广东省广州市广雅中学2014届高三第三次模拟数学文试题-Word版附答案

广东省广州市广雅中学2014届高三第三次模拟数学文试题
考试时间：5月27日
命题：高三文数备课组
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡
的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：柱体的体积公式sh V =，其中s 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

锥体的体积公式sh V 3
1
=
，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一组数据n x x x ⋯⋯,,21的方差])()()[(12
_
2_22_12x x x x x x n
s n -+⋯⋯+-+-=，
其中_
x 表示这组数据的平均数。

第一部分选择题（共50分）
一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）
1.函数y =的定义域是（ ）
A. )3,(-∞
B. ]1,0(
C. ]3,0(
D.]3,(-∞ 2.下列函数中周期为π且图象关于直线3
x π
=
对称的函数是（ ）
A.2sin()23x y π=+ B .2sin(2)6y x π=- C.2sin(2)6y x π
=+
D.2sin()23
x y π
=-
3.已知i 是虚数单位，若31i
i z
+=-，则z 的共轭复数为（ ）
A.12i -
B.24i - D.12i +
4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A.2- B .
1
2
C.1-
D.2 5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则
数列{}n a 的公比为( ) A ．1 B ．2 C ．
1
2
D ．3 6.下列说法错误的是（ ）
A.在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法.
B.线性回归方程对应的直线a x b y
ˆˆˆ+=至少经过其样本数据),,(11y x ),,(22y x ),(,33y x …),(n n y x 中的一个点.
C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高.
D.在回归分析中，相关指数2R 为98.0的模型比相关指数2R 为80.0的模型拟合的效果好. 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A ．
61 B ．23+ C ．23 D ．2
1 8.已知x 、y 满足2311
43
x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩，则12y z x -=+的取值范围为（ ）
A ．]32,0[
B ．]1,0[
C ．]32,(-∞
D ．),3
2[+∞ 9.已知定义域为)1,1(-的奇函数)(x f y =又是减函数，且
0)9()3(2<-+-a f a f ，则a 的取值范围是（ ）
A ．(2
2，3) B ．(3，10) C ．(22，4) D ．(－2，3)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
第二部分非选择题（100分）
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分20分。

其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．
11.平面向量→→b a ,满足2=→a ，1=→b ，且→→b a ,的夹角为60︒
，则)(→
→→+⋅b a a =
12.已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2=e ,且它的一个顶点与抛物线x y 82
-=的焦点重合,则此双曲线的方程为
13.已知n m ,是不重合的直线，βα,是不重合的平面，有下列命题：①若αα//,n m ⊂，则
n m //；②若n m //，α⊥m ，则α⊥n ；③若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥；④若βα⊥⊥m m ,，则βα//．其中真命题有 ．（写出所有真命
题的序号）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α
为参数，2
2
π
απ
≤
≤-
），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=,(0,02ρθπ≥≤<)则直线l 与圆C 的交
点的极坐标为_____________．
15（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若3AB =，
1CD =，则cos APB ∠的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A B C ，
，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． （1）求角B 的大小；
（2）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积.
17.（本小题满分12分）
某电视台2014年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班。

下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.
（1）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；
（2）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率.
18.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC , ,AC BC D ⊥为AB 的中点, AC BC VC a ===.
（1）求证：AB ⊥平面VCD ； （2）求点C 到平面VAB 的距离.
（第20题图）
19.（本小题满分14分）
已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913
，1a 2a 3a =271.
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T
20.（本小题满分14分）
椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>上的任意一点00(,)P x y （左、与两焦点()12,0F -，2(2,0)F 围成的三角形的周长恒为12． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若动点(,)Q x y 到点2F 与到(8,0)K 距离之比为1
2
，求点Q 迹E 的方程；
（3）设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，且1243k k =，证明：,,A P Q 三点共线．
20.（本小题满分14分）
已知函数()ln f x x =，2
1()22
g x ax x =-． （1）若曲线()()y f x g x =-在1x =与1
2
x =处的切线相互
平行，求a 的值及切线斜率；
（2）若函数()()y f x g x =-在区间1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，求
a 的取值范围； （3）设函数()f x 的图像1C 与函数()g x 的图像2C 交于Q P ,两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C 、2C 、于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不
可能平行．
广东广雅中学2014届高三三模
数 学（文科）答案
21.选择题
CBACD BBAAC 22.填空题
11.5 12. 112
42
2=-y x ; 13. ②③④ 14.)4,2(π; 15.31-
23.解答题
16.解：（1）A b a sin 23= 由正弦定理可得A B A sin sin 2sin 3=………………2分 又π<<A 0 2
3
sin ,0sin =
≠∴B A …………………………………………………4分 3
,,0π
π=
∴<<<<B c b a B 且 ………………………………………………………6分
（2）
由余弦定理可得：∴==,7,2b a ,032,2
1
222)7(2222=--⨯⨯⨯-+=c c c c 即
解得：3)(13的边长为，
舍或c c c ∴-==……………………………………………10分 2
3
3233221sin 21=⨯⨯⨯==
∆B ac S ABC ………………………………………12分 17.解：（1）甲班的大众评审的支持票数的中位数是：
5.76277
76=+ 众数是72，极差是90-62=28……………………………………………3分 乙班的大众评审的支持票数的中位数是
832
84
82=+ 众数是95，极差是98-65=33………………………………………………6分
（2）进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名，记为1、2、3；其
余3人记为A 、B 、C ，则被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：
123，12A ，12B ，12C ，13A ，13B ，13C ，1AB ，1AC ，1BC ，23A ，23B ，23C ，2AB ，2AC ，
2BC ，3AB ，3AC ，3BC ，ABC ………………………………8分 其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：
1AB ，1AC ，1BC ，2AB ，2AC ，2BC ，3AB ，3AC ，3BC ……………………10分
所以所求的概率为209
p =
……………………………………………………12分
18.解：（1） VC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴VC AB ⊥ ………… 2分 又 在ABC ∆中，AC BC =，D 为AB 的中点，∴CD AB ⊥ …………… 4分 又VC ⊂平面VCD ，CD ⊂平面VCD ，且VC CD C =， 所以AB ⊥平面VCD …………………………………… 6分 （2）法一： AB ⊥平面VCD 且AB ⊂平面VAB
∴平面VCD ⊥平面VAB ， …………………………… 8分 又 平面VCD 平面VAB VD =，
∴点C 到VD 的距离h 即为点C 到平面VAB 的距离， …………………… 10分 在直角三角形VCD 中，由VD h VC DC ⨯=⨯ …………………………… 11分
…………… 8分
分 19.（1）由123127a a a =
，及等比数列性质得3
2127
a =，即21
3
a =
………………… 2分 由123131310
99
a a a a a ++=+=得……………………… 3分
由21313109a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得12111310
9a q a a q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
所以21103q q +=，即231030q q -+=
解的3=q ，或1
3q =………………………………… 5分
由1n n a a +<，{}n a 是递减函数，故3=q 舍去，…………………………… 6分
13q =，又由213a =，得11a =，故数列{}n a 的通项公式为*11
()n n a n N a
-=∈……… 7分
(2)由（1）知121213521
(21).,T 13333
n n n n n n n a -----==+++⋅⋅⋅+所以 ○1………… 8分
23111352321
333333
n n n n n T ---=+++⋅⋅⋅++ ○
2………………………………………9分 ○1—○2 得231
2222221
1333333
n n n n T --=++++⋅⋅⋅+-……………………………10分 23111112112()33333n n n --=++++⋅⋅⋅+-
1111(1)
2112133122133313n n n n n n -----=+-=---………………………13分
所以11
33
n n n T -+=-……………………………………………14分
20解：（1）由椭圆C 的焦点为()12,0F -得2c =，……………………………………1分 又由椭圆的定义得12PF F ∆的周长为2212a c +=， 解得4,2a c ==，所以2
2
2
12b a c =-=，
即所求椭圆的方程为22
11612x y +=． ······················································································ 3分 （2）由题意得
21
2
QF QK =，
∵2QF =
QK =
12
=
，化简得：22
16x y +=， ······················································ 6分 经检验得轨迹E 的方程为22
16x y +=． ···································································· 7分
（3）（法一）由（1）知(4,0),(4,0)A B -，
∴2000120004416
PA y y y k k x x x ⋅=⋅=
+--， ······································································· 8分 ∵点00(,)P x y 在椭圆C 上，
∴
220011612x y +=，即22003124
y x =-， ∴2
012
031234164PA x k k x -⋅==--， ∴1
3
4PA k k =-， ···················································································································· 10分
又∵1243k k =，
∴21PA k k ⋅=-， ··········································································································· 11分
由（2）知点Q 在圆22
16x y +=上，
∴21QA k k ⋅=-， ··········································································································· 12分 ∴PA QA k k =， ················································································································ 13分 由直线,PA QA 有共同点A 得,,A P Q 三点共线． ·················································· 14分
（法二）由（1）知(4,0),(4,0)A B -，把直线1:(4)PB y k x =-代入椭圆的方程
22
11612
x y +=中得：()2222
111343264480k x k x k +-+-=，
∴21213234B P k x x k +=+，221122
11321612
3434P B k k x x k k -=-=
++， ······································· 8分 ∴1
2
1
2434P k y k =-+，即2112211161224(,)3434k k P k k --++， ··················································· 9分 ∴1
3
4PA k k =- ················································································································ 10分
（以下同法一）
21. 解：（1）x ax x x g x f y 22
1ln )()(2
+-=-=记x ax x x h 221ln )(2+-=
则'
1
()2h x ax x
=
-+………………………………2分 依题意)(x h 在x=1与12x =处的切线互相平行，∴''1(1)()2h h =，即342
a a -+=-+，解得2a =-…………………………………3分
'(1)5k h ==…………………………………………………4分
（2）
函数()()y f x g x =-在区间113⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递减，
∴0)(/≤x h 在区间113⎛⎫
⎪⎝⎭
，上恒成立；…………………………………………5分 即021≤+-ax x ，即x x a 212+≥在区间113⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立；……………………………6分 max 2)21(x x a +≥，)1,31(∈x ，)3,1(1∈x 151)11
(2122≤-+=+∴x
x x ，15≥∴a
即a 的取值范围是),15[+∞。

………………………………………8分
（3）//1
(),()2f x g x ax x
==-，假设1c 在点M 处的切线与2c 在点N 处的切线平行，设
()11,P x y ，()22,Q x y ，则存在a 使得''121222x x x x f g ++⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即12122()22
a x x x x =+-+，……………………………………………9分
22
22
1212121212121
12122
2()()2()(2)(2)
222
ln ln ln
x x ax ax a x x x x x x x x x y y x x x -=---=---+=-=-=
不妨设1
122
0, 1.x x x t x >>=>……………………………………12分
则方程2(1)
ln 1t t t -=+存在大于1的实根， 设2/
2(1)(1)()ln ,()01(1)
t t t t t t t t ϕϕ---=
-=<++则，)(t ϕ在),1(+∞单调递减， ()(1)0,t ϕϕ∴<=这与存在1t >使得()0t ϕ=矛盾.
∴1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不可能平行．……………………14分。