【突破】江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺数学理试题五Word版含答案

【关键字】突破
2017届高三
数学（理）试卷（5）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U＝R，集合，，则∩=
A．B．C．D．
2.已知复数z与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则复数z的虚部为
A. B. C. D.
3. 已知在平面直角坐标系中，A，B，若，则
A．B．．D．65
4．某大学为了了解大一新生对舞蹈社团的关注程度，在大一年级的学生中，随机抽取了30名学生进行一次调查，列出了如下列联表：
则可以说大一年级学生参加舞蹈社团与性别有关的把握为
A．1% B．95% C．99% D．99.9%
附：参考公式和临界值表
(其中n=a+b+c+d为样本总量).
5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为，每次输入的值均为，输出的值为，则输入的值为
A. 6
B.
C. 4
D. 3
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．B．
C．D．
7. 已知抛物线上一点P(－4，4)，直线交抛物线于点，设直线的斜率分别为，则的最小值为
A.4 B C.2 D.1
8.在△ABC中，，，△ABC的面积为4，则AC边上的高为
A. B. C. D.
9．已知实数x，y满足若的最大值是2，则实数a＝
A．－1 B． C．－3 D．2
10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到相应函数的图象关于点对称，则的值不可能是A．B． C． D．
11．已知双曲线Γ：的焦距为，直线．若，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若，则l 与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
12．已知函数在区间（0，1）上有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为
A．B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了调查观众对央视某节目的关注度，现从某社区随机抽取20名青年人进行调查，再从中挑选4名做进一步调查，则20名青年人中的小张、小李至少有1人被选中，而小汤没有被选中做进一步调查的不同选法为.（用数字作答）
14．在平面直角坐标系xOy中，角α为直线y＝3x＋1的倾斜角，则的值是. 15．已知正三棱柱，，则该正三棱柱的外接球的表面积与其内切球的表面积比为．16．已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知数列{an}的首项为2，且点在一指数函数的图象上.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设数列{an}的前n项和为，且，求数列的前n项和.
18. （本小题满分12分）
某大学的学生随机调查了20到70岁之间的600位上网购物者的年龄情况，并将所得数
据绘制成频率分布直方图（如图）.
（I ）求频率分布直方图中实数的值及样本中年龄在内的人数；
（II ）现将年龄在内的人群定义为“高消费人群”，年龄在内的人群定义为“低消费人群”，其他年龄段的人群定义为“中消费人群”， 现采用分层抽样的方法从参与调查的上网购物者中“高消费人群”及“低消费人群”共随机抽取7人，再从这7人中任选2人，设这2人来自“高消费人群”的人数为，求的分布列和数学期望． 19. （本小题满分12分）
如图所示，在多面体中，与均为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．
（I ）求证：平面平面；
（II ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分）
已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点，且点到直线的距离为． （I ）求椭圆的方程；
（II ）设112212(,),(,)()M x y N x y x x ≠为椭圆上的两点，且满足
221212
22
a x x
b y y OM ON a b
+⋅=+，求证：MON ∆的面积为定值，并求出这个定值． 21. （本小题满分12分）
已知函数f (x )＝x ln x －ax 2(a ∈R )的图象过点（1，－1）. （I ）求函数()
()2f x g x x
=
的单调区间； （II ）若函数()2e (1)x h x x x =-+，()2
ln 1F x x x x =--，证明：函数()h x 图象在函数
()F x 的图象的上方.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1是以C 1(3，1)点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2：sin cos 1ρθρθ-=.
（1）求曲线C 1的参数方程与直线C 2的直角坐标方程； （2）直线C 2与曲线C 1相交于A ，B 两点，求△ABC 1的周长.
23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()|3|h x x =--．
（1）若()|2|h x x n --≤对任意的x ＞0恒成立，求实数n 的最小值；
（2求函数()()()g x f x h x =+的值域．
2017届高三
数学（理）参评试卷参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】C
【解析】 由(5)0x x -≥得，50x x ≥≤或，则C ={|05}U A x x <<.又B ＝{x |x ≤3}，故C U A ∩B ={x |0＜x ≤3}．故选C. 2. 【答案】 A
【解析】 因为()()()2017i 2i i 12i 2i 2i 2i 55+==-+--+，又复数z 与2017i 2i
-对应的点关于实轴对称，
所以复数12i 55z =--，所以复数z 的虚部为2
5
-，故选A. 3. 【答案】C 【解析】
,(1,2)(,1)0,20OA OB λλ⊥∴⋅-=∴-=，得2λ=，∴(2,1)OB =-，
23(2,4)(6,3)(8,1)OA OB +=+-=，∴2|23|8165OA OB +=+=，故选C.
4．【答案】 C
【解析】 假设参加舞蹈社团与性别无关，则2K 的观测值
2
30(42168)10 6.63512182010
k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为参加舞蹈社团与性别有关，
故选C ． 5．【答案】C 【解析】 由程序框图，得
；
，结束循环，即输入n 的值为4.故选C.
6. 【答案】D
【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正方体（棱长为2）挖去一个半圆锥（高为2，半径为1）组合而成的简单组合体，所以其体积为3
211212=8233
-⨯⨯π⨯-π
⨯，故选D ． 7. 【答案】D
【解析】设点),(),,(2211y x B y x A ，联立方程得2(4)5,
4,y k x x y =-+⎧⎨=⎩
消去y ，得
0201642=-+-k kx x ，由根与系数的关系，得2016,42121-==+k x x k x x .又
4
4
,4422
2111+-=+-=
x y k x y k ， 所以
22
12121212121244
441
44||||||||
44444
x x y y k k x x x x x x -----=-=-=-++++212214)(4
1
x x x x -+=
)2016(4164
1
2--=
k k 11)2(5422≥+-=+-=k k k ，所以12||k k -的最小值为1. 故选D. 8. 【答案】A
【解析】 因为△ABC 的面积为4，所以
1sin 42BC AB B ⋅⋅=，所以12sin 424
AB π
⨯⨯⨯=，解得42AB =．由余弦定理可得222
2(42)2242252
AC =+-⨯⨯⨯
=，设AC 边上的高为h ，则
142AC h ⋅=，即12542h ⨯=，得455
h =．故选A. 9．【答案】C
【解析】 不等式组表示的平面区域是以点（0，0）、（0，1）和
11
,22
-（）为顶点的三角形（包括边界），当a =0时，[0,1]z y =∈，最大值不是2，舍去；当a ≠0时，z ax y =+即y ax z =-+，当1a ->，即a ＜－1时，
经过点
11,22-（），z 取得最大值11
222
a -+=，解得a =－3；当1a -≤，即a ＞0或－1≤ a ＜0时，经过点(0，1)时，z 取得最大值1，不符合题意.故a =－3.
故选C. 10．【答案】C
【解析】为sin()cos()y x x αα=++，所以1sin(22)2y x α=+，将函数1
sin(22)2
y x α=+的图象向右平移
3
π
个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为
112sin[2()2]sin(22)2323y x x ααππ=-+=-+，因为该函数的图象关于点(,0)6π对称，
可得222,63k k αππ⨯-+=π∈Z 即，所以,26k k αππ
=+∈Z ， 若3απ=，则13k =∉Z ，所以α的值不可能是3
π
，故选C.
11．【答案】C
【解析】
因为c
所以直线:y kx l =-．
由22
221,y k x y a b x -⎧=-=⎪⎨⎪⎩
得，①.
因为k =
则l 与Γ的左、右两支各有一个交点，所以方程①有两个不相等的异号实根，所以22222222222
(33)(34)
033a a b b a a b b a b a
+++-=-<--，得223b a >；
因为k =，则l 与Γ的右支有两个不同的交点，所以方程①有两个不相等的正实根，
所以2222
220(1515)
015a a b b b a ⎧>⎪⎪⎨++⎪->⎪-⎩
，得22
15b a <.综上，22315b a <<，所以222315c a a -<<，所以23115e <-<，24e <<，所以Γ的离心率的取值范围为(2,4)．故选C. 12．【答案】D
【解析】 因为21())e (x a kx g x x ++=，所以32
2
(21)(e ())1x kx kx a x g x x
+++-'⋅=，设()32(21)(1)(0)h x kx kx a x k =+++->，()23221(0)h x kx kx a k '=+++>.
①当210a +>，即1
2
a >-
时，()0>'x h 在()1,0上恒成立，即函数在()1,0上为增函数，而()0(21)0h a =-+<，()120h k =>，则函数()x h 在区间()1,0上有且只有一个零点0x ，
使()00g x '=，且在()0,0x 上，()0g x '<，在()1,0x 上()0g x '>故0x x =为函数()g x 在
()1,0上唯一的极小值点；
②当210a +=，即12
a =-
时，()2
320h x kx kx '=+>在()1,0上恒成立，即函数()x h 在
()1,0上为增函数，又此时()00=h ，所以()0>x h 在区间()1,0上为单调递增函数，所以
()g x 在区间()1,0上无极值；
③当210a +<，即12
a <-
时，()32
(21)(1)h x kx kx a x =+++-，因为()1,0∈x ，所以总有()0>x h 成立，即()0g x '>成立，故函数()g x 在区间()1,0上为单调递增函数，所以函数()g x 在区间()1,0上无极值.综上，1
2
a >-，故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1 496
【解析】 可分两类:小张、小李只有1人入选， 小汤没有入选，则有13
217C C 种不同的选法；
小张、小李都入选， 小汤没有入选，有22
217C C 种.根据加法计数原理，共有1322
217217C C +C C =1496种不同的选法.
14．【答案】35
-
【解析】 通解 因为角α为直线31y x =+的倾斜角，所以tan 3α=，所
以
，
.
所
以
cos(32)tan(2)cos 2tan 2ααααπ-π+=
-15．【答案】5∶1
【解析】 设正三棱柱111ABC A B C -的外接球与其内切球的半径分别为,R r ，1AA a =，
则
AB =，则2a r =
，2
R ==，所以该正三棱柱的外接球
的表面积与其内切球的表面积的比为2
2
2
22
2)
452141()2
R R r r a π===π． 16．【答案】(0,3)
【解析】作出函数图象如图所示.
由12()()f x f x =可得，3132|log ||log |x x =.又12x x <，所以3132log log 0x x +=，解得
121x x ⋅=.
显然，(3,1)A ，又03x <≤时，()0f x ≥，因为方程()f x m =有四个不同的实根，所以
01m <<.
因为函数2110
833
y x x =
-+的对称轴为5x =，故由34()()f x f x =可得3410x x +=.故34343312
(3)(3)
(3)(3)(3)(7)x x x x x x x x --=--=--2331021x x =-+-23(5)4x =--+.记
2()(5)4g t t =--+，由01m <<，即2110
08133
x x <-+<，解得34x <<或67x <<，
所以334x <<，故2
()(5)4g t t =--+在(3,4)上单调递增，所以(3)()(4)g g t g <<，即
()(0,3)g t ∈.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】 （1）设指数函数的解析式为x y m =(m ＞0，且m ≠1)，（1分） 因为21=a ，所以点(1,3)在指数函数x y m =的图象上， 所以13m =，得3m =，所以3x y =．（3分） 在指数函数3x y =的图象上，所以4分） 所以1
*23
()n n a n -=⨯∈N .（5分）
（2）由（1）知，1
*
23()n n a n -=⨯∈N
6分）
故13
log )1(log 1
313+==+=++n S b n n n .（7分）
所以0
1
2
212[2333433(1)3]n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ①， 所以1
2
3
132[2333433(1)3]n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+⨯++⨯ ②，（8分）
由①－②得，1
2
3
1
22[23333(1)3]n n n T n --=++++
+-+⨯，
所以2
1
3)12(-⨯+=n n n T .（12分）
18. 【解析】 （1）由频率分布直方图，可得(0.0260.0300.0140.012)101m ++++⨯=， 得0.018m =.
则样本中年龄在[40,60)内的频率为(0.018＋0.014)×10＝0.32， 故样本中年龄在[40,60)内的人数为600×0.32＝192.（5分）
（2）由频率分布直方图可知，“高消费人群”与“低消费人群”的人数比为
0.030106005
0.012106002
⨯⨯=⨯⨯，
由分层抽样的性质知，抽出的7人中为“高消费人群”的人数为5，“低消费人群”的人数为2.（6分）
所以X 的可能取值为0，1，2. （7分）
所以所求的X 的分布列为
（10分）
12分） 19.【解析】（1）∵平面GBC ⊥平面ABCD ，且DC BC ⊥，∴DC ⊥平面GBC ． ∵BG ⊂平面GBC ，∴DC BG ⊥． (2分 )
又GBC ∆为等腰直角三角形，GB GC =，∴BG GC ⊥． ∵DC GC C =，∴BG ⊥平面DGC ． (4
分 )
又BG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面DGC ． (5分 )
（2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED AD ⊥，∴ED ⊥平面ABCD ， ∴,ED AD ED DC ⊥⊥，
又AD DC ⊥，∴以D 为原点，以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意，知(2,2,0)B ，(2,0,2)F ，(0,2,0)C ，(0,0,2)E ，(1,2,1)G ， ∴(0,2,2)FB =-，(1,0,1)BG =-，(0,2,2)EC =-，(1,0,1)CG =． (7分 )
设平面FGB 的法向量为1111(,,)x y z =n ，
则110,0,FB BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,0,
y z x z -=⎧⎨-+=⎩取1x =，则1(1,1,1)=n 为平面FGB 的一个法向量． 设平面EGC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则
220,0,EC CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,0,
y z x z -=⎧⎨+=⎩取1x =，则2(1,1,1)=--n 为平面EGC 的一个法向量. (10分 )
∴1212121cos ,||||3⋅<>===-n n n n n n ， ∴平面FGB 与平面EGC 所成锐二面角的余弦值为
13
． (12分 ) 20．【解析】 （1）由题意，得直线AB 的方程为1x y a b +=-，点(0,)C b -， ∴点C 到直线AB
的距离7d =
=，整理，
20b -=． ① (2分 )
又点(2,3)在椭圆上，所以22491a b
+=． ②
联立①②解得4,a b ==
所以椭圆的C 的方程为22
11612
x y +=． (4分 ) （2）设直线MN 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，并整理得222(34)84480k x kmx m +++-=．
∵=∆2222226416(34)(12)48(1216)0k m k m k m -+-=+->，
∴2212160k m +->， ∴221438k km
x x +-=+，21224(12)34m x x k -=+， ∴22
22
121212122348()()()34m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=⋅+++=+． (6分 )
又1212OM ON x x y y ⋅=+，则由题意，得
221212121212122216121612
a x x
b y y x x y y x x y y a b +++==++， 整理，得1212340x x y y +=，则222
22
4(12)3483403434m m k k k --⋅+⋅=++， 整理，得2268m k =+（满足0>∆）． ∵||1||212x x k MN -⋅+=2122124)(1x x x x k -+⋅+=＝
=
||m ==．
（8分）
又点O 到直线MN 的距离21|
|k m d +=， (10分 )
∴11||22MON S MN d ∆=⋅⋅=⋅=． (12分 ) 21. 【解析】 （1）因为函数()2ln ()f x x x ax a =-∈R 的图象过点（1，－1），
所以()11f =-，所以ln11a -=-，得1a =．（2分）
所以()2ln f x x x x =-，则()11()ln 222
f x
g x x x x ==-，()111'222x g x x x -=-=， 当01x <<时，()'0g x >，()
h x 单调递增；
当1x >时，()'0g x <，()h x 单调递减.
所以函数g (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞. （6分）
（2）要证函数()h x 的图象在函数()F x 图象的上方，
需证()()h x F x >恒成立，
即证22e (1)ln 1x x x x x x -+>--恒成立，
即证ln e 2x x <-恒成立．（8分）
由（1）可得()()111ln 1222
g x x x g =-≤=-，所以ln 1x x ≤-.（9分） 要证ln e 2x x <-恒成立，需证1e 2x x -<-恒成立，即证e 10x x -->恒成立. （10分）
令()e 1x x x ϕ=--，则()'e 1x x ϕ=-，
当0x >时，()'0x ϕ>，所以()x ϕ单调递增，（11分）
所以()()00x ϕϕ>=，即e 10x x -->恒成立．
所以函数()g x 图象在函数()F x 的图象的上方. （12分）
22. 【解析】 （1）因为曲线C 1是以C 1(3，1)
所以曲线C 1
的参数方程为31x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩， (α为参数).（3分） 由直线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程得1y x -=，即10x y -+=．（5分）
（2）因为圆心C 1(3，1)到直线10x y -+=
的距离为2
d =，（7分） 所以直线C 2被曲线C 1截得的弦长｜AB
|=== . （9分） 所以△ABC 1
10分） 23. 【解析】 （1）()|2|h x x n --≤对任意的x ＞0恒成立，等价于|3||2|x x n ----≤对任意的x ＞0恒成立，等价于min (|2||3|)n x x -≤-+-对任意的x ＞0.（2分）
因为|2||3||2(3)|1x x x x -+-≥---=，当且仅当[]2,3x ∈时取等号，所以1n -≤，得1n ≥-．
所以实数n 的最小值为－1. （5分）
（2
7分）
当03x <<时，
当3x ≥时，36x +≥.
综上，()2g x ≥.
所以函数()()()g x f x h x =+的值域为10分）
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