第二次质量检测理科数学试题

= 9+12× 1 + 4 = 19 ……4 分 2
（2） a = (m,-1) = me1 - e2 ，若 a与OP = 3e1 + 2e2 共线，则存在实数 λ 使得
a = λOP ，即 me1 - e2 = λ(3e1 + 2e2 ) = 3λe1 + 2λe2 ，由平面向量基本定理得：
{ m = 3λ ，解得 m = - 3
22
63
63
2
6
所以 f (x) = 2 sin(x + π ) ． ……5 分 6
（2）因为 f (α) = 2 3 ，所以 2sin(α + π ) = 2 3 ，即 sin(α + π ) =
3
，……6 分
3
63
63
因为 0 < α < π 所以 π < α + π < π
3
6
62
所以 cos(α + π ) =
3 sin2 α = 1 sin 2α -
3 (1- cos 2α)
3
3
2
6
1
3
3
= sin 2α + cos 2α - ……5 分
2
6
6
= 1 ( 3 sin 2α + 1 cos 2α) - 3 = 1 sin(2α + π ) - 3 (0 < α < π ) ……8 分
32
2
63
66
3
由 0 < α < π ，得 π < 2α + π < 5π
6 )2 = 1+2
6
．……12 分
6
6
19 解：（1） f (x) = a • b+cos x + a =1• sin(x + π )+1• sin(x - π )+cos x + a ……1 分
6
6
π
π
π
= sin(x + )+sin(x - )+cos x + a = 2sin x cos +cos x + a
62
6
66
2π 解得： 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ (k∈ Z) ……11 分
3
2π 所以：满足 f (x) ≥ 0 成立的 x 的取值集合{x | 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ , k∈ Z}.……12 分
3 20 解：在 RtΔOBC 中， OB = cos α , BC = sin α ……1 分
2018 级高一年级下学期第二次质量检测
理科数学参考答案
1．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
A
C
B
B
A
B
C
D
C
2．填空题
13.
4
；14.
(- 1 , 2) U(2, ) ；15.
π [
,
5π ]
(或( π
,
5π ))
；16.
2
；
3
2
88
88
3．解答题 17（1）证明：
因为 sin(α +β) = sin α cosβ+cos α sin β ……2 分
-1= 2λ
2
3 所以实数 m 的值为 ……8 分
2
（3）假设存在实数 n ，使得 OP 与向量 b = (1, n) 垂直，则有： OP • b =0……9 分
即 OP • b = (3e1 + 2e2 ) • (e1 + ne2 ) = 3(e1)2 +(3n + 2)e1 • e2 + 2n(e2 )2
在 RtΔOAD 中 DA = tan 60 = 3 OA
所以
OA =
3 DA =
3 BC =
3 sin α
3
3
3
所以
AB = OB - OA = cosα -
3 sin α ……3 分
3
设矩形 ABCD 的面积为 S ，则
S = AB • BC = (cos α -
3 sin α)sin α = sinαcosα -
=
3
|
e1
|2
+(3n
+
2)e1
•
e2
+
2n
|
e2
|2
=
3+
(3n
+
2)
×
1 2
+
2n
=
0
，得
n
=
-
8 7
所以，存在实数 n = - 8 ，使得 OP 与向量 b = (1, n) 垂直.……12 分 7
22 解：（1）由已知可得： AB = ( 2,-2 2 ) ，……2 分
1- sin2(α + π ) =
1-(
3 )2 =
6
， ……8 分
6
6
3
3
所以 sin α = sin[(α + π ) - π ]= sin(α + π ) cos π - cos(α + π )sin π =
3×
3 -
6 ×1 = 3-
6
……10 分
66
66
6 6 3 2 32 6
所以 cos 2α =1- 2sin2 α =1- 2×( 3 -
6
6
6
π = 2sin(x + )+ a ……4 分
6
由于 f ( x)max =1,所以2+ a =1,即有a = -1……6 分
（2）由（1）得：
f
(x)
=
2 sin( x
+
π )
-1
，要使
f
(x)
≥
0
成立
6
只需满足 sin(x + π ) ≥ 1 即可，所以 π + 2kπ ≤ x + π ≤ 5π + 2kπ (k∈ Z) ……10 分
1 5π π π
2π
T = - = 所以 T = 2π ，所以 = 2π ω =1……2 分
4 632
ω
π
π
π
又 f ( ) = 2 ，所以 2sin( +φ) = 2 ，即 sin( +φ) =1
3
3
3
因为 - π < φ < π ，所以 - π < π +φ < 5π ，故 π +φ = π , φ = π ……4 分
sin(α - β) = sin α cosβ - cos α sin β ……4 分
将上式左右两边分别相加，得 sin(α +β) - sin(α - β) = 2 cos α sin β
即 cos α sin β = 1 [sin(α +β) - sin(α - β)] ……5 分 2
（2）证明：若 |
36
66
ππ
π
133
所以当 2α + 6 = 2 ，即 α = 6 时 Smax =
- = ……11 分 36 6
因此，当 α = π 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大为
3
.……12 分
6
6
21
解：（1）
e1
•
e2
=1•1cos
60
=
1 2
……2
分
所以 | OP |=| 3e1 + 2e2 |= (3e1 + 2e2 )2 = (3e1)2 +12e1 • e2 +(2e2 )2 = 9 | e1 |2 +12e1 • e2 + 4 | e2|2
a
|=|b
| ，则
c •d
= (a +b) • (a
-
b)
=
2
a
-
2
b
=|
a
|2
-
|
b
|2=
0
，所以
c∈
d
……7
分若c∈源自d，则c •d
=0
，即 (a +b) • (a
-
b)
=
2
a
-
2
b
=|
a
|2
-
|
b
|2= 0
,所以 |
a
|=|b
| ……9
分
综上得： | a |=|b |⇔ c⊥d ……10 分
18 解：（1）由图可知， A = 2 ……1 分