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江苏省兴化中学高三数学模拟试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第1卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷指定地方．并将姓名、
考试科目、准考证号用铅笔涂写在答题卡上．
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上． 3． 考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． （1）若θθcos sin ＞0，则θ在
（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限 （2）过点A （1，—1）、B （—1，1）且圆心在直线x 十y —2＝0上的圆的方程是
（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x
（D ）4)1()1(22=+++y x
（3）设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
（A ）1
（B ）2 （C ）4 （D ）6
正棱台、圆台侧面积公式
表示高，分别表示上、下底面积、其中台体体积公式
表示斜高或母线长长，分别表示上、下底面周、其中台体台侧h S S h
S S S S V l c c l c c S '+'+'='+'
=
)(3
1
)(2
1 三角函数积化和差公式：
)]
()([21
)]
()([21
)]
()([21
)]()([21
βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=
cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin
（4）若定义在区间（—1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足)(x f ＞0，则a 的取值范
围是 （A ）)2
1,
0( （B ）]2
1,
0( （C ）),2
1
(
∞+ （D ）),0(∞+
（5）极坐标方程)
4
sin(2πθρ+
=的图形是
（6）函数y ＝x ＋1)0(≤≤-x π的反函数是
（A ）y ＝－arccos （x －1） （0≤x ≤2） （B ）y ＝π－arccos （x －1） （0≤x ≤2） （C ）y ＝arccos （x －1） （0≤x ≤2） （D ）y ＝π＋arccos （x －1） （0≤x ≤
2）
（7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为
（A ）
4
3
（B ）
3
2 （C ）
2
1 （D ）
4
1 （8）若b a =+=+<
<<ββααπ
βαcos sin ,cos sin ,4
0，则
（A ）a ＜b
（B ）a ＞b
（C ）ab ＜1
（D ）ab ＞2
（9）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为
（A ）60°
（B ）90°
（C ）105°
（D ）75°
（10）设f （x ）、g （x ）都是单调函数，有如下四个命题：
①若f （x ）单调递增，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递增； ②若f （x ）单调递增，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递增； ③若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递减； ④若f （x ）单调递减，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递减． 其中，正确的命题是 （A ）①③
（B ）①④
（C ）②③
（D ）②④
（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；②四向倾斜．记
三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3 ．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 （A ）P 3＞P 2＞P 1
（B ）P 3＞P 2＝P 1
（C ）P 3＝P 2＞P 1
（D ）P 3＝P 2＝P 1
（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网
线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A
向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
（A ）26 （B ）24 （C ）20 （D ）19
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1． 第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上． 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 3． 座位号填写准考证号最末尾两位数．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积
是 ．
（14）双曲线116
922
=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点
P 到x 轴的距离为 ．
（15）设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q
＝ ．
（16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数
为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA
＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2
1
．
（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；
（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
S
A
D
C
B
已知复数z1＝i（1—i）3．
（Ⅰ）求arg z1及| z |；
（Ⅱ）当复数z满足| z |＝1，求| z—z1 |的最大值．
设抛物线)0(22>=p px
y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点
C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．
已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．
（Ⅰ）证明i n i i
m
i P m P n <； （Ⅱ）证明m n n m )1()1(+>+．
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1
．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
4
1． （Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投人为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收人才能超过总投入?
设f （x ）是定义在R 上的偶函数。

其图象关于直线y ＝x 对称，对任意x 1，x 2]21.0[∈，
都有f （x 1＋x 2）＝f （x 1）·f （x 2），且f （ 1 ）＝a ＞0．
（Ⅰ）求)21(f 及)4
1
(f ；
（Ⅱ）证明f （x ）是周期函数； （Ⅲ）记)21
2(n n f a n +
=，求)(ln lim n n a ∞
→．
江苏省兴化中学高三数学模拟试卷
参考答案及评分标准
说明：
一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分． （13）2π （14）5
16
（15）1 （16）2n （n －1） 三、解答题
（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分
12分．
解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是：4
3)(21=+=
AB AD BC M 底面
∴四棱锥S －ABCD 的体积是：4
14313131=⨯⨯=⨯⨯=
底面M SA V （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱； ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥S （B ） ∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ， ∴BC ⊥平面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥SE ，故∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵222=+=AB SA SB ，BC ＝1，BC ⊥SB ∴2
2
=
=
∠SB BC BSC tg 即所求二面角的正切值为
3
2
． （18）本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力，满分
12分．
解：（Ⅰ）)4
747(2222)1(31π
πisin cos i i i z +=-=-= ∴4
71π
=
z arg ，| z 1 |＝22． （Ⅱ）设ααsin cos i z +=，则i z z )2(sin )2(cos 1++-=-αα )4
sin(249)2(sin )2(cos ||2221π
ααα-+=++-=-z z
当1)4
sin(=-
π
α时，21||z z -取得最大值249+，从而得到||1z z -的最大值为
221+．
（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，
满分12分．
证明：因为抛物线px y 22= （p ＞0）的焦点为F （2
p
，0），所以经过点F 的直线AB 的方程可设为： 2
p
my x +
= 4分 代入抛物线方程得：0222=--p pmy y
若记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1、y 2是该方程的两根，所以221p y y -=． 因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2
p
x -=上，∴点C 的坐标为（2,2y p -），故直线CO
的斜率为 11
1222
x y y p p y k ==-=
，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力，满分
12分．
（Ⅰ）证明：对于1＜i ≤m ，有m i m m m m m m
P i i m 1
1+-⋅
⋅-⋅=Λ 同理n i n n n n n n
P i i n 1
1+-⋅
⋅-⋅=Λ 由于m ＜n ，对整数k ＝1，2，…，i －1，有
m
k
m n k n ->- ∴i i
m i i n m
P n P >，即i
m i i n i P n P m >．
（Ⅱ）由二项式定理有∑==
+n
i i
n
i
n
C m
m 0
)1(，∑==
+m
i i m
i m
C
n n 0
)1(
由（Ⅰ）知i m i
i
n i
P n
P m >，而,!
,!i P C i P C i n i n i m i
m ==1＜i ≤m ＜n
∴i
m
i
i
n
i
C n
C m >，因此
∑∑==>
m
i m
i i m
i i n
i
C
n C m
2
2
又0,,1110000>====i n i m n m n
C m mn nC mC C n C m （m ＜i ≤n ）
∴
∑∑==>
n
i m
i i m
i i n
i
C
n C m
，即m n n m )1()1(+>+．
（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数
学知识解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）第一年投入为800万元，第二年投入为800×)5
1
1(-万元，…，第n 年投入为800×1
)5
11(--
n 万元． ∴n 年内的总投入为：])5
4
(1[4000)511(800)511(8008001n n n a -⨯=-++-
+=-Λ； 第一年旅游业收入为400，第二年旅游业收入为400×)4
1
1(+万元，…，第n 年旅游业收入为400×1
)4
11(-+n 万元 ∴
n
年
内
旅
游
业
总
收
入
为
：
]1)4
5
[(1600)411(400)411(4004001-⨯=++++
+=-n n n b Λ （Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0
即])54(1[4000]1)45[(1600n n -⨯--⨯，化简得：07)45
(2)54(5>-⨯+⨯n n
令n x )54(=，代入上式得：5x 2－7x ＋2＞0，解得：x ＜52
或x ＞1（舍去）
∴5
2
)54(<n ，由此得n ≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
（22）本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知
识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分． （Ⅰ）解：由]2
1
,
0[,,)()()()(212121∈=+x x x f x f x f x f 知： )2
()2()(x
f x f x f =≥0，x ∈[0，1]
∵2)]21([)21()21()2121(
)1(f f f f f ==+=，f （1）＝a ＞0，∴21
)2
1
(a f =
∵2)]41([)41()41()4141()21(f f f f f ==+=，∴41
)4
1
(a f =
（Ⅱ）证明：依题设y ＝f （x ）关于直线x ＝1对称， 故f （x ）＝f （1＋1－x ），即f （x ）＝f （2－x ），x ∈R 又由f （x ）是偶函数知f （－x ）＝f （x ），x ∈R 将上式中－x 以x 代换，得f （x ）＝f （x ＋2），x ∈R 这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f （x ）＞0，x ∈[0，1]
n
n
f n f n f n f n n f n f n f n
n f n f n n n f n n f f )]
21([)21()21()21(]21)2[()21()21(]
21)1[()21(]21)1(21[)21()21(==-=-=⋅-+=⋅=ΛΘ
∴n a n
f 21)21
(
= ∵f （x ）的一个周期是2，∴)21()212(n
f n n f =+，因此n
a a n 21
= ∴0)21
(
)(==∞
→∞
→lna n
lim lna lim n n n ．。