学案：高中物理第5章曲线运动习题课1运动的合成与分解应用学案新人教版必修2

习题课1 运动的合成与分解应用
[学习目标] 1.[科学思维]理解小船过河模型的特点，会分析过河的最短时间和最短位移问题． 2.[科学思维]会对“绳联物体”的速度进行分解，并能求出分速度的大小．
小船渡河模型及特点
1．模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同．
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t
短＝
d
v 船
，此时船渡河的位移x ＝d
sin θ
，位
移方向满足tan θ＝
v 船
v 水
.
(2)渡河位移最短问题 情况一：v 水＜v 船
最短的位移为河宽d ，此时渡河所用时间t ＝d
v 船sin θ
，船头与上游河岸夹角θ满足v 船cos θ＝v 水，
如图甲所示．
甲
情况二：v 水＞v 船
如图乙所示，以v 水矢量的末端为圆心，以v 船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝
v 船v 水，最短航程为x ＝d sin α＝v 水
v 船
d .此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝
v 船v 水
.
乙
【例1】 一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示，
合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v 2＝5 m/s.
t ＝d v ⊥＝d
v 2＝180
5
s ＝36 s v 合＝v 21＋v 22＝
52
5 m/s
x ＝v 合t ＝90 5 m.
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与河岸成某一角度β. 如图所示，由v 2sin α＝v 1得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短．
x ＝d ＝180 m t ＝d v ′⊥＝d v 2cos 30°＝1805
2
3
s ＝24 3 s.
[答案] (1)36 s 90
5 m
(2)偏向上游与河岸成60°角 24
3 s
对小船渡河问题，要注意以下三点：
(1)研究小船渡河时间时→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解． (2)分析小船速度时→可画出小船的速度分解图进行分析．
(3)研究小船渡河位移时→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图．
[跟进训练]
1．(多选)一条宽为L 的河流，河水流速为v 1，船在静水中的速度为v 2，v 1 、v 2均不等于零．设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，要使船划到对岸时航程最短，则θ可能满足( )
A ．sin θ＝v 1v 2
B ．tan θ＝v 2v 1
C ．cos θ＝v 2v 1
D ．cos θ＝v 1v 2
CD [由题意可知，当船在静水中的速度大于河水流速，即v 2＞v 1时，船的合速度垂直于河岸，航程最短，如图所示，则有cos θ＝v 1v 2
.
当船在静水中的速度小于河水流速，即v 2＜v 1时，船的合速度垂直于船的速度，航程最短，如图所示，则有cos θ＝v 2v 1
.故C 、D 正确．]
“绳联物体”的速度分解问题
1点：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向．(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等．
2．常见的速度分解模型
【例2】 如图所示，以速度v 沿竖直杆匀速下滑的物体A 用轻绳通过定滑轮拉物体B ，当绳与水平面夹角为θ时，物体B 的速度为( )
A ．v B.v
sin θ
C ．v cos θ
D ．v sin θ
D [将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，v B＝v sin θ，故D正确．]
上例中，若物体B以速度v向左匀速运动，则物体A做什么运动？
[提示] v A′＝v
sin θ
由于θ变小，故v A′变大，故物体A向上做加速运动．
[跟进训练]
2．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θ
C [可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x ＝v2x，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确．]
1．(多选)已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是( )
A B C D
CD [小船的路径应沿合速度方向，不可能与船头指向相同，故A、B错误，C、D正确．]
2．一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是( )
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
D [轮船渡河的运动是两个分运动的合成：假设河水不流动，轮船在静止的河水中垂直对岸行驶；假设轮船不运行，而河水流动，则轮船随河水一起向下游漂动．这两个分运动具有独立性，因而河水流速增大不影响轮船到达对岸的时间，但在相同的时间里，沿水流方向移动的位移要增大，因而选项D正确．] 3．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为( )
A．v B．v cos θ
C．v
cos θ
D．v cos2θ
B [如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，v P＝v cos θ，故B正确，A、C、D错误．故选B.]。