高三数学下学期第一次模拟考试试题 理(2021年整理)

广东省清远市阳山县2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题理编辑整理：
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广东省清远市阳山县2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．等差数列｛n a ｝中，已知
1590S =，那么8a =（ ）。

A 。

3
B 。

4 C. 6 D 。

12
2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是（）
（A ）2
1
(B ）22（C ）23（D ）33
3．如果命题q p ∨是真命题，命题p ⌝是假命题，那么( ）
A 。

命题p 一定是假命题
B 。

命题q 一定是假命题
C 。

命题q 一定是真命题
D 。

命题q 是真命题或假命题 4．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界），若使目标函数z ＝ax
＋y （a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a 的值为
（ )． A 。

1
4
B.错误!C ．4
D 。

错误!
5．在ΔABC 中，B
A b a tan tan 2
2=，则ΔABC 是 （ )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形 6．“a ≠1或b ≠2"是“a+b ≠3”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充要条件
D ．充分不必要条件 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若
5359a a =，则95
S
S 的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．2
1
8．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形
9．过双曲线12
2
2
=-y x 的一个焦点作直线交双曲线于A 、
B 两点,若｜AB ｜＝4,则这样的直线有( ) A 。

4条
B.3条
C.2条
D 。

1条
10. 已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ ） A.︒30 B 。

︒45 C 。

︒60 D.︒90 11．设定点F 1（0，－3）、F 2(0,3),动点P 满足条件
)0(9
21>+
=+a a
a PF PF ,则点P 的轨迹是（)
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
12已知m n s t *∈、、、R ，3m n +=，
1m n
s t
+=其中m n 、是常数且m n <,若s t +的
最小值是3+，满足条件的点(,)m n 是椭圆22
1416
x y +=一弦的中点，
则此弦所在的直线方程为（）
A ．230x y -+=
B ．4230x y --=
C ．30x y +-=
D ． 240x y +-=
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题 ，每小题5分,满分20分）
13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题":今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱,以次与之，转多一钱,与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱,第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推,每人比前
一人多给1钱,分完后，再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是.
14．已知数列
{}n x 满足
()
*
+∈+=N n x x n n lg 1lg 1，且1231001x x x x ++++=，则
101102200lg()x x x ++
+=.
15．已知dx x a 211
1-⎰=-，则6
1)22(⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--+x x a π展开式中的常数项为.
16．设y x ,满足不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥--≤--≤-+0230120
6y x y x y x ，若y ax z +=的最大值为42+a ，最小值为1+a ，则实数
a 的取值范围为。

三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．在ABC △中,角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，且满足cos cos a B b A =。

（Ⅰ）判断ABC △的形状；
（Ⅱ）求2sin 22cos 6A B π⎛⎫+- ⎪⎝
⎭
的取值范围.
18．设数列{}n a 各项为正数,且214a a =，()2*12n n n a a a n N +=+∈。

（Ⅰ)证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；
(Ⅱ)令()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求使345n T >成立时n 的最小值。

19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励,假设顾客抽奖的结果相互独立。

（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖,求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金,还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖,则最有可能获得多少现金奖励？
20．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将 AED DCF △，△分别沿DE ，
DF 折起，使 A C ，
两点重合于P 。

(Ⅰ)求证：平面PBD BFDE ⊥平面； （Ⅱ）求二面角P DE F --的余弦值。

21．已知直线l 的方程为2y x =+,点P 是抛物线24y x =上到直线l 距离最小的点，点A 是抛物线上异于点P 的点，直线AP 与直线l 交于点Q ，过点Q 与x 轴平行的直线与抛物线24y x =交于点B .
(Ⅰ）求点P 的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB 恒过定点，并求这个定点的坐标.
22．设 a b R ∈，,函数()32113
f x x ax bx =+++,()x
g x e =（e 为自然对数的底数）
，且函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在0x =处有公共的切线。

(Ⅰ)求b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）若()()g x f x >在区间() 0-∞，内恒成立，求a 的取值范围。

答案：
一、CDDBD AABBD DD
二
13、19514、100 15、160-16、[]2,1a ∈-
三、
17。

（Ⅰ）等腰三角形(Ⅱ）3( 0]2-，
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角sin cos sin cos A B B A =，即()sin 0A B -=，再根据三角形内角范围得A B ππ-<-<,因此结合正弦函数性质得A B =（Ⅱ）先根据二倍角公式、配
角公式将解析式化为基本三角函数sin 21
6A π⎛
⎫-- ⎪⎝⎭,再根据三角形内角范围及正弦函数性质得取
值范围
试题解析：(Ⅰ)由cos cos a B b A =,
根据正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =,即()sin 0A B -=， 在ABC △中,有A B ππ-<-<， 所以0A B -=，即A B =，
所以ABC △是等腰三角形.…………5分 （Ⅱ）由(Ⅰ），A B =，则
2sin 22cos 6A B
π⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
1
2cos 2cos 212A A A ⎫=+--⎪⎪⎝⎭
1
2cos 212A A =
--
sin 21
6A π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭。

因为A B =，所以
02A π<<，则52666A πππ-<-<
， 所以1sin 21
26A π⎛
⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，则3sin 2026A π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，
所以2sin 22cos 6A B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是3( 0]
2-， (10)
分
18。

(Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6
【解析】试题分析：（Ⅰ)证明数列为等比数列的基本方法为定义法，即求证数列(){}
3log 1n a +相
邻两项的比值为同一个不为零的常数:
()()()
2
3133log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，其中需要说明
10n a +>及()31log 10a +≠
(Ⅱ）由于
()221
321log 124n n n n b a ---=+==为一个等比数列,所以根据等比数列求和公式得
()1413n
n T =
-，因此不等式转化为()
*41036n n N >∈,解得6n ≥
试题解析:（Ⅰ）由已知，
2
211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知，
()2
1110
n n a a ++=+>，
得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==， 所以,数列(){
}
3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.……………6分
（Ⅱ)由（Ⅰ）可知，()1
3log 12n n a -+=，
()221
321log 124n n n n b a ---=+==，
则
()211211444413n n
n n T b b b -=+++=++++=
-…….
不等式345n T >即为
(
)*
41036n n N >∈,
所以6n ≥,
于是345n T >成立时n 的最小值为6.……………12分
19。

（Ⅰ)2
5
（Ⅱ）希望顾客参加抽奖。

（Ⅲ）400
【解析】试题分析：(Ⅰ)先确定从装有10个球的箱子中任摸一球的结果有10种，其中摸到红球的结果有4
种，因此根据古典概型概率求法得
42
105=（Ⅱ）比较与3次抽奖的数学期望的大
小，由于3次抽奖是相互独立，所以可视为独立重复试验，其变量服从二项分布()3 0.4X B -，，
由此可得数学期望为()30.4 1.2E X np ==⨯=，即三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为
1.2100120⨯=元.
（Ⅲ）求概率最大时对应的奖金：由于变量服从二项分布()10 0.4Y B -，，所以作商得
()()
()21113P Y k k P Y k k
=⨯-=
=-， 1 2 10k =，
，…，，因此()4P Y =最大，即获得400元的现金 试题解析：(Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有1
10C 种，摸到红球的结果共有
1
4
C 种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是
1411042105
C C ==.……2分
（Ⅱ）设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则
()
3 0.4X B -，，
所以()30.4 1.2E X np ==⨯=。

由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的 均值为1.2100120⨯=元。

由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.……………7分
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y 。

由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()10 0.4Y B -，。

于是，恰好k 次中奖的概率为
()10100.40.6k
k k
P Y k C -==⨯⨯，0 1 10k =，
，…，. 从而(
)
()
()21113P Y k k P Y k k
=⨯-=
=-, 1 2 10k =，
，…，， 当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=; 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=， 则()4P Y =最大。

所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元。

于是,顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励。

………………12分
20.（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）23
【解析】试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直,一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定与性质定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需结合平几知识进行：连接EF 交BD 于O ，则根据等腰三角形性质得EF OD ⊥,EF OP ⊥(Ⅱ）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解
试题解析：（Ⅰ)证明:连接EF 交BD 于O ，连接OP .
在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点，
所以 BE BF DE DF ==，
， 所以DEB DFB △≌△，
所以在等腰DEF △中，O 是EF 的中点,且EF OD ⊥,
因此在等腰PEF △中，EF OP ⊥， 从而EF OPD ⊥平面， 又EF BFDE ⊂平面，
所以平面BFDE OPD ⊥平面，
即平面PBD BFDE ⊥平面.…………………6分 （Ⅱ)方法一：
在正方形ABCD 中,连接AF ,交DE 于G ，设正方形ABCD 的边长为2， 由于点E 是AB 中点,点F 是BC 中点, 所以Rt Rt DAE ABF △≌△， 于是ADE FAB ∠=∠,
从而90ADG DAG EAG DAG ∠+∠=∠+∠=︒, 所以AF DE ⊥，
于是，在翻折后的几何体中，PGF ∠为二面角P DE F --的平面角，
在正方形ABCD 中,解得
25
AG ,
35GF =
， 所以，在PGF △中，
25PG AG ==
，35GF ，1PF =，
由余弦定理得
2222
cos 23PG GF PF PGF PG GF +-∠==
⋅， 所以，二面角P DE F --的余弦值为2
3
.………………………………12分
方法二：
由题知 PE PF PD ，
，两两互相垂直,故以P 为原点，向量 PF PE PD ，，方向分别为x ,y ，z 轴的
正方向，建立如图的空间直角坐标系.
设正方形边长为2，则()0 0 0P ，，,()0 1 0E ，，，()1 0 0F ，，，()0 0 2D ，，.
所以()1 1 0EF =-，，，()0 1 2ED =-，，.
设() x y z =m ，，为平面EFD 的一个法向量，
由EF ED ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m 得0
20x y y z -=⎧⎨-+=⎩， 令1x =,得
11 1
2⎛
⎫= ⎪
⎝⎭m ，，， 又由题知()1 0 0=n ，，是平面PED 的一个法向量,
所以
2cos 3
⋅<>=
=⋅m n m n m n ，。

所以,二面角P DE F --的余弦值为2
3
.………………………………12分
21。

（Ⅰ）()1 2，（Ⅱ）()2 2，
【解析】试题分析：（Ⅰ）到直线l 距离最小的点，可根据点到直线距离公式，取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线l 平行且与抛物线相切的切点：如根据点P 到直线l 的距离
()
2
2
0000224
2
4
22
2
42
y y y x y d -+-+-+=
=
=
≥
得当且仅当02y =时取最小值，（Ⅱ)解析几何中定点
问题的解决方法,为以算代证，即先求出直线AB
方程，根据恒等关系求定点.先设点
A 211 4y y ⎛⎫
⎪⎝⎭，,求出直线AP 方程()114220x y y y -++=，与直线l 方程联立，解出点Q 纵坐标为
1128
2Q y y y -=
-.即得B
点的坐标为()()211211428 22y y y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭，，再根据两点式求出直线AB 方程()()()21124280y y x y x y ---+-=，最后根据方程对应1y 恒成立得定点()2 2，
试题解析:（Ⅰ）设点P 的坐标为()00 x y ，，则2
004y x =，
所以，点P 到直线l 的距离
d =
=
=
≥
.
当且仅当02y =时等号成立，此时P 点坐标为()1 2，。

………………………………4分
(Ⅱ)设点A 的坐标为211 4
y y ⎛⎫
⎪⎝⎭，
,显然12y ≠。

当12y =-时，A 点坐标为()1 2-，，直线AP 的方程为1x =;
当12y ≠-时,直线AP 的方程为()12
12
2114y y x y --=
--，
化简得()114220x y y y -++=;
综上，直线AP 的方程为()114220x y y y -++=. 与直线l 的方程2y x =+联立，可得点Q 的纵坐标为1128
2Q y y y -=
-。

因为，BQ x ∥轴，所以B 点的纵坐标为
11282B y y y -=
-.
因此，B 点的坐标为
()()211211428 22y y y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭，. 当11
128
2y y y -≠--,即2
18y ≠时，直线AB 的斜率()()11112
221112
128
2
488
442y y y y k y y y y ----=
=
---
-.
所以直线AB 的方程为211121
4884y y y y x y ⎛⎫
--=- ⎪
-⎝⎭, 整理得()()()21124280y y x y x y ---+-=。

当2x =，2y =时，上式对任意1y 恒成立，
此时,直线AB 恒过定点()2 2，，
当2
18y =时，直线AB 的方程为2x =,仍过定点()2 2，，
故符合题意的直线AB 恒过定点()2 2，。

……………………………………12分
22。

(Ⅰ)1b =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）
1
( ]
2-∞， 【解析】试题分析：（Ⅰ)由导数几何意义得()()'0'0f g =，分别求导得1b =（Ⅱ)由于
()2'21
f x x ax =++，所以根据导函数是否变号进行讨论：当2
1a ≤时，()'0f x ≥，()f x 在定义域内
单调递增,当2
1a >时，先增后减再增（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，
即()()g x f x -的最小值大于零，先利用导数研究函数()()g x f x -单调性：1
2a ≤
时,在区间() 0-∞，
内单调递减，满足条件；1
2a >
时，存在()0 0x a ∈-，使得()0'0h x =,且在()0 0x x ∈，时，单调递减，
不满足条件 试题解析:(Ⅰ）
()()2'2 'x
f x x ax b
g x e =++=，，
由()()'0'01f b g ===，得1b =。

……………………………………2分 （Ⅱ）
()()2
22
'211f x x ax x a a =++=++-，
当2
1a ≤时，即11a -≤≤时，()'0f x ≥,从而函数()f x 在定义域内单调递增，
当2
1a >时,
()('f x x a x a =++-，此时
若( x a ∈-∞--，,()'0f x >，则函数()f x 单调递增；
若
( x a a ∈---+，，()'0f x <，则函数()f x 单调递减；
若
() x a ∈-++∞，时，()'0f x >，则函数()f x 单调递增。

……………………6分
（Ⅲ）令
()()()2''21
x h x g x f x e x ax =-=---,则
()0010
h e =-=. ()'22x h x e x a
=--，令
()()'22x u x h x e x a
==--，则
()'2
x u x e =-.
当0x ≤时，()'0u x <，从而()'h x 单调递减， 令()()0'0120u h a ==-=，得
1
2a =
.
先考虑
1
2a ≤
的情况，此时，()()'000h u =≥；
又当() 0x ∈-∞，时，()'h x 单调递减，所以()'0h x >； 故当() 0x ∈-∞，时,()h x 单调递增；
又因为()00h =，故当0x <时，()0h x <,
从而函数()()g x f x -在区间() 0-∞，内单调递减；
又因为()()000g f -=,所以()()g x f x >在区间() 0-∞，恒成立。

接下来考虑
1
2a >
的情况，此时,()'00h <，
令x a =-,则()'0
a
h a e
--=>.
由零点存在定理，存在()0 0x a ∈-，使得()0'0h x =,
当()0 0x x ∈，时,由()'h x 单调递减可知()'0h x <,所以()h x 单调递减， 又因为()00h =，故当()0 0x x ∈，时()0h x >. 从而函数()()g x f x -在区间()0 0x ，单调递增；
又因为()()000g f -=，所以当()0 0x x ∈，，()()g x f x <。

综上所述，若()()g x f x >在区间() 0-∞，恒成立，则a 的取值范围是1
( ]2-∞，。

(12)
分。