青海省西宁四中2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试卷

西宁市第四高级中学2017--2018学年第二学期期末考试卷
高 二 数 学（文 科）
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A. C 作品 B. D 作品 C. B 作品 D. A 作品
2．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则点),(b a 坐标为（ ） A.)3,3(- B.(4,11)- C.)3,3(-或)11,4(- D.不存在 3．如果函数y ＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的2×2列联表：
得到,635.6841.3.667.432
242828)1620128(5622
2
≤≤≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
χχ因为所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断出错的可能性至多为 （ ）
（参考数据：01.0)635.6(,05.0)841.3(22≈≥≈≥χχP P ）
A ．1%
B ．99%
C ．5%
D ．95%
5．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{
1x cos y sin αα
==+（α为参数）
，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6．“0a b <<”是“
11
a b
>”的( )条件 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35y
x =+，那么表中t 的值为（ ）
A ．3
B ．3.15
C ．3.5
D ．4.5 8．已知y 关于x 的回归直线方程为=0.82x+1.27，且x,y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 变量x,y 之间呈正相关关系
B. 可以预测当x=5时, =5.37
C. m=2
D. 由表格数据可知,该回归直线必过点(,)
9．（2015•肇庆三模）设i 为虚数单位，则复数z=i （1﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（ ） A ．4-
B ．4
C ．2
D ． 2-
11．曲线25()12x t
t y t
=-+⎧⎨
=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）
A B
C ．(0,4)(8,0)-、 D
12．将点M 的直角坐标)
1-化成极坐标为（ ）
A. 52,
6
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B. 22,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 112,
6π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知复数i
i
z -+=
131（i 是虚数单位），则 14．已知曲线C ： 2{
x cos y sin θθ=+= (θ为参数)，与直线l ： 13{ 24x t
y t
=+=- (t 为参数)，交
于A B ，两点，则AB =___________．
15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：⎩⎨
⎧+==，
，
ϕϕsin 22cos 2y x （ 为参数），
以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 0sin θθ-=，则圆C 截直线l 所得弦长为 ． 16．下列共用四个命题.
（1）命题“0x R ∃∈， 2
0013x x +>”的否定是“x R ∀∈， 213x x +<”；
（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好； （3）,a b R ∈， :p a b <，
11
0b a
<<，则p 是q 的充分不必要条件； （4）已知幂函数()()
233m f x m m x =-+为偶函数，则()24f -=. 其中正确的序号为_________．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题:本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12分）
已知函数()()3220f x x ax bx a a =+++>在1x =处有极值10. （1）求a 、b 的值；
（2）求()f x 在[]0,4上的最大值与最小值.
18．（本小题满分12分）
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为
极轴建立极坐标系， A,B 的极坐标分别为.
（I ）求直线的直角坐标方程；
（II ）设为曲线
上的点，求点
到直线
距离的最大值
19．（本小题满分12分）
某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
（1
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和 “非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率．
n a b c d =+++．
参考数据：
20.（本小题共12分）
已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a
g x a x
+=-
∈ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；
（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
21．（本小题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，已知直线l cos sin 0θρθ+，C 的极坐标方程为4sin()6
πρθ=-．
（1）求直线l 和C 的普通方程；
（2）直线l 与C 有两个公共点A 、B ，定点P (2,，求||||||PA PB -的值． 22．（本小题满分12分）
设函数()1,()2f x x g x x a =-=+．
（1）当1a =时，求不等式()()1f x g x ->的解集；
（2）若关于x 的不等式22()()(1)f x g x a ++≤有解，求a 的取值范围．
2018高二数学（文）答案
13.
5 14．
5
15．．()()24 三、解答题（共6小题，满分70分）
17.（满分12分）
（1）4,11a b ==-；（2）()f x 的最大值为100，最小值为10. 【解析】
（1）由题意可知()10f '=且()110f =，解方程组即可求得a 、b 的值；（2）利用导数判断出函数()f x 在[]0,4上的单调性并求该区间上的极值以及区间端点的函数值，并比较，最小的即为函数的最小值，最大的即为其最大值.
试题解析：（1）由()()21320,1110f a b f a b a '=++==+++=得4a =或3a =-,
0,4,11a a b >∴==- .(经检验符合)
（2）()()3
2
2
41116,3811f x x x x f x x x '=+-+=+-,
由()0f x '=得1211
,13
x x =-
=.()f x 在()0,1上单调递减，(1,4)上单调递增， 又()()()016,110,4100,f f f === ()f x ∴的最大值为100，最小值为10.
18．（I 0y ++=；（II ．
【解析】：（Ⅰ）先求出,A B 两点的直角坐标为()(2,0,1,A B --,由直线方程两点式可
0y ++=；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式,求出M 到直线AB 的
距离为d =≤
. 试题解析：
（Ⅰ）将A 、B 化为直角坐标为()442cos ,2sin ,2cos
,2sin 33
A B ππππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
即()(2,0,1,A B --， AB k =
=
∴直线AB 的方程为)02y x -=+0y ++=． （Ⅱ）设()2cos ,sin M θθ，它到直线AB 的距离为
d =
=
，
（其中tan ϕ=，
∴max 2
d =
．
19. （满分12分） （1）由列联表可得：
()
()()()()
()2
2
21002620302450
0.649 3.84150505644
77
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=
=
≈<++++⨯⨯⨯，····3分
所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关．···········4分 （2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人····6分． （3）抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为A ，B ，C ；“非微信控”2人分别记为D ，E ．
则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：
ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共有10种；···········9分
抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共有6种，···········11分
所求为63
105
P ==．···········12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =时，()ln f x x x =-，11
()1x f x -'=-
= ，
所以()f x 在1x =处取得极小值1. （Ⅱ）1()ln a
h x x a x x
+=+
-， 2222
1(1)(1)[(1)]
()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==
①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.
21. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I ）直线l
的普通方程为：0y +， ·········································· 1分
因为圆C 的极坐标方程为4sin()6
πρθ=-，
所以21
4cos )2
ρρθθ=-， ·
·················································· 3分 所以圆C
的普通方程2220x y x ++-=； ·································· 4分 （II ）直线l
0y +=的参数方程为：
122x t y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）， ····················································· 5分
代入圆C
的普通方程2220x y x ++-=消去x 、y 整理得：
29170t t -+=， ······································································ 6分
则1||||PA t =，2||||PB t =， ·························································· 7分
1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=
-········································ 8分
= (10)
分
22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I ）当1a =时，()()1f x g x ->，即1211x x --+>， ································· 1分
即112(1)1x x x -⎧⎨
-+++>⎩≤或1112(1)1x x x -<⎧⎨-+-+>⎩≤或1
12(1)1x x x >⎧⎨--+>⎩
， (4)
分
所以21x -<-≤或213
x -<<-，
所以原不等式的解集为2(2,)3
--； ··········································· 5分
（II ）2()()212f x g x x x a +=-++
2222x x a
=-++ ···································································· 6分 2222x x a
---≥
|22|a +=， (7)
分
因为不等式22()()(1)f x g x a ++≤有解，
所以2|22|(1)a a ++≤，即|1|2a +≥， ············································· 9分 所以a 的取值范围是(,3][1,){1}-∞-+∞- ． ································· 10分。