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫27×78=log 214=-2. 答案:-2
15.已知函数f (x )=4x
-2
x +1
+3,x ∈[-2,3],则该函数的最小值是________.
解析:设t =2x ,x ∈[-2,3],则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14,8,此时f (x )=t 2-2t +3=(t -1)2
+2,当t =1
时,即x =0,函数取得最小值,此时最小值为f (0)=2. 答案:2
16.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x 2
+2mx -1,0≤x ≤1,
mx +2,x >1,若f (x )在区间[0,+∞)上有且只有2个零
点,则实数m 的取值范围是________. 解析:当0≤x ≤1时,2x 2
+2mx -1=0, 易知x =0不是方程2x 2
+2mx -1=0的解, 故m =1
2x -x 在(0,1]上是减函数,
故m ≥12-1=-12
;
即m ≥-1
2时,方程f (x )=0在[0,1]上有且只有一个解,
当x >1时,
令mx +2=0得,m =-2
x
,
故-2<m <0,
即当-2<m <0时,方程f (x )=0在(1,+∞)上有且只有一个解, 综上所述,若f (x )在区间[0,+∞)上有且只有2个零点, 则实数m 的取值范围是-1
2≤m <0.
答案:-1
2≤m <0。