2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十三)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十三）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分）
1．复数
2
1i
-的共轭复数是（ ） A ．1﹣i B ．1＋i C ．﹣1﹣i D ．﹣1＋i
2．已知集合2
{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则A
B =
（ ）
A ． [21]-，
B ．[21)-，
C ．[1]3，
D ．(13]，
3．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数，当0x <时，()31x
f x =-，则()f m 的值为
（ ）. A ．2
B ．2-
C
．
23
D
．23
-
5．若变量x ，y 满足约束条件y 1x y 0x y 20≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
，则z ＝x －2y 的最大值为
A .2
B .4
C .3
D .1
6.函数y ＝1－1
x －1
的图象是( )
7．已知65a =，0.2
16b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，375log 2c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>
8.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．3108cm
B ．3100cm
C ．392cm
D ．384cm
第8题图
9．已知函数221,0
()log ,0
x x f x x x ⎧+-≤=⎨
>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(4][2,)-∞-+∞
B ．[1,2]-
C ．[4,0)
(0,2]-
D ．[4,2]-
10.已知向量m ＝(1，a )，n ＝(2b ﹣1，3)(a ＞0，b ＞0)，若1=•→
→
n m ，则12
a b
+的最小值为（ ） A. 7 B.
322
7
+ C. 347+ D.34 11．已知函数)2
,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>+=x x f 的部分图象如图所示，为了得到
x x g 2sin )(=的图象，可以将)(x f 的图象（ ）
A. 向右平移
6π个单位 B. 向右平移3π
个单位 C. 向左平移
3π个单位 D. 向左平移6
π
个单位
第11题图
12．给出下面四个推理：
①由“若a ，b 是实数，则b a b a +≤+”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则
1212z z z z +≤+”；
②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；
③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；
④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212
(
,)22
x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212
(
,)22
ρρθθ++”
．
其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A.1 B.2
C.3
D.4
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 14．曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 15．若πtan 34θ⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭，则3πcos 22θ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭__________. 16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫
⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，函数()1f x +是奇函数，当1122x -
≤≤时，()2f x x =，则方程()1
2
f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和_____________．
三、解答题 (共70分)
17. （本小题满分10分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足213
22
n S n n =+ （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足
1
cos 2
a b c B +=⋅.
（1）求角C ;
（2）若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，55S =，数列{}n b 的前n 项和为122n +-.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
20．（本小题满分12分）已知函数()2
cos 2sin 1f x x x x =+-.
（1）求()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域；
（2）若()2
3f
α=-，且0,2απ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
，求cos2α的值. 21．（本小题满分12分）已知点)2,1(A 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 上的一点，椭圆C
的离心率与双曲线12
2=-y x 的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若1k ，2k ，分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：21k k +为定值．
22．（本小题满分12分）已知函数()(2)(2)x
f x ax e e a =---． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1x >时，0)(>x f ，求a 的取值范围．
数学（文科）试题参考答案
1.A.
2.B.
3.A.
4.C
5.C
6.B
7.C.
8.B.
9.D.10.B.11.A.12.C
13.()12,0- 14.y=2x ﹣e 15.4
5
16.4 17. 1n a n =+，11
22
n T n =
-
+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和11
22
n T n =-+. 18.(1)由正弦定理知sin si c 1
n sin os 2A B C B +
= 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3
C π
=（6分）
222(2)2cos 19,19,c a b ab C c =+==-
所以1925757
2sin 333
2
c R R C =
===
(12分) 19.【解析】（1）∵5154
5+=52
S a d ⨯=，即121a d +=， 又∵13a =-，解得2d =，
所以1(1)3(1)225n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，
∵n b 的前n 项和1
22n n G +=- ∴1n=时，2
1222b =-=
2n ≥时，1122222n n n
n n n b G G +-=-=--+= ∴2n
n b =（*n ∈N ）；
（2）12n n T c c c =+++，
123(3)2(1)212(25)2n n T n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅， 23412(3)2(1)212(25)2n n T n +=-⋅+-⋅+⋅+
+-⋅，
所以2n T -34116222(25)2n n n T n ++=-+++
+--⋅，
1
3
1211262(25)2682(25)212
n n n n n T n n -+++--=-+--⋅=--+⋅⨯---
114(27)2n n T n +-=---⋅ 114(27)2n n T n +=+-.
20.【答案】（1）[]1,2-；（2.
【解析】（1）()2
cos 2sin 1f x x x x =+-
2cos 22sin 26x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭.
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛
⎫-
≤-≤ ⎪⎝
⎭. 故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域是[]1,2-.
（2）由()23f
α=-
，知1sin 2063πα⎛
⎫-=-< ⎪⎝
⎭，
又因为526
6
6π
π
πα-
≤-
≤
，所以cos 263πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭
. 故cos 2cos sin 2sin cos 2co 6666s 266ππππππαααα⎛⎫⎛
⎫=-⎡⎤
⎛
⎫=-
+⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎭⎝
111
32326
⎛⎫=
⨯--⨯=
⎪⎝⎭.
21.【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，利用椭圆的离心率，椭圆经过的点以及a2＝b2+c2，求出a，b即可得到椭圆方程．
（2）设直线BD的方程为，m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2），联立，得，利用韦达定理，转化求解直线AB，AD的斜率的和推出结果即可．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则椭圆的离心率，
代入，得，
又a2＝b2+c2，
解得a＝2，，
所以椭圆C的方程；
（2）证明：设直线BD的方程为，
又A，B，D三点不重合，∴m≠0，
设D（x1，y1），B（x2，y2），
则由，得，
所以△＝﹣8m2+64＞0，
所以，，，
设直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2， 则
＝
＝
＝，
所以k 1+k 2＝0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值． 22．解：（1）()(2)x
f x ax a e '=-+，
当0a =时，()20x
f x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减．
当0a >时，令()0f x '<，得2a
x a
-<； 令()0f x '>，得2a
x a
->
． ∴()f x 的单调递减区间为2,
a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
． 当0a <时，令()0f x '<，得2a
x a
->； 令()0f x '>，得2a
x a
-<
． ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞
⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭．
（2）当0a =时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，
∴()(1)0f x f <=，不合题意
当0a <时，()
222(2)(22)(2)2220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意．
当1a ≥时，()(2)0x
f x ax a e '=-+>，()f x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0f x f >=，故1a ≥满足题意． 当01a <<时，()f x 在21,
a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
单调递增，
∴min 2()(1)0a f x f f a -⎛⎫
=<=
⎪⎝⎭
，故01a <<不满足题意．
综上，a 的取值范围为[1,)+∞．。