在点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布

点电荷电场中球形导体表面
感应电荷的分布
姜树青
（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）
摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表面有感应电荷分布．本文拟对球形导体表面感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨． 关键词：感应电荷面密度 最近点 最远点 界心角 切心角 角差 1 问题的提出
如右图1所示，导体球半径为R ，点电荷与球心相距为r （r ＞R ），整个装置置于真空中．试讨论在电键k 接通和断开两种情况下，导体球表面感应电荷的分布规律． 2 求解和讨论 2.1电键k 接通情形
2.1.1导体球表面感应电荷分布的定量表达式
我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q 和球面感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球面感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q 的像点电荷q ′等效替代． q ′位于Q 与导体球心O 连线上，距球心为r ′．这里 q ′和r ′之值为：
画出点电荷r 为正、负电性两种情形球面某点P 的合电场E P 如图2甲、乙所示．图中E P 方向总与球面垂直，当Q 为正电性时，E P 方向沿径向指向球心；当Q 为负电性时，E P 方向沿径向指向球外．只要R 和r 相同，点电荷Q 正、负两种情形对应的E P 大小相等．
设θ为OQ 和OP 所夹的角， 仅用初等数学知识就能求出Q 和
．
Q
2r
R
－q r R r ='='，
q ′在P 点产生的合场强E P 的大小（推导过程从略）：
于是P 点感应电荷面密度σP 为
表达式中前面的“－”号表示感应电荷的电性与Q 相反．
由上式可知，在Q 、R 及r 都确定下，球面上感应电荷的面密度σ只与θ有关．在θ于范围0～2π以内，σ总与Q 符号相反，即整个导体球面上都分布着与Q 电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q 与球心O 的连线对称．|σ|—θ关系如图3所示． 我们知道，导体球接地时，整个球体电势视为0，设整个球面感应电荷的总量为q 总感，由电磁学知识易得q 总感之值：
kQ/r + k q 总感 /R = 0，
即
q 总感=－R Q / r ． （2）
一个自然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球面感应电荷，整个球面感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球面积分：
，）
（）（32222P cos 2Q θR r －R r k R －R r －E +⋅=）
（）
（）（1cos 2Q
443
2
2
22P P ．R r －R r R
－R r －
k
E θππσ+⋅
==
．Q 2
24Q ]cos 21[24Q cos 2sin 4Q sin 22220
21
2
2220
2
32220220
220R R r r R r R rR R r rR
R r R d rR R r d R r R d d R s d q -
=-⋅
⋅--=-+⋅-⋅⋅--=-+--===-⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰）（）（）（）（）
（）（总感ππθππθθθϕπθ
ϕθσσππππ
π
可见，两种方法所得结果一致．
2.1.2球面最近点感应电荷的面密度σ近
如图2中，球面上距Q 最近点M ，以下简称最近点．令（1）式中θ= 0，得到球面最近点感应电荷的面密度
设想Q 距球心的距离发生变化：r →R 时，|σ近|→∞，即当点电荷Q 由远及近以至充分接近球面时，理论上球面最近点感应电荷面密度的绝对值逐渐增大并趋于无穷大；r →∞时，|σ近|→0．画出|σ近|— r 关系如图4所示． 2.1.3球面最远点感应电荷的面密度σ远
如图2中，球面上距Q 最远点N ，以下简
称最远点．令（1）式中θ=π，得到球面最远点感应电荷的面密度
画出|σ远|— r 关系如图5所示．在r →R 和r →∞两种极端情况下，均有 |σ远|→0，故适当取r 值，|σ远|可取极大值．极值点的位置在何处？把（4）式变形为
可知：当（r －R ）= 4R 2 /（r －R ），即r = 3R 时， |σ远|取极大值（另一根r =－ R 舍弃），此时σ远为
如果设想把－Q 的电量全部导入一半径为R 的中性绝缘导体球，则当－Q 在导体球面上均匀分布后，电荷的面密度为σ′= －Q /4πR 2．显
）（）（）（近34Q 2．R r R R r -+-=πσ）（）（）（远44Q
2
．R r R R r +--=πσ．R
πR r R R r R r 2
32max 32Q ]4Q [-=+--==）（）（远πσ，）
（）（）（）（远]
44[14422R R r R
R r R Q R r R Q R r +-+-⋅-=+--=ππσ
然，上述最远点处的感应电荷面密度σ远max 也才是σ′的1/8．可见最远点处感应电荷分布得较“稀疏”．
2.1.4感应电荷面密度之比σ近/σ远及其随r 的变化
球面最近点和最远点感应电荷面密度的比值为
由（5）式可以看出，当点电荷Q 与球心距离r 在区间（R ，∞）内逐渐增大时，σ近/σ远从无穷大逐渐衰减并趋于1．这表明当点电荷Q 与导体球逐渐远离时，σ近和σ远一方面均渐减小且趋于0，另一方面球面感应电荷的分布也渐趋均匀．画出σ近/σ远 —— r 关系如图6所示．
表1列出由（5）式求出的几个r 值所对应的σ近/σ远之值，以便比较．
r 100 R 10.0 R 3.00 R 2.00 R 1.50 R 1.10 R 1.01 R σ近/σ远 1.062 1.826 8.000 27.00 125.0 9261 8.121×106 2.1.5右半球面感应电量q 远半占整个球面感应总电量q 总感的百分比 在图1中，我们把导体球面分成靠近Q 一侧的左半球面和远离Q 一侧的右半球面，感应电量分别记为q 近半和q 远半．右半球面的电量 q 远半为
）
（）（）（）
（）
（）（远近521]Q 4[4Q 3
2
2．R
r R R r R r R R r πR R r -+=-+-⋅-+-=πσσ．
R
r R r r
R r r R r R R r R R r d r R R r R R r d r d s d q ）（）（）（）（）（）
（（右半球面）
远半+-+⋅--=-+-⋅--=-+⋅--=⋅==-
⎰
⎰⎰
⎰⎰112Q ]cos 2[2Q ]cos 2sin 4Q [2sin 2
2222
212222223222220
22π
π
π
π
ππ
πθθθθππθθσϕσ
可以证明，在r →R 下，上述q 远半→0．前已讨论，当r →R 时，
最远点|σ远|→0，最近点|σ近|→∞；而由球面感应总电量 q 总感=－R Q / r 知，当r →R 时，q 总感→－Q ．如果我们把上述变化综合起来考查，展现在眼前的是这样一幅物理图景：随着点电荷Q 逐渐向导体表面移近，整个球面感应电荷的总量逐渐增大并趋于－Q ，感应电荷的分布也逐渐向左半球面聚拢，最终感应电荷几乎全部地聚集于最近点处．这是不难理解的，因为当r →R 时，点电荷Q 非常接近导体球面，对点电荷Q 而言，球面则相当于“无穷大的平面”了，它发出的电场线将几乎全部地终止于球面上最近点附近很小的面积区域内．
右半球面感应电量q 远半与整个球面感应总电量q 总感之比为
表2列出由（6）求得的几个r 值下的q 远半/q 总感 百分比之值，供读者比较．
由上表可直观地看到，随着点电荷Q 逐渐向导体球靠近，导体球远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量q 总感的百分比越来越小，或者说导体球面感应电荷的分布重心逐渐向靠近点电荷Q 一侧移动，而当点电荷Q 逐渐远离导体球时，远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量 q 总感的百分比越来越趋近于50％． 2.2电键k 断开情形
当k 断开时，根据电像理论，导体球表面电荷在球外空间的电场贡献可由两个像电荷q ′、q ″共同等效替代：q ′和“2.1电键k 接
）
（）（）（）（总感
远半61
12Q 112Q 22222222．R r R
r R R r r R R r R r r R r q q +-+⋅-=-+-+⋅--=
通情形”完全相同，而q ″置于球心，电量为导体球带电量与q ′之差．以下本文只对整个导体为电中性情形作出讨论．
2.2.1整个导体球为电中性情形下，表面感应电荷分布的定量表达式
此时球外空间的电场由点电荷Q 及两个像电荷q ′、q ″共同产生，q ′=－q ″=－R Q / r ．三者在球面外侧附近的合场强E 方向沿法线，大小为
于是球面某点P 感应电荷面密度表达为
2.2.2中性导体球面上感应电荷的界心角
右图7为中性导体球在点电荷电场中的剖面图，A 1 、A 2为圆周上正、负感应电荷的分界点（图中以正点电荷Q 为例画出）．我们定义，分界点A 1 、A 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠A 1O A 2叫界心角，用α
表示．在分界点处，感应电荷面密度必为0，故令（7）式σ= 0，得到
这里θ1、θ2分别对应图7中A 1 和A 2两分界点．于是界心角为
可以证明，（8）式在r →R 和r →∞下，分别有α→0和α→π，表明随着点电荷Q 接近中性绝缘导体球，与Q 异性的感应电荷只分布在球面上很小比例的面积区域内；而当Q 远离中性绝缘导体球并趋向无穷远时，球面上正、负感应电荷的分布均渐趋占据半个球面． 2.2.3中性导体球面感应电荷的界心角和切心角的关系
，
）
（）（）
（）（R r k R r －R r k R －R r －r q k R r －R r k R －R r －E Q
cos 2Q cos 2Q 322222
32222++⋅="
++⋅=θθ）
（）（）（74πQ
cos 2Q 432222．rR R r －R r R －R r －++⋅=θπσ，）（r R R r r r R 2arccos θ32222221--+=．
r
R R r r r R 2arccos 2θ32
222222）
（--+-=π）
（）
（82arccos 22θα32
222221．
r
R R r r r R --+==
过点电荷Q 向导体球做切线，剖面如图8所示．其中B 1、B 2为两个切点．为叙述方便，把切点B 1、B 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠B 1O B 2叫切心角，用β表示，有
有人从“想当然”出发，错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心角β．以下我们用反证法证明，只有在r →R 和r →∞两种极端情况下二者相等外，其它情况下并不相等．
令r /R =m ，α和β可简化为
假设α≤ β． 有
亦即
两边同时立方并整理，得到
因r ＞R ，必有r /R =m ＞1，故上面不等式不成立！
结论：只要满足条件∞＞r ＞R ，必有α＞β，即导体球感应电荷的界心角α总大于切心角β． 2.2.4角差及其极值
把界心角α与切心角β之差叫角差，用γ表示．有
我们的问题是：那种错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心
．
r
R
arccos 2β=．m
1arccos 2β2m 1m 2m m 1m arccos 2α33=+--+=，m
1
2m 1m 2m m 1m 33≥+--+1m m 1m 2m m 233-≤+-01m 2
2≤-）（）
（），（9m
1arccos 2m 1
m 2m m 1m arccos 2β－αγ33－+
--+==
角β的观点，产生的偏差最大能达到多少？换言之，角差γ的最大值γmax是多少？
（9）式是复杂函数，我们借助电子计算机，生成γ—m关系如图9所示，采用逼近法求近似值，得到如下结果：
m0≈1.07048，γmax≈0.314131弧度≈18°．
即：当点电荷Q离球心的距离约为球半径的1.07048倍（见图10）时，界心角α与切心角β相差最大约为18°（角差的一半即半角差γ/2，最大约为9°，见图10中阴影部分）．。