北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：常用逻辑用语 (答案详解)

2020-2021年北京高三数学上学期期末汇编：常用逻辑用语
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•房山区期末）已知，，，均为实数，且，则“”是“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．（2020秋•朝阳区期末）已知圆，直线，则“与相交”是“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（2020秋•房山区期末）命题“，”的否定是 A ．，均有B ．，均有C ．，使得D ．，使得4．（2020秋•通州区期末）已知命题，，则是 A ．，B ．，C ．，D ．，5．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：①的一个周期是；②是偶函数；③
；④在单调递减．其中所有正确结论编号是 A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
6．（2020秋•顺义区期末）已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．m n p q p q >m n >m p n q ->-()22:4C x y +=:0l x y t ++=l C ||2t <()0x ∀>(1)ln x x +<()0x ∀>(1)ln x x +…0x ∀…(1)ln x x +…00x ∃>00
(1)ln x x +...00x ∃ (00)
(1)ln x x +…:p x R ∀∈20x …p ⌝()x R ∀∈20x <x R ∀∉20x …0x R ∃∈200
x …0x R ∃∈200
x <()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+[]x x ()f x ()f x 2π()f x ()f x ()f x (0,)π()1()3x ax
f x x
+=-0(,1)x ∈-∞-0()0f x =a ()4(,)
3
-∞4
(0,3
(,0)
-∞4
(,)
3
+∞
7．（2020秋•房山区期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线．给出以下命题：
①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；
③当，时，直线与黑色阴影区域有2个公共点．其中所有正确命题的序号是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③
8．（2020秋•海淀区校级期末）已知，则下列说法错误的是 A ．若在内单调，则B ．若在内无零点，则C ．若的最小正周期为，则D ．若时，直线是函数图象的一条对称轴9．（2020秋•石景山区期末）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．
记圆弧，，的长度分别为，，，对于以下四个命题：①；②；③
；
y :(2)l y a x =-0a =l 1s 212()s s s …12:3:1s s =4
3
a =-l (0a ∈1]l (
)
21()sin (0)22
x f x x ωωω=+->()()f x (0,)π2
03
ω<…
()f x (0,)π106
ω<…
|()|y f x =π2ω=2ω=23
x π
=-
()f
x (
AB ABCD BC =ABFE F AB ¶BE
CDEF DEHG H DE ¶EG
⋯⋯¶BE
¶EG ¶GI l m n l m n =+2m l n =⋅2m l n =+
④
．211m l n
=+
其中正确的是 A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④
10．（2020秋•海淀区期末）数列的通项公式为，，前项和为给出下列三个结论：①存在正整数，，使得；
②存在正整数，，使得
③记，2，3，则数列有最小项．其中所有正确结论的序号是 A ．①
B ．③
C ．①③
D ．①②③
二．填空题（共2小题）
11．（2020秋•海淀区期末）已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使函数为奇函数；
②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；
④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减．其中所有正确结论的序号是 ．
12．（2020秋•海淀区期末）已知圆，直线，点，点．给出下列4个结论：
①当，直线与圆相离；②若直线圆的一条对称轴，则；③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则
的最大值为；④为圆上的一动点，若，则
()
{}n a 23n a n n =-*n N ∈n .n S m ()n m n ≠m n S S =m ()n m n ≠m n a a +=12(1n n T a a a n =⋯=)⋯{}n T ()222,,()2,.x x x a f x x x x a ⎧-=⎨--<⎩
…a ()f x a ()f x a k ()y f x k =+m a ()f x (1,)m -22:(5)(2)2P x y -+-=:l y ax =(5,2M +(,)A s t 0a =l P l P 25
a =
l A P N 90MAN ∠=︒a 2021
N P 90MAN ∠=︒t
其中所有正确结论的序号是 ．
2021北京高三数学上学期期末汇编：常用逻辑用语
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据充分条件和必要条件的定义及不等式性质进行判断即可．【解答】解：先考虑必要性，给出证明如下：
因为， 且，成立，两个不等式相加得，所以，“”是“”的必要条件；再考虑充分性，举反例反证如下：
假设“”是“”的充分条件，因为，取，，则有： 但，
，，从而，即不成立．所以“”不是“”的充分条件；故选：．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件，考查不等式性质问题，属基础题．
2．【分析】先利用直线与圆相交，将满足的条件求出来，然后再利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可．【解答】解：圆心，半径为2，则圆心到直线的距离为，因为与相交，则有，所以，即，
所以“与相交”是“”的必要而不充分条件．故选：．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了直线与圆位置关系的应用，解题的关键是将直线与圆相交转化为的范围．
3．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，使得，故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．【分析】直接写出特称命题的否定得答案．
m p n q ->-p q >m n >m n >m p n q ->-m n >m p n q ->-p q >m q =-n p =-m n >m p q p -=--n q p q -=--m p n q -=-m p n q ->-m n >m p n q ->-B t (0,0)C
l |d t =
=
l C d r
<|2t
<||t <l C ||2t <B t 00x ∃>00(1)ln x x +…C
【解答】解：命题：，的否定是：，．故选：．
【点评】本题考查特称命题的否定，关键是注意命题否定的格式，是基础题．
5．【分析】①，利用周期定义判断；②，利用和的值判断；③利用的值判断；④判断函数在的函数值判断即可．
【解答】解：①：因为，所以函数的一个周期为，故①正确；②
：
因
为
，，
所以，故函数不是偶函数；故②错误；③因为，故③正确；④：当时，，，
所以，
所以，即当时，为定值，故④错误；
故选：．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【分析】令解得，构造函数，求出在定义域的值域，即可求出的取值范围．
【解答】解：函数，令，解得
；设，其中，所以是定义域上的单调增函数，所以．若存在，使得，则实数的取值范围是．
故选：．
x R ∀∈20x …0x R ∃∈2
0x <D ()4f π(4
f π
-(0)f ()
f x (0,)2
π
(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]sin[cos ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=2π()sin[cos ]cos[sin ]sin 0cos01444
f πππ
=+=+=()sin[cos()]cos[sin()]sin 0cos(1)cos1444
f πππ
-=-+-=+-=()(44f f ππ
≠-(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin111f =+=+>
>(0,)2x π
∈0sin 1x <<0cos 1x <<[sin ][cos ]0x x ==()sin[cos ]cos[sin ]sin 0cos01f x x x =+=+=(0,2x π
∈()1f x =B ()0f x =13x a x =-
1
()3x g x x
=-()g x (,1)-∞-a 11
()33x x ax f x a x x
+=-=--()0f x =13x a x
=-1
()3x g x x
=-
(,1)x ∈-∞-()g x (,1)-∞-40()(1)3
g x g <<-=
0(,1)x ∈-∞-0()0f x =a 4
(0,3
B
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了特称命题的应用问题，是中档题．7．【分析】对应①②③不同的的值，分别分析即可求解．
【解答】解：①当时，直线为轴，则，①正确，
②当时，直线化为，即，
此时点到直线的距离为，故直线与黑色阴影区域有1个公共点，②正确，③当时，此时直线的方程为：，显然与黑色阴影部分只有一个公共点，③错误，故选：．
【点评】本题考查了命题的真假判断，涉及到直线与圆的位置关系的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
8．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，据此依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，，由此依次分析选项：
对于，若在内单调，则有，解可得
，正确，对于，当时，则，若在上无零点，则，解可得，正确，对于，若的最小正周期为，则
，解可得，错误，对于，若，则，当时，，则直线是函数图象的
一条对称轴，正确，故选：．
【点评】本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．
9．【分析】不妨取，得到，利用题中给出的信息，分别求出，，，然后分别验证选项是否成立即可．
【解答】解：不妨设，则，所以
因为，所以，同理可得
a 0a =l x 22212111
:(21):13:1222s s πππ=⨯-⨯⨯⨯⨯=43a =-(2)y a x =-4
(2)3
y x =--4380x y +-=(0,1)l |38|
15
d -=
=l 1a =l 2y x =-A ()sin()6
f x x π
ω=-211()sin cos sin()2226
x f x x x x x ωπωωωω=+-=-=-A ()f x (0,)π6
2
π
π
ωπ-…
2
3
ω…
A B (0,)x π∈(6
6x π
π
ω-
∈-
)6
π
ωπ-()f x (0,)π06
π
ωπ-
…1
06
ω<…
B C |()|y f x =ππ
πω
=1ω=C D 2ω=()sin(2)6
f x x π=-23
x π=-326
2
x ππ-=-23
x π
=-()f x D C 1AB =2BC =l m n 1AB =2BC =121)4l π=
⨯⨯=
3ED =12(34m π=
⨯⨯124)4n π=
⨯⨯=
所以，，，，故正确的是①②．故选：．
【点评】本题考查了新定义问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．10．【分析】假设存在正整数，，使得，则，转化为的关系进行分析，即可判断选项①，利用完全平方式将
简，可得即，再分析的对称性，可得，从而可判断选项②，利用，2，3，，得到，，，且当时，单调递增，分析即可判断选项③．
【解答】解：若存在正整数，，使得，则，即，
令，解得（舍或，即，所以存在，，使得，故选项①正确；
因为，即，即，且，，记，对称轴为，而，2，3，故只有，时，有，但此时不成立，
故不存在正整数，，使得
因为，2，3，，
则，，，且当时，单调递增，所以当时，，而，故当时，，又，，所以数列有最小项，故选项③正确．故选：．
l m n =+2m l n =⋅2m l n ≠+211m l n
≠+A m ()n m n ≠m n S S =0m n S S -=n a m n a a +=m n a a =n a 121320a a =-=-=<12(1n n T a a a n =⋯=)⋯12a =-22a =-30a =2n …n a m ()n m n ≠m n S S =0m n S S -=120m m n a a a ++++⋯+=0n a =0n =)3n =30a =2m =3n =m n S S =m n a a +=20-=m n a a =0m a …0n a …23y n n =-3
2
n =
1n =⋯11n =22n =12n n a a =121320a a =-=-=<m ()n m n ≠m n a a +=12(1n n T a a a n =⋯=)⋯12a =-22a =-30a =2n …n a 3n >0n a >30T =3n >0n T =24T =12T =-{}n T 12T =-C
【点评】本题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能利用数列的基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解本质．二．填空题（共2小题）
11．【分析】由函数的解析式作出函数图象，由图象可以直接判断出正确的选项．【解答】解：由函数的解析式可得图象如图：
①时函数为奇函数，故①正确；
②由图象可知对于任意的实数，函数无最值，故②正确；③当，时函数没有零点，故③错误；
④由图象可知，当时，函数在上单调递减，故④正确．故答案为：①②④．
【点评】本题考查了函数图象与性质，属于基础题．
12．【分析】当时，求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系进行分析，即可判断选项①；
利用圆的对称轴经过圆心，所以直线经过两个点，从而得到直线的斜率，即可判断选项②；
考虑极限情况，，为切点时比，为割点时的更大，故直线的斜率最大时，点，均应为切点，分析求解即可判断选项③；
根据，可得点为以为直径的圆上，最大时应该是圆心的纵坐标加半径，利用换元法求出最值即可判断选项④．
【解答】解：当时，直线，故圆的半径
到直线的距离，
()f x ()f x 0a =()f x a ()f x 3k =-8a =()y f x k =+a m >()f x (1,)m -0a =l l M N M N MAN ∠l M N 90MAN ∠=︒A MN t 0a =:0l y =r =P
所以当，直线与圆相离，故选项①正确；
因为圆的对称轴过圆心，故直线过点，
又直线，所以，故选项②正确；考虑极限情况：取的中点，点在以为圆心，为半径的圆上，
则，当且仅当，，三点共线且时取等号，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上或圆内，
此时的最大值使得与此圆相切，
点到的距离为，解得或（舍，此时，则，又因为，，
所以，，
故，，三点不共线，即取等号的条件不成立，
综上所述，选项③错误；
设，，
则的中点，，而，则点为以为直径的圆上，
设半径为，，则，
所以最大时应该是点的纵坐标加半径，即，令
，，令，得，，
时，
所以
，故选项④正确；故答案为：①②④．
0a =l P l (5,2):l y ax =25
a =MN D A D MD 2PA AD DP MD PD +=+==……A P D PD MD =A P a y ax =(5,2)P y ax =2d =
=2021a =0a =)AD l ⊥2120AD k =-
MD PD =45DPM ∠=︒1PD k =-AD PD k k ≠A P D (5,2)N θθ+(5,2M +MN (5Q θ+2)θ90MAN ∠=︒A MN r 244sin MN θ=-r =t Q 2t θ=+()2g x =+++[1x ∈-1]μ=2()2)f μμμ=+
-+μ∈2()2f μμ=+++μ=()2max f f μ===t
【点评】本题以命题真假的判断为载体考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了换元法求解函数的最值问题、二次函数的最值问题，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力以及化简运算能力要求很高．。