高中数学 专题1.3.2 函数的极值与导数教案 2数学教案

函数的极值与导数
【教学目标】
1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
【教法指导】
本节学习重点：掌握函数极值的判定及求法．
本节学习难点：掌握函数在某一点取得极值的条件．
【教学过程】
☆复习引入☆
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．
解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.
☆探索新知☆
探究点一函数的极值与导数的关系
思考1 如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
结论思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
思考 2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．
思考3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．
答可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．
例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
思考4 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值点． 【答案】 1
例1 求函数f (x )＝13x 3
－4x ＋4的极值．
解 f ′(x )＝x 2
－4.
解方程x 2
－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )>0，得x <－2或x >2； 由f ′(x )<0，得－2<x <2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－2)
－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
单调递增
283
单调递减
－43
单调递增
由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝28
3；
当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－4
3.
反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．
跟踪训练1 求函数f (x )＝3
x
＋3ln x 的极值．
解 函数f (x )＝3
x
＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝－3x 2＋3x
＝
3
x －1
x 2
. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x ) － 0 ＋ f (x )
单调递减
3
单调递增
因此，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝3. 探究点二 利用函数极值确定参数的值
思考 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？
例2 已知f (x )＝x 3
＋3ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2
＋6ax ＋b ，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
3－6a ＋b ＝0，
－1＋3a －b ＋a 2
＝0.
解之得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝9.
当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2
≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．
当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2
＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，
所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.
反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2
＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；
(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2
＋x ， ∴f ′(x )＝a
x
＋2bx ＋1. 由极值点的必要条件可知：
f ′(1)＝f ′(2)＝0，
∴a ＋2b ＋1＝0且a
2＋4b ＋1＝0，
解方程组得，a ＝－23，b ＝－1
6
.
(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16
x 2
＋x ，
且函数f (x )＝－23ln x －16
x 2
＋x 的定义域是(0，＋∞)，
f ′(x )＝－23x －1－13
x ＋1＝－
x －1
x －2
3x
.
当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0； 所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点，
x ＝2是函数f (x )的极大值点．
探究点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3
－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． 所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.
(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示． 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，
直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数． 跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3
－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．
f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数． f (x )的极大值为f (－1)＝4＋k ， f (x )的极小值为f (1)＝－4＋k .
要使函数f (x )只有一个零点， 只需4＋k <0或－4＋k >0(如图所示)
或
即k <－4或k >4.
∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)． ☆课堂提高☆
1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 对于f (x )＝x 3
，f ′(x )＝3x 2
，f ′(0)＝0， 不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B. 2．函数y ＝1＋3x －x 3
有( ) A ．极小值－2，极大值2 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－1，极大值1 D ．极小值－1，极大值3 【答案】 D
∴当x ＝－1时，函数有极小值，y 极小＝－1. 当x ＝1时，函数有极大值，y 极大＝3.
3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数
f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】 A
【解析】 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点． 4．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3
B ．y ＝cos 2
x C ．y ＝tan x －x
D ．y ＝1
x
【答案】 B
【解析】 y ＝cos 2
x ＝1＋cos2x 2
，y ′＝－sin2x ，
x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，
∴x ＝0是函数的极大值点． 5．求下列函数的极值：
f (x )＝
x 3－2
2x －1
2
；
【解析】 函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝
x －2
2
x ＋1
2
x －1
3
，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 －
＋ 0 ＋ f (x )
单调递增
－38
单调递减
单调递增
3
单调递增
故当x ＝－1时，函数有极大值， 并且极大值为f (－1)＝－3
8
，无极小值．
6．设函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值． 又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1， 此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－3
2x .
∴f ′(x )＝32x 2－3
2.
令f ′(x )＝0，得x ＝±1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋
－
＋
f (x )
极大值1
极小值－1。