现代控制理论第二版 王孝武 第4章
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则 xe 0 为一致稳定的。
如果
V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。 x ，
( x )≤0 因为 V ( x ) 0 ，则系 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V 统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 xe 0 是一致稳 定的。
第4 章
控制系统稳定性
对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的 研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普 诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般 问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的 几个柱石之一。
不稳定
4.2.4 不稳定 对于任意的实数 0 ，存在一个实数 0 ，不论 取的多么小，在满足不 x0 xe 等式
的所有初始状态中，至少存在一个初始状 态 x0 ，由此出发的轨线 x(t ) ，满足 x xe 称 xe 0 为Lyapunov意义下不稳定
（2）
在任意时刻，系统的总能量
1 2 1 2 E ( x1 , x2 ) x2 kx1 2 2 显然，当x 0时 E ( x ) 0 ， 而当 x 0 时 E (0) 0
而总能量随时间的变化率为 d E d x1 E d x2 2 1 x2 x 2 fx2 E ( x1 , x2 ) kx1 x dt x1 d t x2 d t
由定理4-4可知，xe 0 是不稳定的。
应该指出： Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分
条件。到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般
方法。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数， 既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该 系统稳定性的信息（即：inconclusive —没有得出结论）。
2 1 2
V ( x) (3 x1 5 x2 ) 2
4.3 李亚普诺夫第二法
f ( x) x 定理4-1 设系统状态方程为 （7） V ( x )具有连续一阶偏导数， 在平衡状态 xe 0 的某邻域内，标量函数 并且满足：
V ( x )为正定； 1）
( x ) 为负定。 2） V
本章的主要内容为 1. 引言 2. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 3. 李亚普诺夫第二法
4. 线性连续系统的稳定性 5. 线性定常离散系统的稳定性 6. 有界输入-有界输出稳定 7. 非线性系统的稳定性分析
4.1 引言
李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。 第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原 系统的稳定性。 第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性 的信息。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别 重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。 这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研 究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。
二：标量函数的正定性、负定性 1：正定性 设有标量函数V(x)，对域S中的所有非零状态x， 总有V(x) >0，且当x=0时，有V(x)=0，则称标量函数V(x)在域S 内是正定的 2：负定性 设有标量函数V(x)，对域S中的所有非零状态x，总 有V(x)<0，且当x=0时，有V(x)=0，则称标量函数V(x)在域S内 是负定的。此时 –V(x)是正定的 3：正半定性和负半定性 设有标量函数V(x)，对域S中的某 些非零状态x及x=0，有 V(x)=0，而对于S中的其余状态有 V(x)>0，则称标量函数V(x)在域S内是正半定的。如果- V(x) 是正半定的，则V(x)是负半定的 4：赛尔维斯特准则：对于二次型函数V(x)=xTQx，若Q的所有 主子式大于零，则Q是正定的，V(x)也是正定的；或者Q的特征 值均为正值，则Q是正定的，V(x)也是正定的。
lim x (t ) x e
t
则称平衡状态xe为Lyapunov意义下大范围渐近稳定或 全局渐近稳定。 如果与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。 如果只有从平衡点xe的某个领域内的初始状态x0出发的轨线x(t) 才有： lim x (t ) x e
t
则称平衡状态xe为Lyapunov意义下局部范围渐近稳。
（对于所有t≥t0）
则称 平衡状态xe为Lyapunov意义下稳定的。 如果δ与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。
4.2.2 渐近稳定 对于任意给定的实数ε>0，δ>0，都存在实数T(ε, δ, t0)， 使得从满足
x(t0 ) xe
的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：
则 xe 0 为一致渐近稳定的。 如果
V ( x ) ，则 xe 0 是大范围一致渐近稳定的。 x ，
例4-3 系统的状态方程为
1 x2 x 2 a(1 x2 ) 2 x2 x1 x
其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。
解
系统的平衡状态为 xe 0
4.4 线性连续系统的稳定性
A(t ) x 对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为 x
由第2章介绍的方法求出其解为 x(t ) (t , t0 ) x(t0 ) 由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定； 如果发散，则都不稳定。 对线性定常系统 ，可以用Lyapunov第二法。 q11 q12 q1n q q q 21 22 2n 首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵 Q q q q 当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定 n2 nn n1 的。即： q11 q12 q1n q21 q22 q2 n q q 11 12 0 q11 0 0 q21 q22 qn1 qn 2 qnn
x x x2 xn
1 2
2 1
2
1 2 2
m×n矩阵A的范数定义为
n m 2 A aij j 1 i 1
二：平衡状态
f ( xe , t ) 0 状态xe 定义为满足x
如果平衡点xe不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换， 使 xe=0，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点 的稳定性问题。
V ( x ) 0 解 选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足 V ( x) 0 1 1 2 V ( x ) ( x1 x2 ) 2 x12 x2 2 2 ( x) ( x x )(x 而 1 x 2 ) 2x1x 1 x2 x 2 V 1 2
定理4-2 设系统状态方程为
f ( x) x
在平衡状态 xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续) 为半负定；3）除了x 0 平衡状态外， V V ( x ) 为正定； 2） 1） e ( x) 0 ( x ) 0 的点，但是不会在整条状态轨线上有 V 还有 V
x0 x0
将状态方程代入上式，化简后得
( x) ( x 2 x2 ) V 1 2
x0 x0
( x) 0 V V ( x ) 是负定的，即满足 可见， V ( x ) 0
xe 0 是一致渐近稳定的。 因此，
当 x ，有V ( x ) ，故系统 xe 0是一致大范围渐近稳定的。
4.2.1
稳定的定义
f ( x, t ) 非线性时变系统 x
f ( xe , t ) 0
定义 对于任意给定的实数ε>0，都存在对应实数δ(ε, t0) ， 使得从满足
x(t0 ) xe ( , t0 )
的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：
x(t ) xe
( x ) 为正定或半正定； V V ( x ) 为正定； 2） 并且满足： 1）
则 xe 0 为不稳定的。 例4-5 系统的状态方程为
1 x2 x 2 x1 x2 x
分析系统平衡状态的稳定性。 解 系统的平衡状态为 xe 0
2 V ( x) x12 x2 选取Lyapunov函数： V ( x ) 0 x 0 显然它是正定的，即满足 V ( x ) 0 x 0 2 2 ( x) 2 x x 而 V 2 x x 2 x x 2 x x 2 x 2 x 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
（3）
d E /d t 0 。在其他各处均有 d E /d t 0， 可见，只有在 x2 0 时， 这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
4.2 李亚普诺夫意义下稳定性的定义
一：范数
向量
x x1 x2 xn
T
的范数定义为
1 kx2 x 例4-4 系统的状态方程为 2 x1 x
其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。
解
系统的平衡状态为 xe 0 2 选取Lyapunov函数： V ( x) x12 kx2
显然它是正定的，即满足 而
V ( x ) 0 V ( x ) 0 x0 x0
2 V ( x) x12 x2
选取Lyapunov函数：
显然它是正定的，即满足 而
( x) 2 x x V 1 1 2 x2 x2
V ( x ) 0 V ( x ) 0
x0 x0
将状态方程代入上式，化简后得
( x) 2a(1 x )2 x 2 V 2 2
则 xe 0 为一致渐近稳定的。 如果 x ，V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致渐近稳定的。
其中 V (x )称为广义能量函数（energy-like function），又称为 Lyapunov函数。
例4-2 系统的状态方程如下，判别系统稳定性。
1 x2 x 2 ( x1 x2 ) x
( x) 2 x x V 1 1 2kx2 x2 2 x1kx2 2kx 1 x2 0
由定理4-3可知，xe 0 为Lyapunov意义下一致稳定。
f ( x) 定理4-4 设系统状态方程为 x
在 xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导数，
例如 ：
V x x
2 1
2 2
是正定的。
2 V ( x x ) 例如 ： 是半正定的。 1 2
例如 ：
例如 ： 例如 ：
4 V x12 x2 2 2 2
是负定的。
V ( x1 x ) 是半负定的。
3 V x1 x2
是不定的。
V ( x) x12 x2 2 V ( x) x (4 x1 x2 )
x(t ) xe
（对于所有t≥t0+T(ε, δ, t0)）
则称平衡状态xe为Lyapunov意义下渐近稳定。 如果T与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。
Lyapunov意 义下稳定
渐近稳定
渐近稳定
4.2.3 大范围渐近稳定 如果从状态空间中的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：
( x ) 0 ，而 x 0 和任意 x1 可见，当 x2 0 和任意的 x1 时，有 V 2 ( x) 0。又因为 x 1 x2 就不为零，因此 1 x2，只要 x1 变化 x 时， V ( x) 0 。 在整条状态轨线上不会有 V xe 0 是一致渐近稳定的。 因此，
当 x ，有V ( x ) ，故系统 xe 0是一致大范围渐近稳定的。
f ( x) 定理4-3 设系统状态方程为 x
在平衡状态xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导 数，并且满足：
V ( x ) 为正定； 1）
( x ) 为半负定； V 2）
例4-1 一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如 下微分方程描述。
fx kx 0 m x fx kx 0 x
令
m 1
（1）
选取状态变量
x1 x
则系统的状态方程为
x 1 x2 x 1 x2 x 2 kx1 fx2 x
如果
V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。 x ，
( x )≤0 因为 V ( x ) 0 ，则系 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V 统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 xe 0 是一致稳 定的。
第4 章
控制系统稳定性
对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的 研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普 诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般 问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的 几个柱石之一。
不稳定
4.2.4 不稳定 对于任意的实数 0 ，存在一个实数 0 ，不论 取的多么小，在满足不 x0 xe 等式
的所有初始状态中，至少存在一个初始状 态 x0 ，由此出发的轨线 x(t ) ，满足 x xe 称 xe 0 为Lyapunov意义下不稳定
（2）
在任意时刻，系统的总能量
1 2 1 2 E ( x1 , x2 ) x2 kx1 2 2 显然，当x 0时 E ( x ) 0 ， 而当 x 0 时 E (0) 0
而总能量随时间的变化率为 d E d x1 E d x2 2 1 x2 x 2 fx2 E ( x1 , x2 ) kx1 x dt x1 d t x2 d t
由定理4-4可知，xe 0 是不稳定的。
应该指出： Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分
条件。到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般
方法。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数， 既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该 系统稳定性的信息（即：inconclusive —没有得出结论）。
2 1 2
V ( x) (3 x1 5 x2 ) 2
4.3 李亚普诺夫第二法
f ( x) x 定理4-1 设系统状态方程为 （7） V ( x )具有连续一阶偏导数， 在平衡状态 xe 0 的某邻域内，标量函数 并且满足：
V ( x )为正定； 1）
( x ) 为负定。 2） V
本章的主要内容为 1. 引言 2. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 3. 李亚普诺夫第二法
4. 线性连续系统的稳定性 5. 线性定常离散系统的稳定性 6. 有界输入-有界输出稳定 7. 非线性系统的稳定性分析
4.1 引言
李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。 第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原 系统的稳定性。 第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性 的信息。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别 重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。 这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研 究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。
二：标量函数的正定性、负定性 1：正定性 设有标量函数V(x)，对域S中的所有非零状态x， 总有V(x) >0，且当x=0时，有V(x)=0，则称标量函数V(x)在域S 内是正定的 2：负定性 设有标量函数V(x)，对域S中的所有非零状态x，总 有V(x)<0，且当x=0时，有V(x)=0，则称标量函数V(x)在域S内 是负定的。此时 –V(x)是正定的 3：正半定性和负半定性 设有标量函数V(x)，对域S中的某 些非零状态x及x=0，有 V(x)=0，而对于S中的其余状态有 V(x)>0，则称标量函数V(x)在域S内是正半定的。如果- V(x) 是正半定的，则V(x)是负半定的 4：赛尔维斯特准则：对于二次型函数V(x)=xTQx，若Q的所有 主子式大于零，则Q是正定的，V(x)也是正定的；或者Q的特征 值均为正值，则Q是正定的，V(x)也是正定的。
lim x (t ) x e
t
则称平衡状态xe为Lyapunov意义下大范围渐近稳定或 全局渐近稳定。 如果与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。 如果只有从平衡点xe的某个领域内的初始状态x0出发的轨线x(t) 才有： lim x (t ) x e
t
则称平衡状态xe为Lyapunov意义下局部范围渐近稳。
（对于所有t≥t0）
则称 平衡状态xe为Lyapunov意义下稳定的。 如果δ与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。
4.2.2 渐近稳定 对于任意给定的实数ε>0，δ>0，都存在实数T(ε, δ, t0)， 使得从满足
x(t0 ) xe
的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：
则 xe 0 为一致渐近稳定的。 如果
V ( x ) ，则 xe 0 是大范围一致渐近稳定的。 x ，
例4-3 系统的状态方程为
1 x2 x 2 a(1 x2 ) 2 x2 x1 x
其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。
解
系统的平衡状态为 xe 0
4.4 线性连续系统的稳定性
A(t ) x 对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为 x
由第2章介绍的方法求出其解为 x(t ) (t , t0 ) x(t0 ) 由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定； 如果发散，则都不稳定。 对线性定常系统 ，可以用Lyapunov第二法。 q11 q12 q1n q q q 21 22 2n 首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵 Q q q q 当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定 n2 nn n1 的。即： q11 q12 q1n q21 q22 q2 n q q 11 12 0 q11 0 0 q21 q22 qn1 qn 2 qnn
x x x2 xn
1 2
2 1
2
1 2 2
m×n矩阵A的范数定义为
n m 2 A aij j 1 i 1
二：平衡状态
f ( xe , t ) 0 状态xe 定义为满足x
如果平衡点xe不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换， 使 xe=0，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点 的稳定性问题。
V ( x ) 0 解 选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足 V ( x) 0 1 1 2 V ( x ) ( x1 x2 ) 2 x12 x2 2 2 ( x) ( x x )(x 而 1 x 2 ) 2x1x 1 x2 x 2 V 1 2
定理4-2 设系统状态方程为
f ( x) x
在平衡状态 xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续) 为半负定；3）除了x 0 平衡状态外， V V ( x ) 为正定； 2） 1） e ( x) 0 ( x ) 0 的点，但是不会在整条状态轨线上有 V 还有 V
x0 x0
将状态方程代入上式，化简后得
( x) ( x 2 x2 ) V 1 2
x0 x0
( x) 0 V V ( x ) 是负定的，即满足 可见， V ( x ) 0
xe 0 是一致渐近稳定的。 因此，
当 x ，有V ( x ) ，故系统 xe 0是一致大范围渐近稳定的。
4.2.1
稳定的定义
f ( x, t ) 非线性时变系统 x
f ( xe , t ) 0
定义 对于任意给定的实数ε>0，都存在对应实数δ(ε, t0) ， 使得从满足
x(t0 ) xe ( , t0 )
的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：
x(t ) xe
( x ) 为正定或半正定； V V ( x ) 为正定； 2） 并且满足： 1）
则 xe 0 为不稳定的。 例4-5 系统的状态方程为
1 x2 x 2 x1 x2 x
分析系统平衡状态的稳定性。 解 系统的平衡状态为 xe 0
2 V ( x) x12 x2 选取Lyapunov函数： V ( x ) 0 x 0 显然它是正定的，即满足 V ( x ) 0 x 0 2 2 ( x) 2 x x 而 V 2 x x 2 x x 2 x x 2 x 2 x 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
（3）
d E /d t 0 。在其他各处均有 d E /d t 0， 可见，只有在 x2 0 时， 这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
4.2 李亚普诺夫意义下稳定性的定义
一：范数
向量
x x1 x2 xn
T
的范数定义为
1 kx2 x 例4-4 系统的状态方程为 2 x1 x
其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。
解
系统的平衡状态为 xe 0 2 选取Lyapunov函数： V ( x) x12 kx2
显然它是正定的，即满足 而
V ( x ) 0 V ( x ) 0 x0 x0
2 V ( x) x12 x2
选取Lyapunov函数：
显然它是正定的，即满足 而
( x) 2 x x V 1 1 2 x2 x2
V ( x ) 0 V ( x ) 0
x0 x0
将状态方程代入上式，化简后得
( x) 2a(1 x )2 x 2 V 2 2
则 xe 0 为一致渐近稳定的。 如果 x ，V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致渐近稳定的。
其中 V (x )称为广义能量函数（energy-like function），又称为 Lyapunov函数。
例4-2 系统的状态方程如下，判别系统稳定性。
1 x2 x 2 ( x1 x2 ) x
( x) 2 x x V 1 1 2kx2 x2 2 x1kx2 2kx 1 x2 0
由定理4-3可知，xe 0 为Lyapunov意义下一致稳定。
f ( x) 定理4-4 设系统状态方程为 x
在 xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导数，
例如 ：
V x x
2 1
2 2
是正定的。
2 V ( x x ) 例如 ： 是半正定的。 1 2
例如 ：
例如 ： 例如 ：
4 V x12 x2 2 2 2
是负定的。
V ( x1 x ) 是半负定的。
3 V x1 x2
是不定的。
V ( x) x12 x2 2 V ( x) x (4 x1 x2 )
x(t ) xe
（对于所有t≥t0+T(ε, δ, t0)）
则称平衡状态xe为Lyapunov意义下渐近稳定。 如果T与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。
Lyapunov意 义下稳定
渐近稳定
渐近稳定
4.2.3 大范围渐近稳定 如果从状态空间中的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：
( x ) 0 ，而 x 0 和任意 x1 可见，当 x2 0 和任意的 x1 时，有 V 2 ( x) 0。又因为 x 1 x2 就不为零，因此 1 x2，只要 x1 变化 x 时， V ( x) 0 。 在整条状态轨线上不会有 V xe 0 是一致渐近稳定的。 因此，
当 x ，有V ( x ) ，故系统 xe 0是一致大范围渐近稳定的。
f ( x) 定理4-3 设系统状态方程为 x
在平衡状态xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导 数，并且满足：
V ( x ) 为正定； 1）
( x ) 为半负定； V 2）
例4-1 一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如 下微分方程描述。
fx kx 0 m x fx kx 0 x
令
m 1
（1）
选取状态变量
x1 x
则系统的状态方程为
x 1 x2 x 1 x2 x 2 kx1 fx2 x