浙江省金华十校2012届上学期高三期末考试数学理(附答案)

浙江省金华十校 2012届高三上学期期末考试
数 学 试 题（理）
注意事项： 1．考试时间为120分钟，试卷总分为150分。

2．全卷分“试卷”和“答卷”各一张，本卷答案必须做在答题卷的指定位置上。

3．答题前请在“答卷”的密封线内填写学校、班级、学号、姓名。

参考公式：
球的体积公式：3
3
4R V π=
（其中R 表示球的半径） 球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）
锥体体积公式Sh V 3
1
=
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体高 柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体高
台体的体积公式121
()3
V h S S =
其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，
H 表示台体的高
如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．复数2
2(1)
i
z i +=
+对应的点位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．函数()lg(1)f x x -的定义域是
（ ）
A ．[-1，4]
B ．[1，4]
C ．(]1,4
D ．(]1,4-
3．已知a R ∈，则 “2
2a a <”是“2a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．执行如图的程序框图，输出的S 和n 的值分别是（ ） A ．9，3 B ．9，4 C ．11，3 D ．11，4
5．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长
的是 （ ）
A ． B
C ．
D ．5
6．设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线，则（ ） ①若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥则； ②若//,//,,;l m m n l n αα⊥⊥则 ③若//,,l m m n αα⊥⊥，则//;l m ④若,,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥则； 则上述命题中正确的是 （ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个
交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为
（ ）
A ．y =
B ．3
y x =±
C ．y =
D ．2
y x =±
8．项数为n 的数列123,,,,n a a a a 的前k 项和为(1,2,3,
,)k S k n ==，定义
12n
S S S n
++
+为
该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列12399,,,,a a a a 的“凯森和”为1000，那
么项数为100的数列100，12399,,,
,a a a a 的“凯森和”为
（ ） A ．991 B ．1001 C ．1090 D ．1100
9．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉
内，每个抽屈至多放一种文件，则文件A ，B 被放在相邻的抽屉内且文件C ，D 被放在不相邻的抽屉内的概率是 （ ）
A ．
2
21
B ．
421
C ．
821
D ．
17
10．已知变量x ，y 满足约束条件230330,10x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
若目标函数(0)z ax by a =+≠取得最大值时的
最优解有无穷多组，则点（a ，b ）的轨迹可能是
（ ）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知1tan 47
πα⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，则tan α= ； 12
．设(
5n
x 的展开式的各项系数之和为256，则展开式中3
x 项的系数为 ；
13．袋中有大小质地均相同的4个红球与2个白球，若从中有放回的依次取出一个球，记6次取
球中取出红球的次数为ξ，则ξ的期望E ξ= ；
14．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，与过点P （1，2）且斜率为-2的直线l 相交所得的
弦恰好被P 评分，则此椭圆的离心率是 ； 15．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）函数()y f x =的图像关于原点对称；（2）对任意的
实数x ，都有(3)()f x f x +=成立；（3）当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，33
()|2|,22f x x =--则方程
1
()||
f x x =
在[-4，4]上根的个数是 ； 16．已知平面向量α，β满足||||1αβ=
=，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2t t αβ-+()t R ∈的取值范围是 ；
17．已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线
的距离分别为12,d d ，则12d d +的最大值为 。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算。

18．（本题满分14分）
已知函数2
()cos cos (0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为.π
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()1,1,f A b ABC ==∆求a 的值。

19．（本题满分14分） 如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个直二面角，且EA ⊥平面ABD ，AE=a 。

（1）若a =AB//平面CDE ；
（2）求实数a 的值，使得二面角A —EC —D 的大小为60.︒
20．（本小题满分14分）
已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为14，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项。

（1）分别求数列{},{}n n a b 的前n 项和,;n n S T
（2）设n K 为数列{}n n a b 的前n 项和，若不等式n n n S T K n λ≥+对一切*
n N ∈恒成立，求实
数λ的最小值。

21．（本小题满分15分） 已知抛物线2
2y px =上任一点到焦点的距离比到y 轴距离大1。

（1）求抛物线的方程； （2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M （4，0），求MAB ∆的面积的最大值。

22．（本题满分16分） 已知函数1()ln 3(),().x
f x ax x a R
g x xe
-=--∈=
（1）若函数()g x 图象在（0，0）处的切线也恰为()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；
（2）是否存在实数a ，对任意的(]0,x e ∈，都有唯一的4
0[,]x e e -∈，使得0()()f x g x =成
立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。