广西壮族自治区桂林市八年级上学期数学期中考试试卷

八年级上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.下列各式中，分式的个数有（）
① ② ③ ④ ⑤
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.下列运算正确的是（）
A. （π﹣3）0=1
B. =±3
C. 2﹣1=﹣2
D. （﹣a2）3=a6
3.函数中，自变量x的取值范围是（）.
A. x≠
B. x≠1
C. x＞
D. x≥
4.下列各式中，变形不正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.将分式方程化为整式方程，正确的是（）
A. x﹣2=3
B. x+2=3
C. x﹣2=3（x﹣2）
D. x+2=3（x﹣2）
7.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长是（）
A. 13
B. 16
C. 18
D. 20
8.分式方程﹣=10的解是（）
A. 3
B. 2
C. 0
D. 4
9.如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )
A. 9
B. 7
C. 12
D. 9或12
10.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）
A. 三边中线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
11.如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，MN是AC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( )
A. 65°
B. 60°
C. 55°
D. 45°
12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=13 cm，则AC的长是( )
A. 13 cm
B. 6.5 cm
C. 30 cm
D. 6 cm
二、填空题
13.若分式无意义，则x的值等于 .
14.函数y= 中，自变量x的取值范围是．
15.计算：．
16.如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，若BC＝AE＝4，DE＝7，则EC＝ .
17.△ABC中，∠A＝32°，∠B＝76°，则与∠C相邻的外角是________°.
18.等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是 cm．
三、解答题
19.计算：
20.解方程：．
21.在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足为E，F，求证：EB=FC.
22.如图在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A=40°，则
（1）.求∠DBC的度数，
（2）.若AB=12，BC=7，求△BCD的周长
23.如图，在Rt△ABC中，∠B=90，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE.
（1）.求∠ADE；（简单写出推导过程）
（2）.当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长.
24.杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．第一批杨梅每件进价多少元？
25.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线.
（1）若∠B=38°，∠C=70°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＞∠C，试探求∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系.
26.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为斜边AC延长线上一点，过D点作BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点F，使得BF=CE，连接EF.
（1）若AB=2，BF=3，求AD的长度；
（2）G为AC中点，连接GF，求证：∠AFG+∠BEF=∠GFE.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：① 分母中不含有字母，不是分式；
② 分母中含有字母，是分式；
③ 分母中不含有字母，不是分式；
④ 分母中含有字母，是分式；
⑤ 分母中不含有字母，不是分式.
故答案为：B.
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，逐项进行判断，即可得出答案.
2.【答案】A
【解析】【解答】解：解：A、（π﹣3）0=1，故A正确；
B、=3，故B错误；
C、2﹣1= ，故C错误；
D、（﹣a2）3=-a6，故D错误．
故选：A．
【分析】根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、积的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．
3.【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，， .
故选A.
4.【答案】B
【解析】【解答】解：A. ∵，故A正确；
B. ∵，故B不正确；
C. ∵，故C正确；
D. ∵，故D正确；
故选B.
5.【答案】C
【解析】【解答】解：A. ∵，故A不正确；
B. ∵，故B不正确；
C. ∵，故C正确；
D. ∵，故D不正确；
故选C.
6.【答案】D
【解析】【解答】解：去分母得：x+2=3（x-2），
故选D.
7.【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△EBC的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+BA=18．
故答案为：C．
【分析】利用线段垂直平分线的性质，可得EA=EC，因此可证明△EBC的周长=BC+BA。

8.【答案】D
【解析】【解答】解：去分母得：2+2x=10x﹣30，
移项合并得：8x=32，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
故选D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
9.【答案】C
【解析】
【分析】所给出的边2、5均可以作腰，也可以作底，分两种情况讨论，注意使用三角形三边的关系进行判断．
【解答】①若2为腰，则2+2＜5，不能构成三角形，此种情况舍去；
②若2为底，则5+2＞5，能构成三角形，故周长是2+5+5=12．
故选C．
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点.
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出到三角形三个顶点的距离都相等的点是三边垂直平分线的交点，即可得出答案.
11.【答案】 A
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-55°-30°=95°.
∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=CD
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=95°-30°=65°.
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=95°，根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，根据等边对等角得出∠C=∠CAD=30°，利用∠BAD=∠BAC-∠CAD，即可求出∠BAD的度数.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD=BD=13cm（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE=∠B=15°（等腰三角形的性质）
∴∠ADC=30°（外角性质）
∴
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，根据等边对等角得出∠DAE=∠B=15°，根据三角形外角性质得出∠ADC=30°，进而根据含0°直角三角形的边之间的关系得出，即可求出AC的长.
二、填空题
13.【答案】0
【解析】【解答】解：∵分式无意义，
∴x=0.
故答案为：0.
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于0得出x=0，即可得出答案.
14.【答案】x＞1
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．
15.【答案】
【解析】【解答】解：原式= ×1= .
16.【答案】 3
【解析】【解答】解: AC⊥BC，DE⊥AC
∠ACB=∠DEA=90°
∠B+∠BAC=90°
AD⊥AB
∠BAC+∠DAE=90°
∠B=∠DAE
AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，
∴∠C=∠AED=90°，
又因BC＝AE，
△ABC≌△DAE
AC=DE=7
CE=AC-AE=3.
故答案为：3.
【分析】先根据同角的余角相等得出∠B=∠DAE，然后利用ASA证出△ABC≌△DAE，得出AC=DE=7，利用CE=AC-AE，即可得出EC的长.
17.【答案】108
【解析】【解答】解：如图，
∠1=∠A+∠B, ∠A=32°, ∠B=76° ,
∠1=32°+76°=108°,
故答案为:108°.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和填空即可.
18.【答案】26或22
【解析】【解答】解：若6cm为等腰三角形的腰长，则10cm为底边的长，
6cm，6cm，10cm可以构成三角形，
此时等腰三角形的周长=6+6+10=22（cm）；
若10cm为等腰三角形的腰长，则6cm为底边的长，
10cm，10cm，6cm可以构成三角形，
此时等腰三角形的周长=10+6+10=26（cm）；
则等腰三角形的周长为26cm或22cm．
故答案为：26或22．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。

三、解答题
19.【答案】解：
=3+1-3
=1
【解析】【分析】根据算术平方根的定义、零指数幂的性质、绝对值的性质分别进行化简，再根据有理数加减法法则进行计算即可.
20.【答案】解：去分母得：2=1+x-1.
合并同类项得：x=2.
经检验x=2是分式方程的解.
∴x=2是原分式方程的根.
【解析】【分析】将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解。

21.【答案】证明:如下图，DE⊥ AB，DF⊥ AC，AD平分∠ BAC，
∴DE= DF，
∵DE= DF，BD= DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴EB= FC
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出DE= DF，利用HL证出Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出EB= FC.
22.【答案】（1）解：在中，，，
∴.
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
∴.
答：的周长为19
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得出∠ABC=70°，根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，从而得出∠DAB=∠A=40°，利用∠DBC=∠ABC-∠DBC，即可求出∠DBC的度数；（2）根据DA=DB，得出△BCD的周长=AC+AB，即可求解.
23.【答案】（1）解：∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE=90°
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC= =4，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7
【解析】【分析】（1）根据作法得出MN是线段AC的垂直平分线，即可得出∠ADE=90°；
（2）根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，从而得出△ABE的周长
=AB+BC，即可求解.
24.【答案】
答案
解：设第一批杨梅每件进价x元，根据题意得，
解得x=120．
经检验，x=120是原方程的根．
答：第一批杨梅每件进价为120元．
【解析】【分析】设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍，列方程求解．
25.【答案】（1）解：∵∠B=38°,∠C=70°，
∴∠BAC=72°，
∵AE是∠BAC平分线,
∴∠BAE=36°，
∵AD是BC边上的高,∠B=38°，
∴∠BAD=52°，
∴∠DAE=52°−36°=16°；
（2）解：如图：∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵AE是∠BAC平分线，
∴∠EAC= ，
∠DAC=90°−∠C，
∴∠DAE=90°−∠C− = (∠B−∠C).
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得出∠BAC=72°，根据角平分线的定义得出∠BAE=36°，根据直角三角形两锐角互余得出∠BAD=52°，进而根据角的和差，由∠DAE=∠BAD-∠BAE即可算出答案；（2）根据三角形的内角和得出∠BAC=180°−∠B−∠C，根据角平分线的定义得出∠EAC=
，根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC=90°−∠C，进而根据角的和差，由
∠DAE=90°−∠C− 即可算出答案。

26.【答案】（1）解：∵DE⊥BE，AB⊥BE，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∵CE=BF=3,∴CD=3 ，
∵AB=2,∴AC=2 ，
∴AD=AC+CD=5 ；
（2）证明：连接EG、BG
∵G是等腰直角△ABC斜边AC中点，
∴BG=CG,∠ABG=∠ACB=45°，
∴∠GBF=∠GCE=135°，
∵在△GBF和△GCE中, GB=GC,∠GBF=∠GCE,BF=CE，
∴△GBF≌△GCE,(SAS)
∴GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，
∵∠BGF+∠FGC=90°，
∴∠CGE+∠FGC=90°,即∠EGF=90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠GFE=∠GEF=45°，
∵∠GEF=∠BEG+∠BEF，
∴∠GEF=∠AFG+∠BEF，
∴∠AFG+∠BEF=∠GFE.
【解析】【分析】（1）根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出DE∥AB，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ABC∽△DEC，根据相似三角形的对应边成比例得出△CDE为等腰直角三角形，根据勾股定理得出CD的长，AC的长，进而根据
AD=AC+CD 即可算出答案；
（2）连接EG、BG ，根据等腰直角三角形的性质得出BG=CG,∠ABG=∠ACB=45°，根据邻补角的定义得出∠GBF=∠GCE=135°，从而利用SAS判断出△GBF≌△GCE ，根据全等三角形的性质得出GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，进而判断出△EFG为等腰直角三角形，根据角的和差及等量代换得出∠AFG+∠BEF=∠GFE。